北师大版数学高二-2.4素材 空间向量在共面中的应用

空间向量在共面中的应用

赵春祥河北省特级教师

利用空间共面向量定理：设OA、OB、OC为空间不共面的已知向量，对于空间中任一点P，若存在唯一实数x、y、z，使得OP=xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z = 1，则A、B、C、P四点共面．这是证明共面问题的基本方法。下面介绍几例。

例1 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心。求证：E、F、G、H四点共面．

证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R。

∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，

∴M、N、Q、R分别为AB、BC、CD、DA的中点，且有PE=2

3

PM，PF=

2

3

PN，

PG=2

3

PQ，PH=

2

3

PR，所以四边形MNQR为平行四边形。

又MQ=PQ－PM=3

2

PG－

3

2

PE=

3

2

EG，即EG=

2

3

MQ，

同理，可得EF=2

3

MN，EH=

2

3

MR。

又∵MR＋MN=MQ，∴EG=EF＋EH。

故由共面向量定理，得E、F、G、H四点共面．

例2 如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE= k OA，OF= k OB，OG= k OC，OH= k OD，求证：

四点E、F、G、H共面。

证明：因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AC=AB＋AD，

EG=OG－OE= k OC－k OA= k AC= A

O

D

B

C

G

F

H

k (AB ＋AD ) = k(OB －OA ＋OD －OA ) =OF －OE ＋OH －OE =EF ＋EH 。

所以E 、F 、G 、H 四点共面。

例3 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、P 、R 分别是AA 1、A 1B 1、B 1C 1、C 1C 、CD 、DA 的中点，求证：E 、F 、G 、H 、P 、R 六点共面．

解：建立如图所示的坐标系．设正方体边长为1，

易求DE = (1，0，12)，DF = (1，12，0)，DG = (12，1，0)，DH = (0，1，12

)，DP = (0，12，1)，DR = (12

，0，1)， 设DE = x DF ＋y DG ＋z DH = (x ＋2y ，2x ＋y ＋z ，2z )， 又DE = (1，0，12)，所以有1,20,21.22y x x y z z ?+=???++=???=??

?2,2,1.x y z =??=-??=? ∵x ＋y ＋z = 1，∴由空间共面向量定理知E 、F 、G 、H 四点确

定平面α．

同理可证E 、F 、G 、P 四点确定平面β．

∵E 、F 、G αβ∈，∴由公理3知α、β重合，即P 点也在平面α上，通理可证R 也在平面α上．

评析：利用共面向量定理中的条件“x ＋y ＋z = 1”证明四点共面，这是同一法证明共面问题的关键步骤．