北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》 同步练习试题

1.3 正方形的性质与判定

一．选择题

1．下列说法错误的是（）

A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形

B．矩形的对角线相等

C．对角线相等的菱形是正方形

D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）

A．60°B．65°C．70°D．75°

3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形

④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）

A．①②B．③④C．①②④D．①②③④

4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形

B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形

C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形

D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形

5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：

（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．

其中正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二．填空题

6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．

7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．

8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．

9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．

10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．

11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．

12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．

13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．

14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝．

15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．

三．解答题

16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．

（1）求证：四边形CDEF是菱形；

（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．

17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．

（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．

18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）求AG+AE的值；

（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．

21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：

（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

参考答案

一．选择题

1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；

矩形的对角线相等，故选项B正确；

对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；

两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；

故选：A．

2．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．

又AE＝AE，

∴△ABE≌△ADE（SAS）．

∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．

∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．

故选：C．

3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．

∵两张长方形直尺的宽度相等，

∴DE＝DF，

又∵平行四边形ABCD的面积＝AB?DE＝BC?DF，

∴AB＝BC，

∴平行四边形ABCD为菱形．

当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，

∴这个四边形一定是轴对称图形，

故选：C．

4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．

∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．

在△BDE和△BAC中，

，

∴△BDE≌△BAC（SAS），

∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的对角线，

∴∠BDA＝∠BAD＝45°．

∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，

∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD

＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°

＝225°﹣∠BAC，

∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，

∴DE∥AG，

∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；

B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，

∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，

∵四边形ADEG是平行四边形，

∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；

C、∵四边形ADEG是平行四边形，

∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．

∵AD＝AB，

∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；

D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，

∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，

∴四边形ADEG是正方形，

即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；

故选：B．

5．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．

∵CE＝DF，

∴AF＝DE．

在△ABF和△DAE中，，

∴△ABF≌△DAE．

∴AE＝BF，故（1）正确．

∵△ABF≌△DAE，

∴∠AFB＝∠AED．

∵∠AED+∠DAE＝90°，

∴∠AFB+∠DAE＝90°，

∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．

∵△ABF≌△DAE，

∴S△ABF＝S△ADE．

∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．

如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．

∵HE＞OE，GE＞HE，

∴GE＞OE．

∴AD＞OE，故（3）错误．

故选：B．

二．填空题

6．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，

∴EF⊥l1，EF⊥l4，

即∠CED＝∠BFC＝90°．

∵ABCD为正方形，

∴∠BCD＝90°．

∴∠DCE+∠BCF＝90°．

又∵∠DCE+∠CDE＝90°，

∴∠CDE＝∠BCF．

在△CDE和△BCF中，

∴△CDE≌△BCF（AAS），

∴BF＝CE＝2．

∵CF＝1，

∴BC2＝12+22＝5，

即正方形ABCD的面积为5．

故答案为：5．

7．解：如图，延长BG交CH于点E，

在△ABG和△CDH中，

，

∴△ABG≌△CDH（SSS），

∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，

∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，

∴AG2+BG2＝AB2，

∴∠AGB＝∠CHD＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，

又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，

∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，

在△ABG和△BCE中，

，

∴△ABG≌△BCE（ASA），

∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，

同理可得HE＝1，

在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．

8．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，

∵E，F分别是边AB，BC的中点，

∴AE＝CF＝×2＝1，

∵AD∥BC，

∴∠DPH＝∠FCH，

∵∠DHP＝∠FHC，

∴△PDH≌△CFH（AAS），

∴PD＝CF＝1，

∴AP＝AD﹣PD＝1，

∴PE＝＝，

∵点G，H分别是EC，FD的中点，

∴GH＝EP＝．

9．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，

在△BAE和△ADF中，

，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴∠ABE＝∠DAF，

∵∠ABE+∠BEA＝90°，

∴∠DAF+∠BEA＝90°，

∴∠AGE＝90°，

∴∠BGF＝90°，

∵点H为BF的中点，

∴GH＝BF，

又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，

∴CF＝4，

∴BF＝＝＝，

∴GH＝，

故答案为：．

10．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，

∴∠CBE＝150°，

∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形

∴∠BEC＝15°，

∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，

∴∠BFE＝60°，

在△CBF和△ABF中，

，

∴△CBF≌△ABF（SAS），

∴∠BAF＝∠BCE＝15°，

又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，

∴∠AFD＝∠ABF+∠F AB＝15°+45°＝60°．故答案为60．

11．解：∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠BAD＝90°

∵△ABE是等边三角形

∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°

∴AD＝AE，∠DAE＝150°

∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°故答案为：45．

12．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，

∴△ADE≌△BCE，

∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．

∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，

∴AD＝DE，

∵∠ADE＝90°+60°＝150°，

∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，

∴∠EAB＝＝75°．

故答案为75°．

13．解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，AD∥BC，

∵AC＝EC，

∴∠E＝∠CAE，

∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，

∴∠E＝∠ACB＝22.5°，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠E＝22.5°．

故答案为：22.5°．

14．解：过E作EF⊥DC于F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵CE平分∠ACD交BD于点E，

∴EO＝EF，

在Rt△COE和Rt△CFE中

，

∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），

∴CO＝FC，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴AC＝，

∴CO＝AC＝，

∴CF＝CO＝，

∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，

∴DE＝＝﹣1，

另法：因为四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，

∵CE平分∠ACD交BD于点E，

∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，

∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，

∵∠CBE＝45°，

∴∠BEC＝67.5°，

∴BE＝BC，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴BC＝1，

∴BE＝1，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴AC＝，

∴DE＝﹣1，

故答案为：﹣1．

15．解：如图作FH∥BC交BD于点H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，

∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，

∴∠OHF＝∠OFH，

∴OH＝OF＝1，FH＝＝，

∵BF平分∠OBC，

∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，

∴BH＝FH＝，

∴OB＝OC＝1+，

∴BC＝OB＝2+．

故答案为2+．

三．解答题

16．证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O

∵BE＝BC，BD平分∠ABC

∴EO＝CO，BD⊥CE

∴EF＝FC，DE＝CD，

∵CF∥DE

∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE ∴△DOE≌△FOC（AAS）

∴DE＝CF

∴EF＝FC＝CD＝DE

∴四边形EFCD是菱形

（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，理由如下：

∵∠ACB＝120°，BC＝AC

∴∠ABC＝∠BAC＝30°

∵BD平分∠ABC

∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC

∴∠BCO＝75°

∴∠ACE＝45°，

∵四边形EFCD是菱形

∴∠FCD＝2∠ACE＝90°

∴四边形CDEF是正方形，

∴∠ADE＝90°

如图，过点C作CP⊥AB于点P，

∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB

∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，

∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6

∵∠A＝30°，∠ADE＝90°

∴DE＝AE＝3﹣3

17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，

∵∠CAD＝∠DBC，

∴∠BAD＝∠ABC，

∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，

∴四边形ABCD是正方形；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，

∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，

∵DH⊥CE，垂足为H，

∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，

∵∠ECO+∠DEH＝90°，

∴∠ECO＝∠EDH，

在△ECO和△FDO中，，

∴△ECO≌△FDO（ASA），

∴OE＝OF．

18．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAD＝∠EAB，

∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，

∴EM＝EN，

∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，

∴四边形ANEM是矩形，

∵EF⊥DE，

∴∠MEN＝∠DEF＝90°，

∴∠DEM＝∠FEN，

∵∠EMD＝∠ENF＝90°，

∴△EMD≌△ENF，

∴ED＝EF，

∵四边形DEFG是矩形，

∴四边形DEFG是正方形．

（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，

∴△ADG≌△CDE（SAS），

∴AG＝CE，

∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．

（3）如图，作EH⊥DF于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝4，AB∥CD，

∵F是AB中点，

∴AF＝FB

∴DF＝＝2，

∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，

∴DH＝HF，

∴EH＝DF＝，

∵AF∥CD，

∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，

∴FM＝，

∴HM＝HF﹣FM＝，

在Rt△EHM中，EM＝＝．

19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，

∵点E是正方形ABCD对角线上的点，

∴EM＝EN，

∵∠DEF＝90°，

∴∠DEN＝∠MEF，

∵∠DNE＝∠FME＝90°，

在△DEN和△FEM中，

，

∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴EF＝DE，

∵四边形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：

∵正方形DEFG和正方形ABCD，

∴DE＝DG，AD＝DC，

∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠CDG＝∠ADE，

在∴△ADE和△CDG中，，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．