培优专题4 无理数的整、小数部分的应用(含解答)-

培优专题4 无理数的整、小数部分的应用

实数和数轴上的点是一一对应的，任何一个无理数都可用近似于它的有理数来表示，因而任何一个无理数的整数部分必为有理数．

解决有关无理数的整、小数部分的问题，首先从无理数的近似值范围入手确定整数，进而求出小数，解决相关问题．

例1 a的整数部分，b a-b的值．

分析．即从而有：a=4，

-4．

．

即：<5

∴a=4，．

故a-b=4--4）

'

练习1

1，b是a的小数部分，试用b的代数式表示a，并求a-b的值．

2的小数部分为b，求（4+b）b的值．

@

3a b，则a-b=_______．

例2 若a，的小数部分为b，则a+b的值是多少

分析无理数和是无限不循环小数，利用9<11<16，即<4这一点，是解这类题的突破口．

解：∵<4．

∴8，

的整数部分为1．

则-3，

的小数部分为．

∴=1．

。

练习2

1．若a与b，则（a+3）（b-4）=________．

2．已知的小数部分分别为x、y，试求3x+2y的值．

3．已知m、n，试求（m+n）3的值．

&

例3

a ，小数部分是

b ，则a 2+（）ab=________．

分析 先作分母有理化，将原式转化为a 的形式，再分别确定其整数、?小数部分的取值，最后代入求值．

12

（

∵．

∴<6．

∴<

12（）<3． —

即a=2．

b=

12

（）-2

=12-1）

则：a 2+（）ab

=22+（）×

12-1）×2=10．

练习3

1．设x

x 2004-2x 2003+x 2002=________． 2

a ，小数部分为

b ，则b a =________．

3．设m

的小数部分，则36m 2=________． {

例4 a ，小数部分为b ，试计算：a+b+2b

=________．

分析 将被开方数配方，构造成完全平方式（）2，再化简根式，?然后分析整数部分和小数部分．

.

∵<2

∴a=1，．

∴a+b+2

b

=5．

练习4

*

1的整数部分是a ，小数部分是b ，则b a =_______．

2a ，小数部分是b ，求a 2+ab+b 2的值．

3．若[a]表示实数a 的整数部分，则

]等于（ ）

\

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

例5 设，那么m+

1m

的整数部分是________．

分析 将代入式子m+1m 进行化简，进而确定其整数部分，但此题要注意无理数的取值范围．

解：∵，

∴1

m =14）．

∴m+

1m 14 ． ∵<5<

故

∴

5 2.234?+<5 2.334?+ |

即

144

． 因此m+1m 的整数部分是3． 练习5

1．设a b 则21b a

-的值为（ ）

A +1

B -1

C -1

D +1

2．恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同的整数是（）A．17 B．18 C．35 D．36

3a，小数部分为b，求a b

a b

-

+

-

a b

a b

+

-

的值．

?

答案:

练习1

1．解：∵，

4．

即a=4+b，

故a-b=4．

2

即<3．

的整数部分为2．

∴-2．

；

∴（4+b）b=（-2-2）=+2-2）=3．

3

∴．

即a=5．

<

∴．

即b=5．

故a-b=5-4=1．

练习2

1．解：∵，

&

∴12，

5．

∴．

故（a+3）（b-4）=）（）=-13．

2．解：∵<3，

∴11，

的整数部分是6．

∴-2，

的小数部分

，

故3x+2y=3-2）+2（）．

3．解：∵

∴9

4

则

故（m+n ）3=3=1．

练习3

1

13），

而<3，

∴．

-

∴43<13+2）<53

． ∴x=1．

故x 2004-2x 2003+x 2002=0．

2

12-3），

而<4，

∴，

∴0<

12-3）<12

．

则a=0，b=12-3）． 故b a =1．

3

=16）， "

而，

∴．

∴1<1

6

）<

7

6

．

∴m=1

6

）-1=

1

6

）．

故36m2

练习4

1

∴a=2，

∴b a=（

）2

2

==

，

$

∴

<6．

a=5，小数部分

-2．

故a2+ab+b2=（a+b）2-ab=（

-2）2-5

-2）

．

3

==又∵

<3，

∴

<6．

即<

1

2

（

）<3．

故

]等于2．

练习5

]

1.

，

-1．

即-1．

，

-2．

即-2．

故21

b a -+1． 故选A ．

2.解：设其中最小的正整数为n 2，则其算术平方根的整数部分为n ，?

即最大整数一定为（n+1）2-1．

依题意可得：（n+1）2-1-n 2=34．

即n 2+2n+1-1-n 2=34

∴n=17．

故选A ．

3.

=

．

∴a=2．

．

故a b

a b -+-a b a b +-=2222()()a b a b a b --+-=224ab a b ---4．