组合数学与数论1
第一部分：组合数学
第一章计数的基本原则
一．组合数学的历史和内容
1.历史：组合数学最早起源于中世纪的印度，在漫长的历史中，一
直发展缓慢。随着上一世纪计算机的出现，组合数学开始快速地发展。近几年，由于计算机安全领域受到重视以及组合数学在计算机安全领域的应用，组合数学受到越来越多的重视。
2.内容：组合数学主要包括以下几个内容：
(1)组合分析（也称为组合计数理论）
(2)组合优化（包括线性规划，整数规划等）
(3)组合设计（包括区组设计等）
(4)组合算法（例如：搜索算法，DFS算法与分支定界法，动态规
划等）
*图论本是组合数学这个家族的一个主要成员，但它已成长壮大，独立成一门学科。
3. 本课程介绍的主要内容：组合计数理论
二．加法原则与乘法原则
1. 加法原则：
设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 或事件B”有m+n种产生方式。
例子：大于0而小于10的偶数有4个，即：{2，4，6，8}，大于0而小于10的奇数有5个，即：{1，3，5，7，9}。则大于0而小于10
的整数有：4+5=9个，即：{1，2，3，4，5，6，7，8，9}。
*如果A1,A2,?,A n是互不相交的有穷集，那么
|A1∪A2∪?∪A n|=|A1|+|A2|+?+|A n|
2.乘法原则：
若事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 与事件B”有mn种产生方式。
例1：设一个符号由两个字符组成，第一个字符有a,b,c,d,e五种方式，第二个字符有1,2,3三种方式。则根据乘法原则，该符号具有5×3= 15种方式，即
a1,b1,c1,d1,e1;a2,b2,c2,d2,e2;a3,b3,c3,d3,e3.
例2：从A到B有3条不同的道路，从B到C有2条不同的道路，从A经B到C共有n=3×2=6条不同的道路。
例3：求比10000小的正整数中含有数字1的数的个数。
解：先求所有4位数中不含有数字1的个数，即求由{0，2，3，4，5，6，7，8，9} 9个数字组成的4位数的个数。每一位都有9种出现方式，根据乘法原则，由9个数字组成的4位数个数为：9×9×9×9= 6561，其中包含0000不是正整数。故比10000小不含数字1的4位正整数的个数=6561?1=6560.
所以小于10000含有数字1的4位数个数=9999?6560=3439.
第二章排列与组合
一．排列与组合
1.排列
在n个元素的集合中选r个元素有序地安排称为一个排列（或r 排列）。这样的排列的不同方案的数目记作P(n, r)。
例1：在5个人的一组中选3个人站成一行照相，共有多少种方案？若从5个人中选5个人站成一行照相，共有多少种方案？
解：在第一个问题中，一行中的第1个人有5种选择方案，第1个人选定后，第2个人有4种选择方案，第2个人也选定后，第3个人有3种选择方案。再由乘法原则，共有5×4×3=60种方案。
在第二个问题中，第1个人有5种方案，第2个人有4种方案，第3个人有3种方案，第4个人有2种方案，第5个人有1种方案。共有5?4?3?2?1=120种方案。
定理2.1：如果n是一个正整数且r是一个整数满足：1≤r≤n，那么有P(n,r)=n(n?1)(n?2)?(n?r+1)
种从n个不同元素的集合选r排列的方案数。特别地，P(n,n)=n!。例2：用{A, B, C, D, E, F, G, H}排列成包含子串ABC的排列方案数是多少？
解：因为ABC必须出现，我们把它看作是一个单独的字符，与其它5个字母组成排列，共有P(6,6)=6!=720种排列方案。
2.组合
在n个元素的集合中选r个元素构成一个子集的方案数成为n个
中取r 个的组合数，记为C(n,r)或(n r
)，该式有时称为二项式系数 （binomial coefficient ）。n 个元素中取r 个元素组成一个无序的子集称为一个r 组合。
定理2.2：设n 是非负整数且r 是一个整数满足0≤r ≤n ，那么n 个元素的集合的r 组合数为
C (n,r )=n!r!(n ?r )!
证明：集合的r 排列可以先从n 个元素的集合中选一个r 组合，再将选出来的r 个数作全排列。因此，
P (n,r )=C (n,r )P (r,r )
因此，C (n,r )=P(n,r)P(r,r)=n!/(n?r )!
r!/(r?r )!=n!
r!(n?r )! 。
*上述公式不好计算。当n 很大，而r 较小时，上述公式要算两个大数的阶乘n!和(n ?r )!。根据阶乘的定义，上式化为
C (n,r )=n!r!(n ?r )!=n (n ?1)?(n ?r +1)r!
例3：从52张的标准纸牌中选一手5张纸牌，有多少种方案？选47张纸牌有多少种方案？
解：选5张纸牌，即52中选5个的组合，方案数为
C (52,5)=
52!5!47!=52?51?50?49?485?4?3?2?1=2,598,960 而C (52,47)=52!47!5!=52!5!47!=C(52,5) 。
推论2.3：设n 和r 为非负整数满足0≤r ≤n ，那么C (n,r )=C(n,n ?r).
二．二项式系数
1. 二项式定理
例4：展开(x +y)3。用组合推理而不是将3项乘出来，求展开式各项的系数。
解：因为(x +y)3=(x +y )(x +y )(x +y )。展开后的每一项由三个和式中各取一项x 或y 组成。其中含x 3,x 2y,xy 2,和y 3项。其中x 3是从3个和式中各取一项x 构成，共有1项，也可以看作从3个和式中各取0项y 组成，因而系数为C(3,0)。x 2y 为从3个和式中取1个y ，方案数为C(3,1)，故它的系数为C(3,1)=3。xy 2为从3个和式中取2个y ，方案数为C(3,2)=3。y 3为从3个和式中取3个y ，方案数为C(3,3)=1。故
(x +y )3=C (3,0)x 3+C (3,1)x 2y +C (3,2)xy 2+C (3,3)y 3
=x 3+3x 2y +3xy 2+y 3
与乘出来展开后得到的公式相同。
定理2.4：（二项式定理）设x 和y 是变量，n 是非负整数，那么
(x +y)n =∑(n j )n j=0x (n?j)y j
=(n 0)x n +(n 1)x n?1y 1+(n 2)x n?2y 2+?+(n n
)y n 。 2.几个组合等式
推论2.5：设n 是非负整数，那么
∑(n k )n k=0=2n 。
证明：由二项式定理，令x=y=1，有
2n =(x +y)n =∑(n k )n k=01k 1n?k =∑(n k )n k=0 。
证明2：（组合证明）一个有n 个元素的集合S 中有2n 个不同子集，
共有(n 0)个0个元素的子集，(n 1)个1个元素的子集，(n 2)个2个元素的子集，?，及(n n )个n 个元素的子集。所有子集的个数为 ∑(n k
)n k=0=2n 。 推论2.6：设n 为正整数，那么
∑(?1)k (n k
)=0n k=0 。 证明：令x =1,y =?1, 由二项式定理
0=0n =(1+(?1))n =∑(n k )n k=0(?1)k 1n?k =∑(?1)k (n k
)n k=0 。 *推论2.6蕴含： (n 0)+(n 2)+(n 4)+?=(n 1
)+(n 3)+(n 5)+? 推论2.7：设n 为非负整数，那么
∑2k (n k
)=3n n k=0 。 证明：由二项式定理，令x =1,y =2，有
3n =(1+2)n
=∑(n k )n k=01n?k 2k =∑2k (n k )n k=0 。 推论2.8：设n 为正整数，那么
∑k (n k )n k=1=(n 1)+2(n 2)+3(n 3)+?+n (n n
)=n ?2n?1 。 证明：由二项式定理，令x=1，有
(1+y)n =∑(n k )y k n k=0, 公式两边对y 求导，得
n(1+y)n?1=∑k (n k
)n k=1y k?1 用y=1代入上式，得
∑k (n k
)n k=1=n(1+1)n?1=n ?2n?1 。 三．帕斯卡等式和三角
定理2.9：（Pascal 等式）设n 和k 为正整数满足n ≥k ，那么
(n +1k
)=(n k )+(n k ?1) 证明：假设T 是包含n+1个元素的集合，a 是T 中某一个元素，设 S =T ?{a}。T 中有(n +1k
)个子集包含k 个元素，T 中任意一个有k 个元素的子集，或者包含a 以及S 中的k ?1个元素，或者包含S 中
的k 个元素，不包含a 。因为S 中有(n k ?1)个k ?1个元素的子集，因此，T 中有(n k ?1)个子集包含a ，另外，T 中有(n k
)个子集包含k 个元素但不包含a ，因此，
(n +1k )=(n k )+(n k ?1) *用组合公式(n r
)=n!r!(n?r )!也可证上述公式。 *用Pascal 等式和初始条件(n 0)=(n n
)=1，可以递归地计算组合公式，这个递归公式只需要用加法，而不需要用乘法就可以计算。 *Pascal 等式是用一个三角对二项式系数进行几何安排的基础。
四．其它一些二项式系数的等式
定理2.10：(Vandermonde 等式) 设m, n 和r 是非负整数，满足r 不大于m 和n 中任何一个。那么
(m +n r
)=∑(m r ?k )r k=0(n k ) 证明：假设在集合A 中有m 项，在集合B 中有n 项，那么在两个集
合中共取r 个元素的组合数是(m +n r
)，取r 个元素的另一种方式是在A 中取r ?k 个元素，在B 中取k 个元素，由乘法原则，这有 (m r ?k )(n k
)种取法，而k 可取0,1,?,r 中任一值，由加法原则，可得 (m +n r )=∑(m r ?k )(n k )r
k=0 这就证明了该等式。
推论2.11：如果n 是非负整数，那么
(2n n )=∑(n k )2n
k=0 证明：由Vandermonde 等式，取m =r =n ，有
(2n n
)=∑(n n ?k )(n k )n k=0=∑(n k )2n
k=0 其中用到等式(n n ?k )=(n k )。 定理2.12：设n 和r 是非负整数，满足r ≤n 。那么
(n +1r +1)=∑(j r )n
j=r 证明：我们使用组合证明。左边的公式(
n +1r +1
)计算有r +1个1，长度为n+1的0，1串的个数。 我们证明右边的公式计算同样的对象的个数。考虑最后一个1的位置在r +1,r +2,?,n +1位时，最后一个1的前k ?1位含r 个1的组合数，而k 可取r +1,r +2,?,n +1。由加法原则，共有
∑(k ?1r )n+1
k=r+1=∑(j r )n
j=r 种方式。故
(n +1r +1)=∑(j r )n
j=r
作业：
1. 求各位数字互异，且个位数不为5的五位数的数目(首位数字不能为0)。
2. 求A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6及B 1,B 2,B 3,B 4共有10个元素的全排列，要求其中每两个B 的元素之间至少有一个A 的元素的排列数。
3. 证明组合等式：
∑r 2
(n r )=n(n +1)2n?2n
r=1 4. 由n 个字符组成长度为m 的字符串，求相同的字符不能相邻的方案数。
5. 用组合证明，证明以下组合等式：
(n r )=n n ?r
(n ?1r )
趣味数学素材：洗衣服的数学问题
洗衣服的数学问题 河北 赵春祥 在洗衣服时，衣服已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能把水拧干，设衣服上还残留含有污物的水1公斤，用20公斤清水来漂洗，问题是怎样才能漂洗得干净？ 如果把衣服一下子放到20公斤清水中那么连同衣服上那1公斤水，一共21 公斤水，拧“干“后，衣服上还有1公斤水，所以污物残存量是原来的 21 1． 通常我们把20公斤水分两次用，比如，第一次用5公斤，可使污物减少到6 1 ， 再用15公斤的水，污物又减少到96 1 ，分两次漂洗，效果好多了！同样分两次漂 洗，也可以每次用10公斤水，每次都使污物减少到原有11 1 ，两次漂洗后，污物 减少到原有的121 1 ，这个效果是不是最好呢？这就要用字母代替数把问题一般 化． 设衣服经过洗涤充分拧干后，残存水量P 公斤，其中含污物m 0千克，漂洗用的清水A 公斤，其中把A 公斤水分成n 次使用，每次用量依次是a 1，a 2，a 3，…，a n (公斤)，经过n 次漂洗，衣服上还有多少污物呢？怎样合理使用这A 公斤水，才能把衣服洗得最干净？(残留物量最少)． 第一次，把带有m 0千克污物的P 公斤水的衣服放到a 1公斤水中，充分搓洗，使m 0千克污物溶解或均匀悬浮在P + a 1公斤水中，把污水倒掉，衣服拧“干”时，由于m 0千克均匀分布在P + a 1公斤水中，所以衣服上残留的污物量m 1与残留的水里P 成正比： 10 m m 残来残衣服上余污物量原存的污物量= 1P a P +拧残“干”后存水量清水量加污水量，即m 1= P a P m +10=P a m 10 1+ ．
完全类似地分析可知，漂洗两次后衣服上的残余污量为m 2= P a m 21 1+=) 1)(1(210P a P a m ++． 依次继续漂洗，当第n 次漂洗完后，设衣服上残存的污物量为m n ，则有 m n = ) 1()1)(1(2 10 P a P a P a m n +???++ ⑴ ． 从公式⑴可以看出： ①原来衣服上残存污物m 0越多，最后残存的污物m n 也会越多(衣服越脏越难洗净，与实际相符)； ②P 越小，m n 越小，即每次拧得越“干”，最后残余物越少，这与生活常识是一致的． 根据上述分析提出两个问题供读者参考练习： ⒈一位同学洗衣服时，用15公斤清水分三次进行漂洗，怎样分配水量可使衣服洗得干净？ ⒉一位同学说：“当水量一定时，用清水漂洗的次数越多，衣服洗得越干净”，你同意这个观点吗？请说明理由．
组合数论问题
组合数论问题 组合数论作为数论的一个（小）分支，是研究整数集合的组合性质。与代数数论、解析数论等分支相对应，组合数论的证明与结论更多地带有“离散的、组合的”味道。 例1. （组合数论经典定理）证明：任意2n+1个整数中一定可以找到n 个， 其和为n 的倍数。 [证：]先证命题的（完全）积性，即 引理：若对于正整数m, n 原命题都成立，则命题对于mn 亦成立。 由引理，只需对n=p 为素数的情形证明即可。 反证法，设存在2p+1个正整数1221,,,+p x x x 使得其中任意p 个之和 考察 )(m o d )(1122 1 p x x x C p i i i p p p ∑-++++≡ 例2．(IMO 预选题2008N4).对于整数k ?2,证明122k k C +－1 22k k C -被23k 整除但不被23k+1整除. [证：]利用2n n C =2(2)!(!)n n =2(21)!!!n n n -=222((21)!!)(2)! n n n -, 1 22k k C +－1 22k k C -=21 2(21)!!(2)!k k k +-－22 2((21)!!)(2)!k k k -=22(21)!!(2)!k k k -(121(221)k k i i -=+-∏－1 2 1 (2(21))k k i i -=--∏). 1 21 (221)k k i i -=+-∏－121 (2(21))k k i i -=--∏=2 12(21)12(21)1 2k k r k r r S ---+--=∑≡2 k+1 (2k －1)!!121 1 21 k i i -=-∑ (mod 23k+1). 1 21121 k i i -=-∑=121 2111()212(21)k k i i i -=+---∑=2k-1 1 2 11(21)(2(21)) k k i i i -=---∑. A={1,3,…, 2k －1}是(mod 2k )的缩系,故r -2(r ∈A)是r 2(r ∈A)的置换,因此 1(2)k r A r r ∈-∑≡－2 1r A r ∈∑≡－2 r A r ∈∑=－1 2 1 (4(1)1)k i i i -=-+∑≡2k-1(mod 2k ).
初等数论《完全平方数》 习题集(1)
初等数论《完全平方数》习题集(1) 一完全平方数 自然数 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …完全平方数 N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 … 二完全平方数的特征 1 末位数字为：0、1、4、5、6、9的，可能是完全平方数，如 100 81 64 225 36 169等等。但有的不是完全平方数，如 200 181 464 325 56 189 等等。 2 末位数为：2、3、7、8的整数，肯定不是完全平方数。如22222、12 3 167 38 等等， 3 偶数的平方是4N型的偶数。个位数字是偶数0、 4 、6，十位数字有奇有偶。 它们只能是 00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 96 4 奇数的平方是4N+1型的奇数。个位数字是奇数1、9 ，十位数字有奇有偶。即只能是 01 21 41 81 09 29 49 69 89 5 尾数为25的数，可能是完全平方数。如225 625等等， 但有的不是完全平方数，如125 325 7125等等。 6 3k或3k+1型的数，可能是完全平方数。如144=3×48 、121=3×40+1等， 但有的不是完全平方数，如156 =52×3、244=81×3+1等等。
7 完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。数字和是2,3,5,6,8的，肯定不是 完全平方数。 8 如果质数p能整除A，但p的平方不能整除A，则A不是完全平方数。如： 7︱196 49︱ 196 A=196 是完全平方数 7︱119 49ト119 A=119 不是完全平方数 9 相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。如72=49、82=64之间，不 可能有别的平方数。 总之，以上的判别法，只判别可能是完全平方数，但不能肯定是完全平方数。 实质上只适合判别非完全平方数。 10 判别完全平方数的必要充份条件是：因数一定是偶次方，因数个数一定是奇 数。最直接的方法是质因数分解。例如144=122=24×32 11 平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y） 12 完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 13 完全平方差公式：（X-Y）2= X2-2XY+Y2 14 p=4n+1型的素数，都能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=29=22+52等等 p=4n+3型的素数，不能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=31≠x2+y2等等 15 两个奇数的平方和，一定不是完全平方数。如32+52=34≠y2、92+152=306≠y2等等 15 两个质数的平方和，一定不是完全平方数。如22+32=13≠x2 、 32+52=34≠y2等等 可见，两个质数的平方和，可能是质数，也可能是合数，但肯定不是完全平方数。 17拉格朗日四平方和定理：任何一个正整数都可以表示为不超过四个整数的平方之和。
趣味数学故事大全
趣味数学故事大全 路遇哪吒:八戒正往前走，忽听背后有人叫他：“老猪，好自在啊！”八戒回头一看，是托塔天王的三太子哪吒。 八戒摇晃着脑袋说：“这不是那个三头六臂的妖精吗？” 哪吒听八戒叫他妖精，勃然大怒，大喝一声：“变！”随即变做三头六臂，6只手分别拿着6件兵器：斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿、火轮儿，恶狠狠地朝八戒打来。 八戒不敢怠慢，舞动钉耙迎了上去，两人“叮叮当当”地打了起来。过了一阵子哪吒见没占到便宜，又喊了一声：“换！”6只手拿着的兵器立刻交换了一下位置。就这样哪吒不断变换着兵器的拿法，可把八戒打晕了。 八戒连连摆手说：“不打啦，不打啦，我说你这6只手一共有多少种不同的拿法？” “720种！”哪吒神气活现。 “吹牛！”八戒把大嘴一撇说，“有个二三十种我还信，720种？你别骗我啦！” 哪吒让5只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿，对八戒说：“你看，我5只手拿的兵器固定不变，这时我第6只手只有拿火轮儿这一种拿法。” 八戒点点头说：“嗯，不错，就一种拿法。” 哪吒又让4只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵，这时第5、6只手可以轮换拿绣球儿、火轮儿，共有两种拿法。 哪吒再让3只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索，而另3只手变换出以下6种拿法： 降妖杵、绣球儿、火轮儿； 降妖杵、火轮儿、绣球儿； 绣球儿、降妖杵、火轮儿； 绣球儿、火轮儿、降妖杵； 火轮儿、绣球儿、降妖杵； 火轮儿、降妖杵、绣球儿。
八戒摸摸脑袋说：“这要是6只手都随便拿可怎么个排法呀？还不排晕喽！” 哪吒笑骂着：“真是个呆子！你观察一下下面的3个数：1＝1，2=1×2，6＝1×2×3。由此推想：如果固定两只手，而剩下的4只手随意拿，可有1×2×3×4×＝24种拿法。而6只手都随意拿呢？有1×2×3×4×5×6＝720种不同拿法。” 八戒向哪吒一拱手：“你的变化真多，我服了。” 大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的。他们使用罗马数字。罗马数字是用几个表示数的符号，按照一定规则，把它们组合起来表示不同的数目。在这种数字的运用里，不需要“0”这个数字。 而在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号。他发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍。过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了。当时是欧洲的中世纪，教会的势力非常大，罗马教皇的权利更是远远超过皇帝。教皇非常恼怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它给引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹注，使他两手残废，让他再也不能握笔写字。就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了。 但是，虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献。后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了。 小朋友你们可知道数学天才高斯小时候的故事呢？ 高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ? 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被高斯叫住了！！原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说：1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1 =101+101+101+ ..... +101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！ 在日常生活中，数学无处不在，比如说：买菜、卖菜、算多少钱……
趣味数学(数学绘本)
趣味数学（数学绘本） 施伟义蓬四小低段一年级 开发背景：数学新课程标准明确指出：学生的数学学习应当是一个生动活泼的，主动的，富有个性的过程。在现今的国际数学教育领域中，数学教育的发展已不再是只重视数、量、形等内容和目标，而更重视沟通、推理、联结、解题等过程目标。重视培养儿童在数学概念间，垂直数学化的内部联结能力，以及在数学与生活或其他领域间水平数学化的外部联结作用。由此，我们发现在数学学习中引入绘本阅读，将会给孩子的数学阅读打开一扇数学的窗，让他们能跳出课本读数学，跳出考试品数学，跳出课堂学数学。 指导思想：数学绘本是根据儿童的心理特点、个性特征和理解能力，结合丰富生动的故事情境，融入最初最实用的数学知识和数学概念的作品。数学绘本为学生提供了贴近生活的场景，让学生体会到生活中很多有用和有趣的数学。通过绘本阅读与课堂教学相结合，不仅为学生提供了倾听、讨论、写作数学概念的机会，还培养了他们应用数学的能力，同时也扩大了数学知识本质意义的认知。这样的数学阅读对于刚入学的孩子来说，数学是生动的，活泼的，富有意思的。数学绘本的这些特性，给低年级学生的数学学习产生重要的影响。 材料准备：数学绘本 设计思路： 一、精选绘本，努力挖掘绘本中的数学 寻找合适、生动、有效的数学绘本是进行绘本阅读教学的前提。我们结合低年级学生的阅读心理、个性特点和接受能力，精心选择适合的数学绘本。在选择中我们注重选择符合低年级学生心智的绘本，让学生在听故事、读故事的同时感受到数学就在身边；注重选择情节和数学教材相辅相成的绘本，美好的画面和动人的故事情节不仅给学生带去美的享受，而且课堂中延伸的数学知识在绘本中出现，能引发学生极大的兴趣，激发他们自主讨论和交流的欲望。 二、重视绘本阅读，探索有效阅读技巧 我把绘本教学分三个步骤: 1、看绘本2、读绘本、3讲绘本。通过让学生一看，二看，三讲，把绘本故事的数学问题找出来，用绘本中精美的图片去解决问
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
初一数学趣味题 24道经典名题.
1.有人编写了一个程序，从1开始，交替做乘法或加法，（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或是加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如30，可以这样得到： 1 +3 =4*2=8+2=10*3=30，请问怎样可以得到：2的100次+2的97次-2 解答：1+3=4+2=2的3次-2=2的3次+2-2=（2的3次+2-2）*2=……==2的100次+2的97次-2的97次=2的100次+2的97次-2的97次+2=2的100次+2的97次-2的97次+2+2=……=2的100次+2的97次-2 2.下诗出于清朝数学家徐子云的著作，请算出诗中有多少僧人？ 巍巍古寺在云中，不知寺内多少僧。 三百六十四只碗，看看用尽不差争。 三人共食一只碗，四人共吃一碗羹。 请问先生明算者，算来寺内几多僧？ 解答：三人共食一只碗：则吃饭时一人用三分之一个碗， 四人共吃一碗羹：则吃羹时一人用四分之一个碗， 两项合计，则每人用1/3+1/4=7/12个碗， 设共有和尚X人，依题意得： 7/12X=364 解之得，X=624 3.两个男孩各骑一辆自行车，从相距2O英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O 英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？ 解答：每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。 4.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雄、兔各几何？ 解答：设x为雉数，y为兔数，则有 x＋y＝b，2x＋4y＝a 解之得：y＝b／2－a， x＝a－（b／2－a） 根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉22只。
文本素材趣味数学 (3)
趣味数学 题目一：扩大总面积 图1所示的方格图案由28根火些组成，共有5个正方形。 把一根火柴的长度取成长度单位，那么图1中5个正方形的总面积是：4×2+1×3=11。 还是用28根火柴，还是组成5个正方形，但是要使总面积变得更大，能不能做到呢？ 可以采用图2的排列方法。 在图2中，从左上到右下一连串4个小正方形，再加上外围1个大正方形，正方形的总数还是5个。 外围大正方形有4条边，每边用4根火柴；里面有3横、3竖，每横每竖各用2根火柴，总根数是：4×4＋2×3＋2×3=28，所以图2用的火柴数目还是28根。
边长为1的正方形有4个，边长为4的正方形有1个，它们的面积的和是：1×4+16×1=20。 这样，就把5个正方形的总面积从11扩大到20，一根火柴也没有多用。实际上，仅仅现在一个大正方形的面积，就已超过原来5个正方形面积的总和了。 题目二：一弓变二口 从一盒火柴中取出15根，排成图1所示的“弓”字形。 只许移动其中的4根，要用这些火柴排成两个正方形，怎样移动？ 一动手搬火柴，就会发现，先要知道两个正方形各是多大。所以不妨先做一点简单的计算。 一个正方形的四边所用火柴棒的根数相同，所以排成一个正方形所用火柴棒的根数是4的倍数。 原图共有火柴15根，试从15中拆出一个4的倍数，得到： 15=12＋3
=12＋4-1 =4×3+4×1-1 由此可见，可以设法排成一个每边3根火柴的正方形和一个每边1根火柴的正方形，使小正方形有一边在大正方形的边上，例如可以排成图2。 从原图移动4根火柴得到新图的方法，如图3所示，其中虚线表示移动的火柴。 数学小故事： 唐僧师徒四人走在无边无际的沙漠上，他们又饿又累，猪八戒想：如果有一顿美餐该有多好啊！孙悟空可没有八戒那么贪心，悟空只想喝一杯水就够了。孙悟空想着想着，眼前就出现了一户人家，门口的桌上正好放了一杯牛奶，孙悟空连忙上前，准备
论初等数论与小学数学的关系
论初等数论与小学数学的关系 ——“同余”在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号：15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉，那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过，似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法。 初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外，也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。 有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算 质数合数：重点是质因数的分解 约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容——同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。 同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分。其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系，欧拉
数学谜语：经典趣味数学谜语
数学谜语：经典趣味数学谜语 1、两牛打架(数学名词) 对顶角 2、三十分(数学名词) 三角 3、再见吧，妈妈(数学名词) 分母 4、大同小异(数学名词) 近似值 5、1、2、3、4、5(成语) 屈指可数 6、1000 10=10000(成语) 成千上万
7、周而复始(数学名词) 循环小数. 8、考试不作弊(数学名词) 真分数 9、五四三二一( 数学名词) 倒数 10、一元钱. (数学名词) 百分数 11、考试成绩(猜两个数学名词) 分数，几何? 12、道路没弯儿(数学名词) 直经 13、风筝跑了(数学名词)
14、最高峰(数学名词) 顶点 15、入坐(数学名词) 进位 16、齐头并进(数学名词) 平行 17、废律(数学名词) 除法 18、大家发表意见(数学名词) 商 19、彼此盘问(数学名词) 互质 20、五角钱(数学名词)
21、七天七夜. (数学名词) 周长 22、看谁力量大(数学名词) 比例(力) 23、人民的力量(数学名词) 无限 24、一直不来(猜数学名词) 恒等 25、不用再说(猜数学名词) 已知 26、搬来数一数(猜数学名词) 运算 27、隔河相答(猜数学名词)
28、再算一遍(猜数学名词) 复数 29、招收演员(猜数学名词) 补角 30、十八斤(猜数学名词) 分析 31、司药(猜数学名词) 配方 32、请人做事(猜数学名词) 求作 33、查帐(猜数学名词) 对数 34、大家的样子(猜数学名词)
35、小小的房子(猜数学名词) 区间 36、千刀万割(猜数学名词)分式 37、大家发表意见(猜数学名词) 讨论 38、从后面算起(猜数学名词) 倒数 39、北(猜数学名词) 反比 40、剑穿楚霸王(猜数学名词) 通项 41、算信件(猜数学名词) 函数 42、登楼计步(猜数学名词)
样本课程趣味数学实施方案
趣味数学校本课程实施方案 一、前言 为全面贯彻党的教育方针和小学《数学》新课程标准精神，深入探索新的教育模式。针对目前小学教育普遍存在课堂过于严肃，授课方式单一，师生交流互动受到限制，学生未能掌握科学的学习方法以及部分学生对数学学习兴趣不高等问题。我校根据实际情况，开设形式多样、课题丰富的趣味数学校本课程。旨在培养学生对数学学习的兴趣，引导学生树立正确的学习思想观念，促进学生兴趣爱好的向外拓展，为学生未来的学习和成长奠定良好的基础。 二、指导思想 深入贯彻小学《数学》新课程标准精神。本着张扬学生个性，培养学生兴趣爱好和专长的教育理念，促进第一课题的教学，丰富学生的课外生活，激化学生对数学学习的兴趣，提高学生的数学应用能力，积极培养学生动手实践能力和创新精神，努力促进学生德、智、体、美、劳全面发展，使学生的综合素质不断提高。 三、活动安排 1.活动对象：一、二年级 2.活动时间：每周安排二节固定课 3.活动地点：以教室为主（视具体活动项目灵活安排） 4.活动课题：数学阅读、数学题目、数学游戏等 5.活动形式：课题授课式、交流座谈式、演讲式、竞赛式、课外活动等
6.活动分组：学生自由结组 四、活动目标 1.让学生对写作、阅读等语文知识的兴趣得到进一步提高。 2.增强课堂互动性，活跃学生的思维，提高学生语言表达能力。 3.使学生逐步形成良好的学习习惯和学习方法。 4.在心里素质上，让学生更自信，并学会去欣赏。 5.让学生的课外知识得到丰富，兴趣得到发展。 五、活动内容 在以数学为中心教学的基础上，同时强化对各个兴趣小组课题的侧重点和数学基础知识的训练。选用贴近校园、贴近学生、贴近生活的题材，例如数学阅读、数学延伸、科学奥妙、趣味游戏、生活指南等，还可以增加一些奥数的内容。传授讲究趣味性、知识性、逻辑性和思维性相结合。 六、活动措施 以一、二年级数学备课组为核心，成立数学兴趣活动小组。小组活动应制定目标明确、重点突出、科学详细的活动记录。每学期进行一次活动检测和活动总结，以便交流和提供借鉴。同时教研组要定期或不定期地开展对兴趣小组的活动检查，督促兴趣小组正常规范地开展活动。 七、活动要点 认真组建数学兴趣小组，带领学生走进丰富的数学世界。 1.开学初组织成立数学兴趣小组。制定兴趣小组活动计划，落实详尽
第五讲数论与组合
1是否存在实数x使得tan x+和 cot x+都是有理数。 2在1,2，…,2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数
3在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。证明：循环赛结束后，某支南方队积分最高。 4在一次考试中333个同学共答对了1000道题。答对至多3题者为不及格，答对至少6道题者为优秀。已知不是所有同学答对的题的个数的奇偶性都相同。问：成绩不及格者和
优秀者人数哪个多 5目前有n（n≥2）为乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能取值。 6将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应
边．试求这些正方形边长之和的最小值． 7对于整数n ≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m+1，…，m+n －1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素． n m D A C B A 1 D 1
8如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
9一种密码锁的密码设置是在正n边 A A A的每个顶点处赋值0和1形12n 两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 10设A是一个9 3 的方格表，在每一
16个趣味数学小故事集锦
16个趣味数学小故事集锦 数学在人的生活中处处可见，息息相关。若能良好的使用数学，则能使我们的生活变得更加快捷。 进入数学的礼堂，让一个一个字符为我们的生活带来乐趣与方便。其实计算，就是这么简单。 1、趣味数学小故事——200字 泰勒斯看到人们都在看告示，便上去看。原来告示上写着法老要找世界上最聪明的人来测量金字塔的高度。于是就找法老。 法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，他量了金字塔影子的长度和金字塔底面边长的一半。把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聪明的人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。 2、趣味数学小故事——200字 战国时期，齐威王与大将田忌赛马，齐威王和田忌各有三匹好马：上马，中马与下马。比赛分三次进行，每赛马以千金作赌。由于两者的马力相差无几，而齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，所以一般人都以为田忌必输无疑。 但是田忌采纳了门客孙膑（着名军事家）的意见，用下马对齐威王的上马，用上马对齐威王的中马，用中马对齐威王的下马，结果田忌以2比1胜齐威王而得千金。这是我国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。
3、趣味数学小故事——200字 动物学校举办儿歌比赛，大象老师做裁判。 小猴第一个举手，开始朗诵：“进位加法我会算，数位对齐才能加。个位对齐个位加，满十要向十位进。十位相加再加一，得数算得快又准。” 小猴刚说完，小狗又开始朗诵：“退位减法并不难，数位对齐才能减。个位数小不够减，要向十位借个一。十位退一是一十，退了以后少个一。十位数字怎么减，十位退一再去减。” 大家都为它们的精彩表演鼓掌。大象老师说：“它们的儿歌让我们明白了进位加法和退位减法，它们两个都应该得冠军，好不好？”大家同意并鼓掌祝贺它们。 4、趣味数学小故事——200字 气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫《一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？》论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。Lorenz为何要写这篇论文呢？ 这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。 5、趣味数学小故事——200字 唐僧师徒四人走在无边无际的沙漠上，他们又饿又累，猪八戒想：如果有一顿美餐该有多好啊！孙悟空可没有八戒那么贪心，悟空只想喝一杯水就够了。孙悟空想着想着，眼前就
跃峰奥数PPT3组合数论6-2(多项式之二色链)
温馨提示 为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用 了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下 出现诸多文本重叠，影响阅读。但在放映模式下，这 些现象都不会出现。 另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展 现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预 览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非 常生动、美观。 【百度文库】 跃峰奥数PPT 经典原创
组合数论6-2（多项式之二色链） ●冯跃峰 本讲内容 本节为第3板块（组合数论）第6专题（多项式）的第小节2 （二色链），包含如下3个部分内容： 第一部分，概述问题涉及的知识方法体系； 第二部分，思维过程剖析。这是课件的核心部分，重在发掘 问题特征，分析如何找到解题方法。按照教师场景授课互动效 果设计，立足于启发思维； 第三部分，详细解答展示。提供笔者重新书写的解答（简称 “新写”），力求严谨、流畅、简练。【百度文库】 跃峰奥数PPT 经典原创
【基本知识结构】 多项式问题，一般看作属于代数的范畴。 但由于常常涉及到不定方程的相关问题与方法，这里将其归入数论的范畴。从思维方法上讲，这也许更为恰当。一、代数基本定理：任何非常数多项式至少有一个根。 推论（根数定理）：n 次多项式恰有n 个根。二、余式定理：x-a 除以f （x ）的余数是f （a ）， 即f （x ）=（x-a ）g （x ）+f （a ）。三、恒等定理1：两个多项式相等，等价于对应项的系数都相等。 恒等定理2：两个n 次多项式在n+1个不同点处的值相等，则两个多项式 恒等。 四、爱森斯坦判别法：若存在质数p ，使p|a i （i=0，1，…，n-1），但 p ?a n ，p 2?a 0，则多项式f （x ）=a n x n +a n-1x n-1+…+a 0在有理数域上不可约。 比如多项式：x 2+2px+p 。 【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创
第1,2讲 组合与数论问题
第1，2讲组合与数论问题 一．填空题: 1.设a,b,c是互异的自然数且ab+bc+ca=abc,则a+b+c=_______. 2.从1到2013连续的2013个自然数按某种顺序排列,然后按连续三项计算和数,得到2011个和数,则这些和数中,奇数的个数最多有_________个. 3.在式子:12○22○32○…○20092的“○”中填入“+”或“?”中的一个,如果所得的数非负,那么这个非负数的最小值是________. 4.直角三角形的三边之长为正整数,其中一条直角边的长为35,那么它的周长的最大值与最小值分别是_______、_________. 5. 已知 S的最大 整数为__________. 6.末四位数为2013,且被71整除的最小的正整数为_____________. 7.用6种不同的颜色给正方体的6个面染色,各面颜色互不相同,经过适当的翻转重复的染色视为同一种染色,则不同的染色方式有__________. 8.某数学竞赛分两试进行.一试有选择题6个,答对一个得6分,填空题6个,答对一个得9分,解答题三个,每题20分,每5分一档分步计分,二试解答题有三个,每题50分,每10分一档分步计分,某同学参加竞赛,则他的得分可能有________种. 9.把1,2,3,…,2n这2n个正整数随意放置在一个圆周上,据统计,在所有相邻的三个数中,三个数全为奇数的有a组,三个数中恰有两个数奇数的有b组,三个数中恰有一个数为奇数的有c组,三个数都为偶数的有d组,如果a-d≠0,那么(b-c)/(a-d)=____________. 10.自然数k具有性质:在半径为1的圆上任取4点,都有两点的距离不大于k,则k的最小值为________. 二．解答题： 11.n是正整数,求证 537 5315 n n n ++是整数.
初等数论
初等数论 初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。 第一部分：整除 初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。 Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件： （ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）； （ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继； （ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N. 这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。 其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。如果 （1）当n=1时，P(1)不成立； （2）设n>1,若对所有的自然数m 经典趣味数学题及答案趣味数学题及答案1 七天七夜打一数学名词 答案：周长 看谁力量大打一数学名词 答案：比例力 人民的力量打一数学名词 答案：无限 一直不来打一数学名词 答案：恒等 不用再说打一数学名词 答案：已知 千刀万割打一数学名词 答案：分式 大家发表意见打一数学名词 答案：讨论 从后面算起打一数学名词 答案：倒数 北打一数学名词 答案：反比 剑穿楚霸王打一数学名词 答案：通项 算信件打一数学名词 答案：函数 答案：级数 逐优录取打一数学名词答案：0.618法 计算转动杆打一数学名词答案：数轴 不准确打一数学名词 答案：误差 趣味数学题及答案2 搬来数一数打一数学名词答案：运算 隔河相答打一数学名词对应 再算一遍打一数学名词答案：复数 招收演员打一数学名词答案：补角 十八斤打一数学名词 答案：分析 司药打一数学名词 答案：配方 请人做事打一数学名词答案：求作 查帐打一数学名词 答案：对数 答案：公式 小小的房子打一数学名词 答案：区间 齐头并进打一数学名词 答案：平行 废律打一数学名词 答案：除法 大家发表意见打一数学名词 答案：商 彼此盘问打一数学名词 答案：互质 五角钱打一数学名词 答案：半圆 趣味数学题及答案3 1、猩猩最讨厌什么线 A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。它们除颜色不同之外，其它都一样。如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢? A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论!于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。请选出下面哪个选项不属于悖论 A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗?” 第一部分：组合数学 第一章计数的基本原则 一．组合数学的历史和内容 1.历史：组合数学最早起源于中世纪的印度，在漫长的历史中，一 直发展缓慢。随着上一世纪计算机的出现，组合数学开始快速地发展。近几年，由于计算机安全领域受到重视以及组合数学在计算机安全领域的应用，组合数学受到越来越多的重视。 2.内容：组合数学主要包括以下几个内容： (1)组合分析（也称为组合计数理论） (2)组合优化（包括线性规划，整数规划等） (3)组合设计（包括区组设计等） (4)组合算法（例如：搜索算法，DFS算法与分支定界法，动态规 划等） *图论本是组合数学这个家族的一个主要成员，但它已成长壮大，独立成一门学科。 3. 本课程介绍的主要内容：组合计数理论 二．加法原则与乘法原则 1. 加法原则： 设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 或事件B”有m+n种产生方式。 例子：大于0而小于10的偶数有4个，即：{2，4，6，8}，大于0而小于10的奇数有5个，即：{1，3，5，7，9}。则大于0而小于10 的整数有：4+5=9个，即：{1，2，3，4，5，6，7，8，9}。 *如果A1,A2,?,A n是互不相交的有穷集，那么 |A1∪A2∪?∪A n|=|A1|+|A2|+?+|A n| 2.乘法原则： 若事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则“事件A 与事件B”有mn种产生方式。 例1：设一个符号由两个字符组成，第一个字符有a,b,c,d,e五种方式，第二个字符有1,2,3三种方式。则根据乘法原则，该符号具有5×3= 15种方式，即 a1,b1,c1,d1,e1;a2,b2,c2,d2,e2;a3,b3,c3,d3,e3. 例2：从A到B有3条不同的道路，从B到C有2条不同的道路，从A经B到C共有n=3×2=6条不同的道路。 例3：求比10000小的正整数中含有数字1的数的个数。 解：先求所有4位数中不含有数字1的个数，即求由{0，2，3，4，5，6，7，8，9} 9个数字组成的4位数的个数。每一位都有9种出现方式，根据乘法原则，由9个数字组成的4位数个数为：9×9×9×9= 6561，其中包含0000不是正整数。故比10000小不含数字1的4位正整数的个数=6561?1=6560. 所以小于10000含有数字1的4位数个数=9999?6560=3439. 初中经典趣味数学题（一） 教学目的：通过这6道经典数学题，应用简单的整数运算让学生体验数学在实际生活中的应用，激发数学学习兴趣，培养逻辑 思维。 教学难点：依据所给条件，通过逻辑推理建立数学关系式。 课时：1课时 1.有27颗珍珠,其中一颗是假的,但外观和真的一样,只是比真的珍珠轻一点.问:最少用天平称几次(不用砝码),就一定可以把假的珍珠找出来? 解答：3次 第一次把27颗珍珠分成3等份,取其中2份放天平两端称量,如果天平偏斜,则考虑轻的那9颗珍珠,如果不偏斜,则考虑没有称量的那9颗;同理,将这9颗珍珠再分成3等份,,取其中2份放天平两端称量,再次得到3颗"可疑"的珍珠,取出两颗称量,如果天平偏斜,则轻的是次品~否则没称量的是次品 2.埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如用1/3+1/15表 示2/5，用1/4+1/7+1/28来表示3/7等等，现在用90个埃及分子1/2，1/3，1/4，1/5，......。1/90。1/91，其中是否再取10个数，加上正负号后使它们的和为-1，若存在，请写出这10个数，若不存在，请说明理由。 解答:一解： －1=－1/5－1/6－1/8－1/9－1/10－1/12－1/15－1/18－1/20－1/24 二解： 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/ 9-1/10=1-1/10 所以： 1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/10=1 即： -1/2-1/6-1/12-1/20-1/30-1/42-1/56-1/72-1/90-1/10=-1 3下诗出于清朝数学家徐子云的著作，请算出诗中有多少僧人？ 巍巍古寺在云中，不知寺内多少僧。 三百六十四只碗，看看用尽不差争。经典趣味数学题及答案
组合数学与数论1
初中经典趣味数学题