中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
解直角三角形
一.选择题
1．（2018·某某市B卷）5.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵==，设=4k，DN=3k，
∴CD=10，
∴（3k）2+（4k）2=100，
∴k=2，
∴=8，DN=6，
∵四边形BMNC是矩形，
∴BM==8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，
在Rt△AEM中，tan24°=，
∴0.45=，
∴AB=21.7（米），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键．
2．（2018·某某某某·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（）
A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα=，∴AB==．故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2018·某某某某·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）
A．B．C．D．
【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==；
【解答】解：如图，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD=90°，
∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，
∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO==，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．
二.填空题
1. （2018·某某江汉·3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile 处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．
【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
设AC=x海里，
在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，
则CD=x，
在Rt△ABD中，BD=x，
则x+x=18（1+），解得，x=18，
答：A，C之间的距离为18海里．
故答案为：18
2. （2018·某某荆州·3分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．
【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA=，
∴tan30°=，即33=a+33，
解得a=33（﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
3．(2018·某某省某某市) 如图，某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A.B间的距离为100+100米（结果保留根号）．
【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．
∵CD=100米，∴AD=CD=100米，D B=米，∴AB=AD+DB=100+100（米）．
故答案为：100+100．
4. （2018·某某某某·3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）．
【答案】300
【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．
【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD•tan45° =110（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m），
∴BC=BD+CD=110+190=300（m），
即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
5.（2018·某某某某·3分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
解：过D作DE⊥AB，
∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°．
∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．故答案为：9.5．
三.解答题
1. （2018·某某贺州·8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，
∴BM=40，
∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
2. （2018·某某某某·8分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．
（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【分析】过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度．
【解答】解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．
在Rt△CMD中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，
∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，
∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．
在Rt△BDN中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，
∴BN=DN•tan10°≈10.8m．
在Rt△ADN中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，
∴AN=DN•tan30°≈34.6m．
∴AB=AN+BN=45.4m．
答：瀑布AB的高度约为45.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键．
3. （2018·某某某某·7分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．
【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．【解答】解：过C作CD⊥AB，
在Rt△ACD中，∠A=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=AC=50海里，
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=100海里，
根据勾股定理得：BD=50海里，
则AB=AD+BD=50+50≈193海里，
则此时船锯灯塔的距离为193海里．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4.（2018·某某省某某·7分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）
【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE.DE，可得BD的长，再根据CD=BD﹣BC计算即可；【解答】解：如图作AE⊥BD于E．
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE=AB=5（m），AE=5（m），
在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
5.（2018·某某省某某·8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，X角∠HAC 为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，
cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF 即可．
【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，
易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，
在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
6．（2018·某某省某某市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和B D均为10层，每层楼高3米．
（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？
（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．
【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，
由图可知，FH=CD=30m．
∵∠BFH=∠α=30°．在Rt△BFH中，BH=，，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；
（2）连接BC\1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．
7．（2018·某某省某某市）（12.00分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题；
【解答】解：（1）延长DC交AN于H．
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH===20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8. （2018•呼和浩特•8分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
解：作DH⊥BC于H．设AE=x．
∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
∴DH=60，BH=180，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60，
在Rt△ABC中，tan33°=，
∴x=，
∴AC=AE+EC=+60=．
答：山顶A到地面BC的高度AC是米
9. （2018•某某•8分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可．
【解答】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，
在Rt△CDB中，tan∠DCB=，
解得：DB=200，
在Rt△CDA中，tan∠DCA=，
解得：DA=200，
∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米，
轿车速度，
答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．
10. （2018•莱芜•9分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C.E.D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）
【分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，
在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠×0.9=0.72，
AF=AB•cos∠×0.4=0.32，
∴FC=AF+AC=4.32，
∵四边形FCGB是矩形，
∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，
∵∠BDG=45°，
∴∠BDG=∠GBD，
∴GD=GB=4.32，
∴CD=CG+GD=5.04，
在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE=，
∴≈1.7，
答：小水池的宽DE为1.7米．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
11．（2018·某某某某·6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．
【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，
由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，
设AM=xm，则=xm，
在Rt△AFM中，MF=，
在Rt△H中，HN=，
∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24，
即8=x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB=11.7+1.6=13.3m，
答：教学楼AB的高度AB长13.3m．
12．（2018·某某某某·8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A.B和点C.D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．
【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，
∴HE=CD=40m，
设CH=DE=xm，
在Rt△BDE中，∠DBA=60°，
∴BE=xm，
在Rt△ACH中，∠BAC=30°，
∴AH=xm，
由AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，
解得：x=30，即CH=30m，
则该段运河的河宽为30m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
【精编】2018中考数学试题分类汇编考点37锐角三角函数和解直角三角形含解析
2018中考数学试题分类汇编：考点37锐角三角函数和解直角三角 形 一．选择题（共15小题） 1．（2018?柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（） A．B．C．D． 【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可． 【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3， ∴AB=5， ∴sinB==， 故选：A． 2．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（） A．B．C．D． 【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC===6， ∴sinA===， 故选：A． 3．（2018?大庆）2cos60°=（）
A．1 B．C．D． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案． 【解答】解：2cos60°=2×=1． 故选：A． 4．（2018?天津）cos30°的值等于（） A．B．C．1 D． 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【解答】解：cos30°=． 故选：B． 5．（2018?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【解答】解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B．
2020年中考数学模拟试题汇编专题28：解直角三角形(含答案)
解直角三角形 一．选择题 1、（苏州二模）如图，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12 mm的横格 纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长.(精确到1 mm，?≈?≈?≈) 参考数据:sin360.60,cos360.80,tan360.75 答案：解：长方形卡片周长为200mm. 2、（齐河三模）在△ABC中，若＋(1－tanB)2＝0， 则∠C的度数是() A．45°B．60°C．75°D．105° 答案：D 3. ( ·山东枣庄·模拟)如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形． 其中正确结论的序号是（） A．①③B．①②③④C．②③④ D．①③④ 【考点】垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形． 【专题】几何图形问题．
【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点A是劣弧的中点， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=AB?cos30°=6×=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故②正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°=， 故③正确； ∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点A是劣弧的中点， ∴A C=AB， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四边形ABOC是菱形， 故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，
中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
解直角三角形 一.选择题 1．（2018·某某市B卷）5.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM==8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出
直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·某某某某·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·某某某某·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD．
中考数学专题特训 解直角三角形(含详细参考答案)
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
2021全国中考数学试卷分类-28 解直角三角形(含解析)
28 解直角三角形(含解析) 一、选择题 1．（2021•浙江金华，T7，3分）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（） A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D． 4 cos a 米 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC,再利用锐角三角函数关系得出DC的长，即可得出答案。 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D, ∵AB＝AC＝2米,AD⊥BC, ∴BD＝DC, ∴cosα＝DC AC ＝ 2 DC , ∴DC＝2cosα(米）， ∴BC＝2DC＝2•2cosα＝4cosα(米）。 故选：A． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出DC的长是解题关键。 2．（2021浙江温州，8，4分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（）
A ．21sin α+1 B ．sin 2α+1 C ．21cos α+1 D ．cos 2α+1 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】在Rt △OAB 中，sin α＝AB OB ,可得OB 的长度，在Rt △OBC 中，根据勾股定理OB 2+BC 2＝OC 2,代入即可得出答案． 【解答】解：∵AB ＝BC ＝1, 在Rt △OAB 中，sin α＝ AB OB , ∴OB ＝1sin α , 在Rt △OBC 中， OB 2+BC 2＝OC 2, ∴OC 2＝(1sin α)2+12＝21+1sin α ． 故选：A ． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 3．（2021重庆A 卷，10，4分）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA 和ND ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i ＝1：1.25．若ND ＝58 DE ，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）（ ）
2018年中考数学真题分类汇编第一期专题28解直角三角形试题含解析
解直角三角形 一、选择题 1．（2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（） A． B． C． D． 【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数． 【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α． 【解答】解：sinA===0.15， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为 故选：A． 【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 2．（2018年湖北省宜昌市3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（） A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米 【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度． 【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选：C． 【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 3. (2018四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位） （参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE， ∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°， ∴∠ABC=135°， 又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15°， ∴∠ABE=120°， 又∵∠CAB=30° ∴BA=BE，AD=DE， 设BD=x， 在Rt△ABD中， ∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， ∴x= = ≈5.49，
人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析)
人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 1 / 14 解直角三角形的应用 测试题 时间：100分钟 总分： 100 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 如图，旗 杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等 小明将PB 拉到 的位置，测得 为水平线 ，测角仪 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为 A. B. C. D. 2. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ，为了改善楼 梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 为 ，则调整后的楼梯AC 的长为 A. B. C. D. 3. 一座楼梯的示意图如图所示， BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为 现要在楼梯上铺一条地毯，已知 米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40 海里的速度向正东 方向航行， 9 时 30分到达B 处 如图 从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东 和北偏东 方向，那么在B 处船与小岛M 的距离为 A. 20海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 5. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么 滑梯长m 为
A. B. C. D. 6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电 视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为 A. B. 61 C. D. 121 7.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他 们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千 米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第 一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘 快艇航行的方向和距离分别是 A. 南偏东，千米 B. 北偏西，千米 C. 南偏东，100千米 D. 北偏西，100千米 8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔60nmile的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向 上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 A. nmile B. nmile C. nmile D. nmile 9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的 坡度：，则坝底AD的长度为 A. 26米 B. 28米 C. 30米 D. 46米 10.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15 米，背水坡CD的坡度：，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则大坝底端增加的长度CF是米． A. 7 B. 11 C. 13 D. 20 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题28 解直角三角形(含解析)(003)
解直角三角形一.选择题 1. （2019?广东省广州市?3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜 坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（） A．75m B．50m C．30m D．12m 【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m， ∴tan∠BAC＝， 解得，AC＝75， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2. （2019?广西北部湾经济区?3分）小菁同学在数学实践活动课中测 量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路 灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰 角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6， cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F， 设DF=x， ∵tan65°=， ∴OF=xtan65°， ∴BD=3+x， ∵tan35°=， ∴OF=（3+x）tan35°， ∴2.1x=0.7（3+x），
∴x=1.5， ∴OF=1.5×2.1=3.15， ∴OE=3.15+1.5=4.65， 故选：C． 过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案． 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 二.填空题 1. （2019?江苏宿迁?3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB ＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜． 【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值． 【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2 在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠ABC1＝30° ∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝， 在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60° ∴∠AC2B＝30° ∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2， 当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2． 故答案为：＜BC＜2．
2020届中考数学专题：解直角三角形及其应用知识点及典型例题(含答案)
解直角三角形及其应用 【学习目标】 1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形； 2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题． 【要点梳理】 要点一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h为斜边上的高. 要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法 已知条件解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ，
角 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 要点三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
中考数学复习《解直角三角形的实际应用》真题练习(含答案)
中考数学复习《解直角三角形的实际应用》真题练习（含答案） （2017湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离； ②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ． 【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米． ②设BC ⊥HQ 于C ． 在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ = tan 30BC =1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米， ∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米． 答：这架无人机的长度AB 为5米．.
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． （2017内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角0 30=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角0 60=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7. 求（1）单摆的长度（7.13≈）； （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）. 【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长为29.295cm
则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=1 2 x， 在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ= 3 2 x， 由PQ=OQ﹣OP 3 ﹣ 1 2 x=7， 解得：x3（cm），. 答：单摆的长度约为18.9cm； （2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°， 则从点A摆动到点B 907+73 π⨯（） ≈29.295， 答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm． 考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹. （2017湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体
2023年中考数学一轮专题练习 解直角三角形的实际应用2(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——解直角三角形的实际应 用（解答题部分） 一、解答题（本大题共16小题） 1. （湖北省恩施州2022年）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A 处测得古亭B 位于北偏东60°，他们向南走50m 到达D 点，测得古亭B 位于北偏东45°， 求古亭与古柳之间的距离AB 1.41≈ 1.73≈，结果精确到1m ）． 2. （湖南省湘潭市2022年）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618DH AH ≈）：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20cm AB AC ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数 1.732≈） 3. （湖南省怀化市2022年）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A 位于C 村西南方向和B 村南偏东60°方向上，C 村在B 村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B 、C 两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说 明． ，≈1.41）
4. （湖南省邵阳市2022年）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60︒方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏 东45︒方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行 是否安全？并说明理由．（提示： ≈） 1.414 ≈， 1.732 5. （湖南省郴州市2022年）如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD=，背水坡BC i=．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员 的坡度为11:1 i=A与原起点B之间的距离．（参 准备把背水坡的坡度改为 2 ≈．结果精确到0.1m） ≈ 1.73 1.41 6. （天津市2022年）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42︒，测得塔底B的仰角为35︒．已知通讯 塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据： ，． ︒≈︒≈ tan350.70tan420.90
2023 年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用综合解答题 专题训练(含解析)
2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用综合解答题》专题训练（附答案）1．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AD到公路l，小明测量出∠ADC＝30°，∠ABC＝45°，BD＝40m．请你帮他计算出他家到公路l的距离AC的长度（结果保留根号）． 2．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm，∠DFG＝53°，ED长度约为21cm．求出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒．（点A、点B、点C、点D、点E、点F、点G在同一平面内．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈0.75） 3．如图，点A是一个半径为600m的圆形森林的中心，在森林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为2000m的笔直公路将两村连通，现测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°．问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明．
4．为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． （1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°． （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得AD的长为50cm，铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求tan∠BAD． 5．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底座矩形BCLK的高BK＝19cm，宽BC＝40cm，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝76°，支架AF的长为240cm，篮板顶端F到篮筐D的距离FD＝90cm（FE与地面LK垂直，支架AK与地面LK垂直，支架HE与FE垂直），篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝66°，求篮筐D 到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin66°＝，cos66°＝，tan66°＝，sin76°＝0.96，cos76°＝0.24，tan76°＝4.0）
2020年中考数学真题分类汇编第二期专题28解直角三角形试题含解析
解直角三角形 一.选择题 1.（2018•江苏苏州•3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC的长）为（） A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里 【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题； 【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB， 由题意BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB， ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA， ∵PA=AB•tan60°，∴PC=2×20×=40（海里）， 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°． 2.（2018•江苏无锡•3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（） A．等于B．等于 C．等于D．随点E位置的变化而变化 【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答． 【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==． 设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，
∴tan∠AFE=tan∠FAG===． 故选：A． 【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的． 3. （2018·黑龙江哈尔滨·3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（） A ．B．2 C．5 D．10 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD==， ∴AO=3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键． 4.（2018•贵州贵阳•3分）如图，A.B.C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan BAC的值为（ B ） （A）1 （B）1 （C） 2 3 （D）3 3
中考数学解直角三角形专题卷(附答案)
中考数学解直角三角形专题卷（附答案） 1.如图，从热气球 C 处测得地面 A 、B 两点的俯角分别是 30°、45°，如果此时热气球 C 处的高 度 CD 为 100 米，点 A 、D 、 B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ） 220 3米 D ．100（ 3 +1）米 AB 的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直高 ） ． 10 米 3.如图①，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，△ ABD 是等边三角形．如图②，将四边 形 ACBD 折叠，使 D 与 C 重合， EF 为折痕，则∠ ACE 的正弦值为 2 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1， tan ∠ ACB 的值 为（ ） 评卷人 得分 一、选择题 B ． C ． D ． OA 过点（ 2， ，则 sin 1） α的值是（ ） A ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直 线 学校: 姓名： 班级： 考号： A ． 5 B 5. 如图，在 8× 4 相应的格点上，则 若△ ABC 的三个顶点在图中 2. 河堤横断面如图所示，堤高 BC=5米，迎水坡 1 5
1 A． 3 6.在 直角 三角 形 中， 各边 的长 度都 扩大 3 倍， 1 A．也 扩大 3 倍 B ．缩小为原来的3 D ．3 则锐角 A 的三角函数值（） C．都不 变 ．有的扩大，有的缩 小 3 7. 如图，点 （） t ，3）在第一象限，OA 与x轴所夹的锐角 为 α，tan α= 2 ，则t 的值是 A．1 8. 已知∠ A=30° 1 A．sinA= 2 B ． 9. 在Rt△ABC 中，的是（）. ． 1.5 C 列判断正确的是（ 11 ．2 ） D ．cotA= 2 cosA= 2 C．tanA= 2 ∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分 别为 a 、 b 、 c，则下列式子一定成 立 a ．a=c?cosB C ．a=b?tanB D ．b= tanB 评卷人得分 A．a=c?sinB B 二、填空题 10. 如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AB=DC， ∠C=60° AB= ． ，BC-AD=4，则梯形的 腰 11. 已知点A、 B 分别在反比例函数y= x （x> 0），y=﹣ OA⊥OB，则tanB 为． x （x> 0）的图象上，且
2023学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练(附答案)
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》 解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米） （2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝） 2．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等． （1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE 的长度； （2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈ 0.8．tan37°≈0.75） 3．如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处竖立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F 测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
4．如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米． ①求点H到桥左端点P的距离； ②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度 AB． 5．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为25cm． （1）求B点到OP的距离； （2）求滑动支架的长． （结果精确到0.1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43） 6．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为米，tan A＝，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
中考数学高频考点专项练习：专题十八 解直角三角形综合训练(A)
中考数学高频考点专项练习：专题十八解直角三角形综合训练 （A） 1.如图，P是α ∠的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sin 4 5 α=，则 tanα=( ) A.3 5 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 5 2.tan45°的值等于( ) 23 C.1 3 3.如图,AB是O的直径,C是O上的点,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,若30 A ∠=︒,则sin E的值为( ) A.1 2 233 4.如图,要测量小河两岸相对的两点,P A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得100 PC=米,35 PCA ∠=︒,则小河宽PA等于( ) A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米
5.如图是一架人字梯，已知2 ==米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯 AB AC 脚之间的距离BC为( ) 米 A.4cosα米 B.4sinα米 C.4tanα米 D.4 cosα 6.如图，点A，B，C，D在O上，AC BC ∠=︒，则BC的 ADC AC=，30 ⊥，4 长为( ) A.43 B.8 C.42 D.4 7.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为( ) A.(30303) +km B.(30103) +km D.303km +km C.(10303) 8.如图,,, A B C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan BAC ∠的值为( )
A.12 B.1 3 39.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A 处，测得河的北岸边点B 在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C 点，测得点B 在点C 的北偏东60°方向，则这段河的宽度为( ) A.) 80 31米 B.) 40 31米 C.(120403-米 D.) 40 31米 10.如图,在四边形ABCD 中,90//,DAB AD BC ∠=︒,1,2 BC AD AC =与BD 交于点 ,E AC BD ⊥,则tan BAC ∠的值是( ) A.14 2 2 D.13 11.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若4sin 5 A =，则cos B =___________.
(人教版)2020中考数学试题分类汇编 考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形(含解析)
考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形 一．选择题（共5小题） 1．（2019•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（） A．20° B．35° C．40° D．70° 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB） =70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选：B． 2．（2019•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（） A．12 B．10 C．8 D．6 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解． 【解答】解：∵|m﹣2|+=0， ∴m﹣2=0，n﹣4=0， 解得m=2，n=4， 当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理； 当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10． 故选：B． 3．（2019•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是
（） A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC 【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解． 【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． 又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故选：C． 4．（2019•淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（） A．4 B．6 C．D．8 【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC， ∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC， ∴∠ACB=2∠B，NM=NC， ∴∠B=30°， ∵AN=1， ∴MN=2，