高中数学：函数的图象练习

高中数学:函数的图象练习

1．函数f(x)＝

x

2ln|x|的图象大致是(D)

解析:由f(－x)＝－f(x)可得f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除A,C,而x∈(0,1)时,ln|x|＜0,f(x)＜0,排除B,故选D.

2．现有四个函数:①y＝x sin x；②y＝x cos x；③y＝x|cos x|；④y＝x·2x.它们的图象(部分)如下,但顺序已被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是(D)

A．④①②③B．①④③②

C．③④②①D．①④②③

解析:函数y＝x sin x是偶函数,由图象知,函数①对应第一个图象；

函数y＝x cos x是奇函数,且当x＝π时,y＝－π＜0,故函数②对应第三个图象；函数y＝x|cos x|为奇函数,且当x＞0时,y≥0,故函数③与第四个图象对应；

函数y＝x·2x为非奇非偶函数,与第二个图象对应．综上可知,选D.

3．(河南信阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x),函数g(x)＝4x＋3

x－2

,若函数f(x)

与g(x)的图象共有168个交点,记作P i(x i,y i)(i＝1,2,…,168),则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x168＋y168)的值为(D)

A．2 018 B．2 017

C．2 016 D．1 008

解析:函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x),可得f(－x)＋f(4＋x)＝8,即函数f(x)的图象关于

点(2,4)对称,由函数g(x)＝4x＋3

x－2

＝

4(x－2)＋11

x－2

＝4＋

11

x－2

,可知其图象关于点(2,4)对称,∵函数f(x)

与g(x)的图象共有168个交点,∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点,且两边的点分别关于点(2,4)对称,故得(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x168＋y168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.

4．已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(A)

A．f(x)＝

1

2x－1

－x3B．f(x)＝

1

2x－1

＋x3

C．f(x)＝

1

2x＋1

－x3D．f(x)＝

1

2x＋1

＋x3

解析:由图可知,函数图象的渐近线为x＝1

2,排除C,D,又函数f(x)在⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－∞，

1

2,⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2，＋∞上单

调递减．而函数y＝

1

2x－1

在

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－∞，

1

2,⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2，＋∞上单调递减,y＝－x

3在R上单调递减,则f(x)＝

1 2x－1－x3在

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－∞，

1

2,⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2，＋∞上单调递减,故选A.

5．如图所示,动点P在正方体ABCD A1B1C1D1的体对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体的表面相交于M,N两点．设BP＝x,MN＝y,则函数y＝f(x)的图象大致是(B)

解析:设正方体的棱长为1,显然,当P移动到体对角线BD1的中点E时,函数y＝MN＝AC＝2取得唯一的最大值,所以排除A、C；当P在BE上时,分别过M,N,P作底面的垂线,垂足分别

为M1,N1,P1,则y＝MN＝M1N1＝2BP1＝2x cos∠D1BD＝26

3x,是一次函数,所以排除D,故选B.

6．(泰安模拟)已知f(x)＝1

4x

2＋sin

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

π

2＋x,f′(x)为f(x)的导函数,则y＝f′(x)的图象大致是

(A)

解析:因为f (x )＝14x 2＋cos x ,所以f ′(x )＝12x －sin x ,f ′(x )为奇函数,排除B,D ；当x ＝π

6时,f ′(x )＝π12－1

2＜0,排除C,∴A 满足．

7．(昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且f (x )在(－∞,0)上是减函数,f (2)＝0,g (x )＝f (x ＋2),则不等式xg (x )≤0的解集是( C )

A ．(－∞,－2]∪[2,＋∞)

B ．[－4,－2]∪[0,＋∞)

C ．(－∞,－4]∪[－2,＋∞)

D ．(－∞,－4]∪[0,＋∞)

解析:依题意,画出函数的大致图象如图所示．

实线部分为g (x )的草图,

则xg (x )≤0⇔⎩⎨⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎨⎧

x ≤0，g (x )≥0，

由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞,－4]∪[－2,＋∞)．

8．已知函数f (x )＝2ln x ,g (x )＝x 2－4x ＋5,则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( C ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析:在平面直角坐标系内作出f (x ),g (x )的图象如图所示,由已知g (x )＝(x －2)2＋1,得其顶点为(2,1),又f (2)＝2ln2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方,故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点．

9．(江苏扬州模拟)不等式2－x ≤log 2(x ＋1)的解集是{x |x ≥1}__．

解析:画出y ＝2－x ,y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示,由图可知,解集为{x |x ≥1}．

10．给定min{a ,b }＝⎩⎨⎧

a ，a ≤

b ，

b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ,x 2－4x ＋4}＋4,若动直线y ＝m 与

函数y ＝f (x )的图象有3个交点,则实数m 的取值范围为(4,5)__．

解析:作出函数f (x )的图象,函数f (x )＝min{x ,x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示,由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点,数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．

11．已知函数f (x )＝2x ,x ∈R .

(1)当m 取何值时,方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？

(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立,求m 的取值范围． 解:(1)令f (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|,G (x )＝m ,画出f (x )的图象如图所示.

由图象看出,当m ＝0或m ≥2时,函数f (x )与G (x )的图象只有一个交点,即原方程有一个解； 当0＜m ＜2时,函数f (x )与G (x )的图象有两个交点,即原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0),H (t )＝t 2＋t ,

因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1

4在区间(0,＋∞)上是增函数,

所以H (t )＞H (0)＝0.

因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0,＋∞)上恒成立,应有m ≤0, 即所求m 的取值范围为(－∞,0]．

12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1

x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；

(2)若g (x )＝f (x )＋a

x ,g (x )在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a 的取值范围． 解:(1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ,y ),

∵点(x ,y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上, ∴2－y ＝－x ＋1

－x ＋2,

∴y ＝x ＋1x ,即f (x )＝x ＋1

x . (2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1

x , 且g (x )＝x ＋a ＋1

x ≥6,x ∈(0,2]．

∵x ∈(0,2],∴a ＋1≥x (6－x ),即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1,x ∈(0,2], q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8,

∴当x∈(0,2]时,q(x)是增函数,q(x)max＝q(2)＝7.

故实数a的取值范围是[7,＋∞)．

13．(安徽江南十校联考)若函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(B)

A．f(x)＝e x－1

x2－1

B．f(x)＝

e x

x2－1

C．f(x)＝x3＋x＋1

x2－1

D．f(x)＝

x4＋x＋1

x2－1

解析:由题中图象可知,函数的定义域为{x|x≠a且x≠b},f(x)在(－∞,a)上为增函数,在(a,0]上先增后减,在[0,b)上为减函数,在(b,＋∞)上先减后增．

A项中f(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1},

此时a＝－1,b＝1.

f′(x)＝e x(x2－1)－2x(e x－1)

(x2－1)2

,

则f′(－2)＝

7

9e2－

4

9＜0,与f(x)在(－∞,－1)上递增不符．

B项中f(x)的定义域为{x|x≠±1},f′(x)＝e x(x2－2x－1)

(x2－1)2

＝

e x[(x－1)2－2]

(x2－1)2

,若f′(x)＞0,则x＜

－1或－1＜x＜1－2或x＞1＋2,此时f(x)在各对应区间上为增函数,符合题意．同理可检验C、D不符,故选B.

14．(福建厦门双十中学模拟)已知函数f(x)＝x2＋e x－1

2(x＜0)与g(x)＝x

2＋ln(x＋a)的图象上

存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是(B)

A.⎝

⎛

⎭⎪⎫－∞，1e

B ．(－∞,e) C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1e ，＋∞ D ．(e,＋∞)

解析:原命题等价于在x ＜0时,f (x )与g (－x )的图象有交点,即方程e x －1

2－ln(－x ＋a )＝0在(－∞,0)上有解,令m (x )＝e x －1

2－ln(－x ＋a ),显然m (x )在(－∞,0)上为增函数．当a ＞0时,只需m (0)＝e 0－1

2－ln a ＞0,解得0＜a ＜e ；当a ≤0时,x 趋于－∞,m (x )＜0,x 趋于a ,m (x )＞0,即m (x )＝0在(－∞,a )上有解．综上,实数a 的取值范围是(－∞,e)．

15．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

sinπx ，0≤x ≤1，

log 2 017x ，x ＞1，若a ,b ,c 互不相等,且f (a )＝f (b )＝f (c ),则a ＋b ＋c 的

取值范围是( D )

A ．(1,2 017)

B ．(1,2 018)

C ．[2,2 018]

D ．(2,2 018)

解析:设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ,作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ,如图所示,

不妨设a ＜b ＜c ,当0≤x ≤1时,函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ,B ,

由正弦曲线的对称性,可得A (a ,m )与B (b ,m )关于直线x ＝1

2对称,因此a ＋b ＝1,令log 2 017x ＝1,解得x ＝2 017,

结合图象可得1＜c ＜2 017, 因此可得2＜a ＋b ＋c ＜2 018, 即a ＋b ＋c ∈(2,2 018)．故选D.

16．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2co sπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为6__.

解析:作出函数y＝ln|x－1|的图象,又y＝－2cosπx的最小正周期为T＝2,如图所示,

两图象都关于直线x＝1对称,且共有6个交点,由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.