牛顿第二定律的应用--板块模型及图像小汇总

板块模型小汇总

一、地面光滑，上表面粗糙，无拉力，物块A 带动木板B （地面粗糙，有可能B 不动，有可能共速后一起减速）

（1）物块滑离木板，物块滑到木板右端时二者速度不相等，x B ＋L ＝x A ，速度时间图像类似图1

（2）物块恰好不从木板上掉下的临界条件是物块恰好滑到木板右端时二者速度相等，则位移关系为x B ＋L ＝x A ，速

度时间图像类似图2

二、地面光滑，上表面粗糙，无拉力，木板B 带动物块A （地面粗糙，有可能共速后一起减速，也可能共速后各自减速）

（1）物块滑离木板，物块从木板左端滑离时二者速度不相等，x B ＝x A ＋L ，速度时间图像类似图3

（2）物块恰好不从木板上掉下的临界条件是物块恰好滑到木板左端时二者速度相等，则位移关系为x B ＝x A ＋L ，速度时间图像类似图4

三、地面光滑，上表面粗糙，有拉力

F 较小时，木板和木块一起做加速运动，有F ＝(m A ＋m B )a ，对A 分析，f BA =m A a

临界情况f BA =μm A g ，此时F 是AB 一起加速运动的临界最大值，F 临=(m A ＋m B )μg ，a 的变化和F 图像如图5 F 超过F 临，AB 各自加速，A 从B 左端滑落，速度时间图像如图6 四、地面光滑，上表面粗糙，有拉力

F 较小时，木板和木块一起做加速运动，有F ＝(m A ＋m B )a ，对B 分析，f AB =m B a

临界情况f AB =μm A g ，此时F 是AB 一起加速运动的临界最大值，F 临=(m A ＋m B )A B

m g m ，a 的变化和F 图像如图7 F 超过F 临，AB 各自加速，A 从B 右端滑落，速度时间图像如图8

五、地面粗糙，动摩擦因数μ0，上表面粗糙，动摩擦因数μ，有拉力，F 0=μ0(m A ＋m B )g ，F 临=（μ0＋μ）(m A ＋m B )g

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

①F ≤F 0时，整体静止 ②F 0＜F ≤F 临时，一起加速 ③F ＞F 临时，各自加速，且a B ＞a A

六、地面粗糙，动摩擦因数μ0，上表面粗糙，动摩擦因数μ，有拉力，μm A g≤μ0(m A＋m B)g，A带不动B，B相当于地面

七、地面粗糙，动摩擦因数μ0，上表面粗糙，动摩擦因数μ，有拉力，μm A g≥μ0(m A＋m B)g，F0=μ0(m A＋m B)g

板块模型

板块类问题的解题思路与技巧：

1．通过受力分析判断滑块和木板各自的运动状态（具体做什么运动）；

2．判断滑块与木板间是否存在相对运动。滑块与木板存在相对运动的临界条件是什么？

⑴运动学条件

：若两物体速度或加速度不等，则会相对滑动。

⑵动力学条件：假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出共同加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力f；比较f与最大静摩擦力f m的关系，若f > f m，则发生相对滑动；否则不会发生相对滑动。

3. 分析滑块和木板的受力情况，根据牛顿第二定律分别求出滑块和木板的加速度；

4. 对滑块和木板进行运动情况分析，找出滑块和木板之间的位移关系或速度关系，建立方程．特别注意滑块和木板的位移都是相对地面的位移.

5. 计算滑块和木板的相对位移（即两者的位移差或位移和）；

6. 如果滑块和木板能达到共同速度，计算共同速度和达到共同速度所需要的时间；

7. 滑块滑离木板的临界条件是什么？

当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘达到共同速度（相对静止）是滑块滑离木板的临界条件。

注意点：分析

“板块”模型时要抓住一个转折和两个关联

【典例讲练突破】

【例1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

【变式1】若拉力F作用在A上呢？如图所示。

①F≤F0时，整体静止

②F0＜F≤F临时，一起加速

③F＞F临时，各自加速，且a A＞a B

【变式2】 在变式1的基础上再改为：B 与水平面间的动摩擦因数为1

6

（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），使A 、B 以同一加速度运动，求拉力F 的最大值。

【练1】(江苏)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上，A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为

2

1

μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，现对A 施加一水平拉力F ，则( )

A ．当F ＜2μmg 时，A 、

B 都相对地面静止 B ．当F=

25μmg 时，A 的加速度为3

1μg C ．当F ＞3μmg 时，A 相对B 滑动 D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过

2

1

μg 【例2】如图所示，质量为M 的长木板A 在光滑水平面上，以大小为v 0的速度向左运动，一质量为m 的小木块B (可

视为质点)，以大小也为v 0的速度水平向右冲上木板左端，B 、A 间的动摩擦因数为μ，最后B 未滑离A 。已知M ＝2m ，重力加速度为g 。求：

(1)A 、B 达到共同速度的时间和共同速度的大小； (2)木板A 的最短长度L 。

【例3】 (全国卷Ⅰ)一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与

墙壁的距离为4.5 m ，如图(a)所示。t ＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t ＝1 s 时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1 s 时间内小物块的v －t 图线如图(b)所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g 取10 m/s 2。求：

(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2； (2)木板的最小长度；

(3)木板右端离墙壁的最终距离。

【练3】 如图所示，木板静止于水平地面上，在其最右端放一可视为质点的木块。已知木块的质量m ＝1 kg ，木板

的质量M ＝4 kg ，长L ＝2.5 m ，上表面光滑，下表面与地面之间的动摩擦因数μ＝0.2。现用水平恒力F ＝20 N 拉木板，g 取10 m/s 2。 (1)求木板加速度的大小；

(2)要使木块能滑离木板，求水平恒力F 作用的最短时间；

(3)如果其他条件不变，假设木板的上表面也粗糙，其上表面与木块之间的动摩擦因数为μ1＝0.3，欲使木板能从木块的下方抽出，对木板施加的拉力应满足什么条件？

(4)若木板的长度、木块质量、木板的上表面与木块之间的动摩擦因数、木板与地面间的动摩擦因数都不变，只将水平恒力增加为30 N ，则木块滑离木板需要多长时间？

在线测试

1．如图所示，在光滑水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t 增大的水平力F ＝kt (k 是常量)，木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2。下列反映a 1和a 2随时间t 变化的图线中正确的是(

)

2．如图所示，物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知m A =6kg ，m B =2kg ，A 、B 间动摩擦因数μ=0.2， A 物上系一细线，细线能承受的最大拉力是20N ，水平向右拉细线，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.下述中正确的是（g =10m/s 2）（ ）

A.当拉力F ＜12N 时，Ａ相对B 静止

B.当拉力F ＞12N 时，A 相对B 滑动

C.当拉力F =16N 时，B 受A 的摩擦力等于4N

D.无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止

3．(多选)如图甲所示，一质量为m 1的薄木板(厚度不计)静止在光滑水平地面上，现有一质量为m 2的滑块以一定的水平初速度v 0，从木板的左端开始向木板的右端滑行，滑块和木板的水平速度大小随时间变化的情况如图乙所示，根据图象可知以下判断正确的是( ) A ．滑块始终与木板存在相对运动 B ．滑块未能滑出木板

C ．滑块的质量m 2大于木板的质量m 1

D ．在t 1时刻，滑块从木板上滑出

4．如图所示，一块足够长的轻质长木板放在光滑水平地面上，质量分别为m A ＝1 kg 和m B ＝2 kg 的物块A 、B 放在长木板上，A 、B 与长木板间的动摩擦因数均为μ＝0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现用水平拉力F 拉A ，取重力加速度g ＝10 m/s 2。改变拉力F 的大小，B 的加速度大小可能为( ) A ．1 m/s 2 B ．2.5 m/s 2 C ．3 m/s 2 D ．4 m/s 2

A

B

F

5、如图所示，质量M＝8 kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平推力F＝8 N。当小车向右运动的速度达到1.5 m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计、质量为m＝2 kg的小物块，小物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，小车足够长。求：

(1)放上小物块后，小物块及小车的加速度各为多大？

(2)经多长时间两者达到相同的速度？

(3)从小物块放在小车上开始，经过t＝1.5 s小物块通过的位移大小为多少？(取g＝10 m/s2)

6．如图，质量M＝1kg的木板静止在水平面上，质量m＝1kg、大小可以忽略的铁块静止在木板的右端。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知木板与地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，铁块与木板之间的动摩擦因数μ2＝0.4，取g ＝10m/s2，现给铁块施加一个水平向左的力F。

(1)若力F恒为8N，经1s铁块运动到木板的左端。求木板的长度；

(2)若力F从零开始逐渐增加，且木板足够长。试通过分析与计算，在图中作出铁块受到的摩擦力f随力F大小变化的图象。

解析

【例1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

【点拨】为防止运动过程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B间的静摩擦力加速），A、B一起加速的最大加速度由A决定。

【解答】物块A能获得的最大加速度为：．

∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

．

【变式1】 若拉力F 作用在A 上呢？如图所示。

【解析】：木板B 能获得的最大加速度为：。

∴A 、B 一起加速运动时，拉力F 的最大值为：

．

【变式2】 在变式1的基础上再改为：B 与水平面间的动摩擦因数为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），

使A 、B 以同一加速度运动，求拉力F 的最大值。

【解答】木板B 能获得的最大加速度为：

设A 、B 一起加速运动时，拉力F 的最大值为F m ，则：

解得：

【练1】(2014?江苏)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上，A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为

2

1

μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，现对A 施加一水平拉力F ，则( )

A ．当F ＜2μmg 时，A 、

B 都相对地面静止 B ．当F=

25μmg 时，A 的加速度为3

1μg C ．当F ＞3μmg 时，A 相对B 滑动 D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过

2

1

μg

【例2】如图所示，质量为M 的长木板A 在光滑水平面上，以大小为v 0的速度向左运动，一质量为m 的小木块B (可视为质点)，以大小也为v 0的速度水平向右冲上木板左端，B 、A 间的动摩擦因数为μ，最后B 未滑离A 。已知M ＝2m ，重力加速度为g 。求：

(1)A 、B 达到共同速度的时间和共同速度的大小； (2)木板A 的最短长度L 。

【点拨】 (1)分析摩擦力方向→判断A 和B 的运动性质→求速度和时间。 (2)计算A 和B 的位移→求相对位移→最短长度。

【解析】 (1)对A 、B 分别由牛顿第二定律有 μmg ＝Ma A ，μmg ＝ma B

又M ＝2m ，可得a A ＝1

2

μg ，a B ＝μg

规定水平向右为正方向，经时间t 两者达到共同速度v ，则v ＝v 0－a B t ＝－v 0＋a A t

解得t ＝

2v 0a A ＋a B ＝4v 03μg

，v ＝－v 0

3。

(2)在时间t 内：

A 的位移x A ＝－v 0＋v 2t ＝－8v 20

9μg

B 的位移x B ＝v 0＋v 2t ＝4v 20

9μg

木板A 的最短长度为两者的相对位移大小，即 L ＝Δx ＝x B －x A ＝4v 20

3μg 。

答案 (1)4v 03μg v 03 (2)4v 20

3μg

【以题说法】

解决速度临界问题的思维模板

【练2】(2019?江苏)如图所示，质量相等的物块A 和B 叠放在水平地面上，左边缘对齐．A 与B 、B 与地面间的动摩擦因数均为μ。先敲击A ，A 立即获得水平向右的初速度，在B 上滑动距离L 后停下。接着敲击B ，B 立即获得水平向右的初速度，A 、B 都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ．求： （1）A 被敲击后获得的初速度大小v A ；

（2）在左边缘再次对齐的前、后，B 运动加速度的大小a B 、a B '； （3）B 被敲击后获得的初速度大小v B ．

【解析】（1）由牛顿运动定律知，A 加速度的大小a A =μg 匀变速直线运动2a A L =v A 2解得2A v gL μ= （2）设A 、B 的质量均为m

对齐前，B 所受合外力大小F =3μmg 由牛顿运动定律F =ma B ，得a B =3μg

对齐后，A 、B 所受合外力大小F ′=2μmg 由牛顿运动定律F ′=2ma B ′，得a B ′=μg

（3）经过时间t ，A 、B 达到共同速度v ，位移分别为x A 、x B ，A 加速度的大小等于a A 则v =a A t ，v =v B –a B t 2211

22A A B B B x a t x v t a t ==-，

且x B –x A =L

解得22B v gL μ=。

【例3】 (2015·全国卷Ⅰ，25，)一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5 m ，如图(a)所示。t ＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t ＝1 s 时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)。碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板。已知碰撞后1 s 时间内小物块的v －t 图线如图(b)所示。木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g 取10 m/s 2。求：

(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2； (2)木板的最小长度；

(3)木板右端离墙壁的最终距离。 【模型解析】

第一步：分析研究对象模型。设小物块和木板的质量分别为m 和M 。小物块可以看作质点(初始条件v 0未知，如图甲所示)。

第二步：分解过程模型。

(1)认为地面各点的粗糙程度相同，小物块和木板一起向右做匀变速运动，到速度大小为v 1，如图乙所示。

(2)木板与墙壁碰撞过程：小物块受到滑动摩擦力(设置的初始条件)，由于碰撞时间极短(Δt →0)，故碰后小物块速度不变，木板的速度方向突变(设置的初始条件)，如图丙所示。

(3)然后小物块向右减速，木板向左减速，经1 s 小物块速度减小为零(如图丁所示)。由于木板的加速度较小，故小物块速度为零时，木板仍有速度．然后小物块向左加速，木板向左减速，到二者达到共同速度v 3(如图戊所示)。 (4)分析临界条件，包括时间关系和空间关系，如图戊所示。

(5)在小物块和木板具有共同速度后，两者向左做匀变速直线运动直至停止(如图己所示)。

第三步：选择计算方法。上面的每一个过程都有特定条件要求，应根据各自的物理规律，选择相应的计算方法解题。 【规范步骤】(1)根据图象可以判定碰撞前小物块与木板共同速度为v ＝4 m/s 碰撞后木板速度水平向左，大小也是v ＝4 m/s

小物块受到滑动摩擦力而向右做匀减速直线运动，加速度大小a 2＝v －0t ＝4－0

1 m/s 2＝4 m/s 2。

根据牛顿第二定律有μ2mg ＝ma 2，解得μ2＝0.4

木板与墙壁碰撞前，匀减速运动时间t ＝1 s ，位移x ＝4.5 m ，末速度v ＝4 m/s 其逆运动则为匀加速直线运动可得x ＝vt ＋1

2

a 1t 2

解得a 1＝1 m/s 2

小物块和木板整体受力分析，滑动摩擦力提供合外力，由牛顿第二定律得：μ1(m ＋15m )g ＝(m ＋15m )a 1，即 μ1g ＝a 1 解得μ1＝0.1

(2)碰撞后，木板向左做匀减速运动，依据牛顿第二定律有 μ1(15m ＋m )g ＋μ2mg ＝15ma 3 可得a 3＝4

3

m/s 2

对滑块，加速度大小为a 2＝4 m/s 2

由于a 2＞a 3，所以滑块速度先减小到0，所用时间为t 1＝1 s 的过程中，木板向左运动的位移为

x 1＝vt 1－12a 3t 21＝103 m, 末速度v 1＝v －a 3t 1＝8

3 m/s 滑块向右运动的位移x 2＝v ＋02t 1

＝2 m

此后，小物块开始向左加速，加速度大小仍为a 2＝4 m/s 2 木板继续减速，加速度大小仍为a 3＝4

3 m/s 2

假设又经历t 2二者速度相等，则有a 2t 2＝v 1－a 3t 2 解得t 2＝0.5 s

此过程中，木板向左运动的位移

x 3＝v 1t 2－12a 3t 22＝7

6 m ，末速度v 3＝v 1－a 3t 2＝2 m/s

滑块向左运动的位移x 4＝1

2a 2t 22

＝0.5 m

此后小物块和木板一起匀减速运动，二者的相对位移最大为Δx ＝x 1＋x 2＋x 3－x 4＝6 m 小物块始终没有离开木板，所以木板最小的长度为6 m

(3)最后阶段滑块和木板一起匀减速直到停止，整体加速度大小为a 1＝1 m/s 2 向左运动的位移为x 5＝v 23

2a 1

＝2 m

所以木板右端离墙壁最远的距离为 x ＝x 1＋x 3＋x 5＝6.5 m

答案 (1)0.1 0.4 (2)6 m (3)6.5 m

【练3】 如图所示，木板静止于水平地面上，在其最右端放一可视为质点的木块。已知木块的质量m ＝1 kg ，木板的质量M ＝4 kg ，长L ＝2.5 m ，上表面光滑，下表面与地面之间的动摩擦因数μ＝0.2。现用水平恒力F ＝20 N 拉木板，g 取10 m/s 2。

(1)求木板加速度的大小；

(2)要使木块能滑离木板，求水平恒力F 作用的最短时间；

(3)如果其他条件不变，假设木板的上表面也粗糙，其上表面与木块之间的动摩擦因数为μ1＝0.3，欲使木板能从木块的下方抽出，对木板施加的拉力应满足什么条件？

(4)若木板的长度、木块质量、木板的上表面与木块之间的动摩擦因数、木板与地面间的动摩擦因数都不变，只将水平恒力增加为30 N ，则木块滑离木板需要多长时间？

【答案】 (1)2.5 m/s 2 (2)1 s (3)F ＞25 N (4)2 s

【解析】 (1)木板受到的摩擦力F f ＝μ(M ＋m )g ＝10 N

木板的加速度a ＝

M

F F f ＝2.5 m/s 2。

(2)设拉力F 作用时间t 后撤去，F 撤去后，木板的加速度为a ′＝－

M

F f ＝－2.5 m/s 2，可见|a ′|＝a

A

木块滑离木板时，两者的位移关系为x 木板－x 木块＝L ，

即21

a ′木板t 2－21

a ′木块t 2＝L 代入数据解得：t ＝2 s 。 【在线测试】

1．如图所示，在光滑水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t 增大的水平力F ＝kt (k 是常量)，木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2。下列反映a 1和a 2随时间t 变化的图线中正确的是( )

解析 开始时木板和木块一起做加速运动，有F ＝(m 1＋m 2)a ，解得a ＝F m 1＋m 2＝kt

m 1＋m 2，即木板和木块的加速度

相同且与时间成正比。当木板与木块间的摩擦力达到μm 2g 后两者发生相对滑动，对木块有F －μm 2g ＝m 2a 2，a 2＝F －μm 2g m 2＝kt m 2－μg ，故其图线的斜率增大；对木板，在发生相对滑动后，有μm 2g ＝m 1a 1，故a 1＝μm 2g

m 1为定值。所以选项A 正确。 答案 A 2．如图所示，物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知m A =6kg ，m B =2kg ，A 、B 间动摩擦因数μ=0.2， A 物上系一细线，细线能承受的最大拉力是20N ，水平向右拉细线，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.下述中正确的是（g =10m/s 2）（ ）

A.当拉力F ＜12N 时，Ａ相对B 静止

B.当拉力F ＞12N 时，A 相对B 滑动

C.当拉力F =16N 时，B 受A 的摩擦力等于4N

D.无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止

3．(多选)如图2甲所示，一质量为m 1的薄木板(厚度不计)静止在光滑水平地面上，现有一质量为m 2的滑块以一定的水平初速度v 0，从木板的左端开始向木板的右端滑行，滑块和木板的水平速度大小随时间变化的情况如图乙所示，根据图象可知以下判断正确的是( )

图2

A ．滑块始终与木板存在相对运动

B ．滑块未能滑出木板

C ．滑块的质量m 2大于木板的质量m 1

D ．在t 1时刻，滑块从木板上滑出

解析 滑块以水平初速度v 0滑上木板，滑块减速，木板加速，滑块和木板的加速度的大小分别为a 2＝μm 2g

m 2＝μg ，

a 1＝μm 2g m 1，由v －t 图象可知，滑块的速度一直大于木板的速度，即两者之间始终存在相对运动，在t 1时刻，滑块滑

出木板，各自做匀速直线运动。由v －t 图象分析可知a 2＜a 1，即μg ＜μm 2g

m 1，则m 1＜m 2，选项A 、C 、D 正确。

答案 ACD

4．如图所示，一块足够长的轻质长木板放在光滑水平地面上，质量分别为m A ＝1 kg 和m B ＝2 kg 的物块A 、B 放在长木板上，A 、B 与长木板间的动摩擦因数均为μ＝0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现用水平拉力F 拉A ，取重力加速度g ＝10 m/s 2。改变拉力F 的大小，B 的加速度大小可能为( )

图3

A ．1 m/s 2

B ．2.5 m/s 2

C ．3 m/s 2

D ．4 m/s 2

解析 A 、B 放在轻质长木板上，长木板质量为0，所受合力始终为0，即A 、B 所受摩擦力大小相等。由于A 、B 受到长木板的最大静摩擦力的大小关系为f A max

【备选】很薄的木板a 在水平地面上向右滑行，可视为质点的物块b 以水平速度0v 从右端向左滑上木板。二者按原方向一直运动至分离，分离时木板的速度为a v ，物块的速度为b v ，所有接触面均粗糙，则（ ABC ） A 0v 越大，a v 越大 B 木板下表面越粗糙，b v 越小 C 物块质量越小，a v 越大 D 木板质量越大，b v 越小

【备选】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB 边重合，如图．已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2．现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？（以g 表示重力加速度）

【分析与解】本题涉及到圆盘和桌布两种运动，先定性分析清楚两者运动的大致过程，形成清晰的物理情景，再寻找相互间的制约关系，是解决这一问题的基本思路。

桌布从圆盘下抽出的过程中，圆盘的初速度为零，在水平方向上受桌布对它的摩擦力F1=μ1mg作用，做初速为零的匀加速直线运动。桌布从圆盘下抽出后，圆盘由于受到桌面对它的摩擦力F2=μ2mg作用，做匀减速直线运动。

设圆盘的质量为m，桌长为L，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为a1，则根据牛顿运动定律有μ1mg=ma1，

桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有μ2mg=ma2。

设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，

则有

1

1

2

1

2x

a

v=，

2

2

2

1

2x

a

v=，

盘没有从桌面上掉下的条件是

1

22

x

L

x-

≤，

设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有2

2

1

at

x=，2

1

12

1

t

a

x=，

而

1

2

x

L

x+

=，

由以上各式解得g

a

1

2

2

1

2

μ

μ

μ

μ+

≥。

【解题策略】这是一道牛顿运动定律与运动结合的问题，有一定的难度。命题中出现了两个相互关联的物体的运动，解决这类问题时，一要能对每个物体进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程；二要把握几个物体之间在空间位置和时间上的关系，注意各物理过程的衔接。

【备选】如图所示，质量M＝8 kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平推力F＝8 N。当小车向右运动的速度达到1.5 m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计、质量为m＝2 kg的小物块，小物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，小车足够长。求：

图7

(1)放上小物块后，小物块及小车的加速度各为多大？

(2)经多长时间两者达到相同的速度？

(3)从小物块放在小车上开始，经过t＝1.5 s小物块通过的位移大小为多少？(取g＝10 m/s2)

解析(1)小物块的加速度a m＝μg＝2 m/s2，

小车的加速度a M＝

F－μm g

M＝0.5 m/s

2。

(2)由a m t1＝v0＋a M t1，得t1＝1 s。

(3)在开始1 s内小物块的位移x1＝

1

2a m t

2

1

＝1 m。

x2

a

L/2

x

x1

桌布

最大速度v ＝a m t 1＝2 m/s 。

在接下来的0.5 s 内小物块与小车相对静止，一起做加速运动且加速度a ＝F

M ＋m ＝0.8 m/s 2。

这0.5 s 内的位移x 2＝vt 2＋1

2at 22＝1.1 m ，

通过的总位移x ＝x 1＋x 2＝2.1 m 。

答案 (1)2 m/s 2 0.5 m/s 2 (2)1 s (3)2.1 m