必修五数列综合复习——高一数学讲义

高一数学数列综合

知识点1. 数列的相关基本概念

数列：按照一定顺序排列着的一列数。（有穷数列，无穷数列）（数列{}n a ）数列中的每一个数叫做项。

递增数列：d > 0 递减数列：d,< 0 常数列：d = 0 摆动数列数列表示法：

（1）通项公式：数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可用一个式子来表示。（2）递推公式：若已知前项且任一项n a 与其他项之间的关系可用一式子表示的公式（注意：有的数列无通项公式有的数列有多个通项公式）

知识点2. 等差数列

等差数列：若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差为常数的数列。

等差中项：如，a ，A , b 组成等差数列可看成最简单的的等差数列，则A 为a ，b 的等差中项。等差数列的通项公式： 1(1),()n n m a a n d a a n m d =+-=+-

知识梳理

知识点3.等差数列的相关应用和性质 1.等差数列的判定：

（1）d a a n n =-+1（常数）?{}n a 是等差数列（2）b kn a n +=（b,k 为常数）?{}n a 是等差数列（3）212+++=n n n a a a （n ∈*

N )?{}n a 是等差数列

2.等差数列的常用设法：

（1）若有3个数成等差数列?(一般设为）b a a b a +-,, （2）若有4个数成等差数列?d a d a d a d a 3,,,3++-- 3.常用性质：（若{}n a 数列，d 公差）

（1）0d >，递增数列；0

n a a n a a d m n n --=

--=

11 （m,n ∈*

N ) （3）若q p n m +=+ （m,n,p,q ∈*

N ),则q p n m a a a a +=+ （4）若K 为常数，则数列{}n ka 也是等差数列，公差为kd

4.等差数列{}n a 的前n 项和： d n n na a a n S n n

)

1(2)(11-+=+= 5.n n n n n n n n S S S S S S S S 23232,,,,--?成等差数列：}n S {n 也是等差数列。

知识点4. 等比数列的有关概念

1．等比数列：若一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比为常数的数列。 2．等比中项：

（注意：等比数列中，无0这个项） 3．通项公式：累乘法）

m n p a ap a m n n -==-

知识点5. 等比数列的相关运用和性质 1．22112

--+-===n n n k n k n a a a a a a a

注意：q p n a a a +=++=+m n a q p n m }{a 时，是等差数列：当 a a a a =+=+时，是等比数列：当q p n m }{a

2．若有三个数成等比数列，通常设其为：

aq a q

,,；若有四个数成等比数列，通常设其为：

,,,aq aq q

a q a 3.等比数列前n 项和??

???==--=≠--=)1(1)1(1)1(111q na S q q a a q q q a S n n

n n

一、选择题

1．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若5915,,a a a 成等比数列,那么公比为（） A.

34 B. 23 C. 32 D. 4

2．数列1,3,5,7,9,--……的一个通项公式为（）

A ．(1)(12)n

n a n =-- B ．21n a n =- C ．(1)(21)n n a n =-- D ．(1)(21)n

n a n =-+

3．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

(1)

n a n n =+，则6S 等于（）

A ．

142 B ．45 C ．56 D ．67

4．已知数列{}n a 对任意的p q N *

∈、满足q p q p a a a +=+且2a =6，那么10a 等于（）

A ． 165

B ． 33

C ． 30

D ． 21 5．数列1,2,4,8,16,32,L 的一个通项公式是（）

A ．21n a n =-

B ．12n n a -=

C ．2n n a =

D ．1

2n n a +=

6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 11=( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55

7．已知数列{n a }中，1a =

21，n n a a =+1+2

312++n n （n )+∈N ，则数列{n a }的通项公式为（） A.11+=n a n B.2

212++-+=n n n a n

典例精析

C.1n n a n =

+ D.12

n n a n +=+ 8．设函数()f x ）定义为如下数表，且对任意自然数n 均有x n+1=02014(),6,n f x x x =若则的值为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5

9．已知1123456(1)n n s n +=-+-+-++-?L L ，则61015s s s ++等于（） A ．5- B ．1- C ．0 D ．6

10．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 11．数列

中，

，则

等于( )

A. B. C.1 D.

12．已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1

(1)()

f n f n ＋＋，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则

S 2 013＝( )

A ．2012－1

B ．2013－1

C ．2014－1

D ．2014＋1

13．已知数列}{n a 的通项公式)163(2-=n a n n ，则数列}{n a 的前n 项和n S 取得最小值时n 的值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 14．已知函数

，且

，则

( )

A ．0

B ．100

C ．5050

D ．10200

15．观察下列式子：2222710987654576543343211=++++++=++++=++=，，，

，…，则第n 个式子是（）

A ．2

)12()2()1(n n n n n =-++++++Λ B ．()2

12)12()2()1(-=-++++++n n n n n Λ

C ．()2

12)23()2()1(-=-++++++n n n n n Λ

16．设*

1111

()()

S n n N

n n n n

=++++∈

L，当2

n=时，(2)

S=（）

A．

B．

+C．

111

234

++D．

1111

2345

+++

二、填空题

17．数列｛

a｝中，5

，则

a为___________.

18．已知数列{}n a的前n项和为n S，且31

S=+，则

a=.

19．在等差数列{a n}中，a3＋a6＋3a7＝20，则2a7―a8的值为_________．

20．有一个奇数组成的数阵排列如下：

则第30行从左到右第3个数是．

21．已知数列{}

1213214321

1121231234

a L

为：，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律，则50

a=_．

22．已知数列{a n}满足a n＝a n－1－a n－2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为S n．若S9＝6，S10＝5，则a1的值为．

23．[湖北高考]回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则

(1)4位回文数有________个；

(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．

24．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝(－1)n(a n＋1)，记S n为{a n}前n项的和，则S2 013＝________.

25．数列{a n}的通项公式a n

n n

＋＋

{a n}的前n项和为24，则n为________．能力提升

26．数列{}n a中，()

,2.

a n

?=≥

则

a=.

27．已知数列{}n a的前n项和为31

S=-，那么该数列的通项公式为

a=_______.

28．已知函数()

f x由下表定义：

若

a=，

()

n n

a f a

=（1,2,

n=L），则

2014

a=．

29．观察下列等式3333

235,37911,413151719,52123252729,

=+=++=+++=++++L，若类似上面各式方法将3

m分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于．

30．设数列{}n a的前n项和为n S，且满足2

n n

a S

=-()

∈N．

（1）求

a，

a的值并写出其通项公式；

（2）证明数列{}n a是等比数列．

31．数列}{n a 的首项120a =-,*

1,543N n n a a n n ∈-=++

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设}{n a 的前n 项和为n S ,求n S 的最小值.

参考答案

1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．C 10．C 11．A 12．C 13．C 14．C 15．C 16．C 17．19 18．1

123,2

n n n a n -=?=??≥?. 19．4 20．1051 21．

22．1 23．(1)90 (2)9×10n 24．－1 005 25．624 26．()1,n N n

∈

题悟总结

30．（Ⅰ）11a =；212a =；314a =；418a =。11

()2

n n a -=；（2）详见解析 31．(1)；（2）.

(完整)高一数学必修一、必修二期末考试试卷

高一数学必修一、必修二期末考试试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分） 1．已知不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①////m m αββα? ???? ②//////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中错误的命题有（）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．直线l 过点(3,0)A 和点(0,2)B ，则直线l 的方程是（） A ．2360x y +-= B ．3260x y +-= C ．2310x y +-= D ．3210x y +-= 3．两条平行线1:4320l x y -+=与2:4310l x y --=之间的距离是（） A ．3 B ．35 C ．1 5 D ．1 4．直线l 的方程为0Ax By C ++=，当0A >，0B <，0C >时，直线l 必经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第一、二、四象限 5．221:46120O x y x y +--+=e 与222:86160O x y x y +--+=e 的位置关系是（） A ．相交 B ．外离 C ．内含 D ．内切 6．长方体的长、宽、高分别为5、4、3，则它的外接球表面积为（） A ．252π B ．50π C ．1252π D ．50 3 π 7．点(7,4)P -关于直线:6510l x y --=的对称点Q 的坐标是（） A ．(5,6) B ．(2,3) C ．(5,6)- D ．(2,3)- 8．已知22:42150C x y x y +---=e 上有四个不同的点到直线:(7)6l y k x =-+的距离等于5，则k 的取值范围是（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)-+∞ C ．1 (,2)2 D ．1 (,)(2,)2 -∞+∞U 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分） 9．如图的空间直角坐标系中，正方体棱长为2， ||3||PQ PR =，则点R 的空间直角坐标为 . 10.过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 . 11.过三点(2,0),(6,0),(0,6)--的圆的方程是 . 12.棱长为a 的正方体中，把相邻面的中心连结起来，以这些线段为棱的八面体的体积为 . 13.221:2880O x y x y +++-=e 与222:4420O x y x y +---=e 的公共弦长为 .

高一寒假讲义1 集合的概念及表示

集合的概念及表示含答案知识梳理 1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做。 2、集合的3个性质：?? ???的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 3、元素与集合的表示：我们通常用来表示集合，用来表示元素。 4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。 5、集合的分类：（集合含有有限个元素）；无限集（集合含有个元素）；空集（不含任何元素的集合，用记号表示）。 6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。注意：（这些特定集合外面不用加{}） 7、集合的表示：（1）：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝．（2）：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。（3）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

知识典例题型一基本概念例1 下列各组对象中能构成集合的是（） A ．充分接近3的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数 D ．未来世界的高科技产品【答案】C 巩固练习 1、判断下面例子能否组成集合？（1）大于3小于12的所有偶数；（2）我国的小河流。 2、判断下面例子能否组成集合？中国的直辖市；（2）身材较高的人 3、已知元素2x 在集合｛1，0，x ｝内，求实数x 的值 4、集合｛a ，b ，c ｝中元素是三角形三边，则这个三角形不可能是三角形．题型二元素与集合的关系例 2 用符号“∈”或“?”填空：（1）2_____N ；（2）3Q ；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（69Q . 【答案】∈ ? ? ∈ ? ∈ 巩固练习 1、用符号“∈”或“?”填空（1）N __0 （2）Z _____14.3 （3）Q ______π （4）N _____14.3 2、下列写法正确的是（） A ．??{}0

讲义高一数学必修一函数复习

函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域（1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、

)0,(>+ =b a x b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性）（2）基本不等式（3）换元法（4）判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法描点法图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换伸缩变换对称变换 6．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示． 7．映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；

高一数学讲义完整版

高一数学复习讲义09年版函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、开口方向、判别式考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法）简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.

启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系）问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0-4x+p-3恒成立的x的取值范围 2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围 2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。 3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。 4利用图象练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2

高一数学必修一必修二知识点

必修1知识点第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、常见集合：正整数集合：*N 或+N ；整数集合：Z ；有理数集合：Q ；实数集合：R . 3、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. 2、如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合 B 的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?. 并规定：空集合是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集. 4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集：{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 2、如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法解析法、图象法、列表法. 求解析式的方法： 1.换元法 2.配凑法 3.待定系数法 4.方程组法 §1.3.1、单调性与最大（小）值注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… 五个步骤：取值，作差，化简，定号，小结 §1.3.2、奇偶性 1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有 ()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有 ()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数 §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、⑴m n m n a a = ()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0； ⑵() ()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0； ⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. §2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：()1,0≠>=a a a y x §2.2.1、对数与对数运算 1.x N N a a x =?=log 2.a a N a =log 3.01log =a ，1log =a a 4. 当 ,0,1,0>>≠>N M a a 时： (1)()N M MN a a a log log log +=； (2)N M N M a a a log log log -=?? ? ??； (3)M n M a n a log log = 5.换底公式： a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . §2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象：()1,0log ≠>=a a x y a §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象：a x y =

2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义(精品)

2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义知识点总结及例题讲解一、集合的含义 1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a?A. 3.常见的数集及表示符号【例1】 ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④B．②③④ C．②③D．②④ B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.] 判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1．判断下列说法是否正确，并说明理由．

(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合； (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合； (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． [解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合． (2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．【例2】 ①π∈R；②2?Q；③0∈N*；④|－5|?N*. A．1B．2 C．3D．4 (2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为() A．2 B．2或4 C．4 D．0 (1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确； ②2是无理数，所以2?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N*错误．故选B. (2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.] 判断元素与集合关系的两种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

高中必修二数学知识点全面总结

第1章空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。公理2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

高一数学必修2知识点汇总人教版

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高中数学必修二复习基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

高一数学必修二测试题及答案

C D A 1 D 1 B 1 C 1 A 命题人：吴汉卫审核人：金文化时间：120分钟 №：08 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1 ．已知直线l 的斜率为2,且过点),3(),2,1(m B A --,则m 的值为（） A ．6 B ．10 C ．2 D ．0 2 ．正方体的内切球与外接球的半径之比为（） A ．3∶1 B ．3∶2 C ． 1∶3 D ．2∶3 3 ．平行线0943=-+y x 和0286=++y x 的距离是（） A ． 5 8 B ．2 C ． 5 11 D ． 5 7 4 ．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α?，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 5 ．若直线l 过点3(3,)2 --且被圆22 25x y +=截得的弦长为8,则直线l 的方程是（） A ．3x =- B ．332 x =-=- 或y C ．34150x y ++= D ．34150x y ++=x=-3或 6 ．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直,则实数a 的值为（） A ．-1或2 B ．-1或-2 C ．1或2 D ．1或-2 7 ．无论m,n 取何实数值,直线 (3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P ,则P 点坐标为（） A ．(-1,3) B ．)2 3,21(- C ．)5 3,51(- D ．)7 3,71(- 8 ．已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于（） A ．23 B ．3 C ．223 D ．23 9.圆1C :2 2 2880x y x y +++-=与圆2C :2 2 4420 x y x y +-+-=的位置关系是（） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 10．若使得方程 0162=---m x x 有实数解,则实数m 的取值范围为 2424.≤≤-m A 244.≤≤-m B 44.≤≤-m C 244.≤≤m D 11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中， 14,2AB BC CC ===,则直线1BC 和平面11DBB D 所成的正弦值等于（） A ． 32 B ．52 C ． 105 D ．10 10 12．若直线4=+by ax 与圆4:22=+y x C 有两个不同交点，则点),(b a P 与圆C 的位置关系是（） A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定二、填空题（每小题4分，共16分） 13．经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________________. 14．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是 ________________cm 3. 15．以点(-3,4)为圆心且与直线5x y +=相切的圆的标准方程是________. 16．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题： ①若m ∥β，n ∥β，m 、n ?α，则α∥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ?γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ；其中所有正确命题的序号是．三、解答题（共74分） 17．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线正视俯视 1 3

高一数学讲义_集合间的基本关系

集合间得基本关系一、子集、空集等概念得教学: 比较下面几个例子,试发现两个集合之间得关系: (1),; (2),; (3), 1.子集得定义: 对于两个集合A,B,如果集合A得任何一个元素都就是集合B得元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A就是集合B得子集(subset)。记作: 读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A 当集合A不包含于集合B时,记作用Venn图表示两个集合间得“包含”关系: 2.集合相等定义: 如果A就是集合B得子集,且集合B就是集合A得子集,则集合A与集合B中得元素就是一样得,因此集合A与集合B相等,即若,则。如(3)中得两集合。 3.真子集定义: 若集合,但存在元素,则称集合A就是集合B得真子集(proper subset)。记作: A B(或 B A) 读作:A真包含于B(或B真包含A) 4.空集定义: 不含有任何元素得集合称为空集(empty set),记作:。用适当得符号填空: ; 0 ; ; 重要结论:

（1）空集就是任何集合得子集; （2）空集就是任何非空集合得真子集; （3）任何一个集合就是它本身得子集; （4）对于集合A,B,C,如果,且,那么。说明: 1．注意集合与元素就是“属于”“不属于”得关系,集合与集合就是“包含于”“不包含于”得关系; 2．在分析有关集合问题时,要注意空集得地位。三、例题讲解: 例1.若集合B A,求m得值。 (m=0或) 例2.已知集合且, 求实数m得取值范围。() 集合得基本运算㈠教学目标: (1)理解交集与并集得概念; (2)掌握交集与并集得区别与联系; (3)会求两个已知集合得交集与并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。一、复习回顾: 1.已知A={1,2,3},S={1,2,3,4,5},则A S;{x|x∈S且xA}= 。 2.用适当符号填空: 0 {0}; 0 Φ; Φ {x|x＋1＝0,x∈R} {0} {x|x<3且x>5}; {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ; {x|x>－3} {x>2} 二、交集、并集概念及性质得教学: 思考1:考察下列集合,说出集合C与集合A,B之间得关系: (1),; （2）,; 1.并集得定义:

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 ' ''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

高一数学必修一、必修二知识点整合

必修一第一章集合与函数概念 1.1集合的含义与表示集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。通常，集合用大写字母表示，集合元素用小写字母表示。如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈。如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ?。非负整数集（自然数集） N 整数集 N *或N + 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 集合的两种表示方式：列举法，描述法。 1.2集合间的基本关系 ①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集。记作：()A B B A ??或读作：A 含于B(或B 包含A)。 ②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。 Venn 图法表示集合。空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集的性质：空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。子集的定义：对于两个集合A 与B ，若然任何属于A 的元素也属于B ，我们就说A 是B 的子集。真子集的定义：如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集。

1.3集合的基本运算交集、并集、全集、补集。一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集。记作：A ∩B 。读作：A 交B 。其含义用符号表示为：{|,}.A B x x A x B =∈∈且用Venn 图表示如下： —般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。记作：A ∪B. 读作：A 并B. 其含义用符号表示为：{|,}A B x x A x B =∈∈或用Venn 图表示如下：补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个真子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在S 中的补集记作?sA. 读作A 在S 中的补集。 A B A B

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。二、初中数学竞赛大纲 1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；

新人教版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点总结第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

高一数学必修一讲义1.1集合

本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义元素: 研究的对象集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集

子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集