(完整版)数学培优竞赛新方法(九年级)-第25讲抛物线与直线形(1)——由动点生成的特殊三角形问题

抛物线与直线形（1）

——由动点生成的特殊三角形问题

在科学研究中，首先要能够发现好的、重大的问题，只有找对了方向，才能不断发现、解决一系列重要的问题，而要找到好的问题，不仅需要丰富的学识，更关系到一个人的观念和文化的品味。

——丘成桐

知识纵横

抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：

（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；

（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；

（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；

解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。

例题求解

【例1】如图，抛物线452

+-=ax ax y 经过ABC ?的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在

x 轴上，点C 在y 轴上，且BC AC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出C B A ,,三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB ?是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

（龙岩市中考题）

思路点拨 对于（3）只需求出P 点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。

【例2】已知抛物线k kx kx y 322

-+=，交x 轴于B A ,两点（A 在B 的左边），交y 轴于

C 点，且y 有最大值4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使PBC ?是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

（包头市中考题）

思路点拨 对于（2），设P 点坐标为()b a ,，寻找相似三角形，建立b a 、的另一关系式，解联立而得到的方程组，可求出b a 、的值。

【例3】抛物线()314

1

2+--

=x y 与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．

（1）如图1．求点A 的坐标及线段OC 的长；

（2）点P 在抛物线上，直线PQ ∥BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．

①若含?45角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在

BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上．求直线BQ 的函数解析式；

②若含?30角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．

（2011年绍兴市中考题）

思路点拨 对于（2），解题的关键是求出CQ 的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现E Q D C 、、、四点共圆，可使问题获得简解。

【例4】如图1，抛物线()02

≠++=a c bx ax y 的顶点为()4,1C ，交x 轴于B A ,两点，交

y 轴于点D ，其中点B 的坐标为()0,3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，交y 轴于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上的一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使F H G D ,,,四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点H G ,的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作

MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使BMD DNM ??∽？若存在，求出点T 的

坐标；若不存在，请说明理由．

（2011深圳市中考题）

思路点拨 对于（2），因DF 是一个定值，故需使HF GH DG ++最小即可，从轴对称入手；对于（3）由题意知BDM NMD ∠=∠，要使BMD DNM ??∽，只要使BD

MD

MD NM =，即BD NM MD ?=2

；或从角入手得到隐含的相似三角形。

学力训练

1. 如图1，已知抛物线的顶点为()1,2A ，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以B D C O ,,,四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

（3）连接AB OA ,，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得OBP ?与OAB ?相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．

（临沂市中考题）

2. 如图，已知抛物线与x 轴交于()()0.3,0,1B A -两点，与y 轴交于点()3,0C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ?是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点M 是抛物线上一点，以M D C B ,,,为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标．

（临沂市中考题）

3. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点()0,1-C ．如图所示，B 点在抛物线22

1

212-+=x x y 图象上，过点B 作x BD ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-． （1）求证：COA BDC ???； （2）求BC 所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2011年西宁市中考题）

4. 已知抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴为直线2=x ，且与x 轴交于B A ,两点，与y 轴

交于点C ，其中()()3,0,0,1-C A ． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）．

①如图1．当PBC ?面积与ABC ?面积相等时．求点P 的坐标； ②如图2．当BCA PCB ∠=∠时，求直线CP 的解析式．

（2011年莆田市中考题）

5. 在平面直角坐标系中，抛物线32

++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为

()()0,1,0,3B A -，过顶点C 作x CH ⊥轴于点H ．

（1）直接填写：=a ，=b ，顶点C 的坐标为 ；

（2）在y 轴上是否存在点D ，使得ACD ?是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），AC PQ ⊥于点Q ，当PCQ ?与ACH ?相似时，求点P 的坐标．

（2011年潜江市中考题）