(完整版)高中数学基本不等式题型总结

The shortest way to do many things is 专题 基本不等式 编者：高成龙

专题 基本不等式

【一】基础知识

基本不等式：)

0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；

（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.

2.几个重要的不等式

（1）；（2）；()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析

【模块1】“1”的巧妙替换

【例1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y

+【变式1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y

+【变式2】（2013年天津）设， 则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b

+【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b

+=2a b ab ++

【例3】已知，且，则的最小值为 .

0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足，则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy

+【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b

+≥+m

【例6】（2013年天津市第二次六校联考）与圆相交于两点，()1,0by a b +=≠22

1x y +=,A B 为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为 . O AOB 22

12a b +

【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，()2200,0ax by a b -+=>>22

2410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b

+【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足

12,e e 12,F F P ，则的最小值为

120PF PF ?= 22214e e +【例9】已知，则的最小值是（ ）0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y

+

A ．6

B ．5

C ．

D ．3+【例10】已知函数，若，且，则的最小值为 .()4141

x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x +

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【模块二】“和”与“积”混合型

【例1】（2012年天津）设,若直线与轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且与圆

,m n R ∈:10l mx ny +-=x l 相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 .

224x y +=2O AOB ?【例2】设，，若，，则的最大值为_______.,x y R ∈1,1a b >>2x y a b ==28a b +=11x y

+【例3】若实数满足，则的最大值为 .

,x y 221x y xy ++=x y +【例4】（2013年南开一模）已知正实数满足，则的最小值为 .

,a b 21a b ab ++=a b +

【例5】设，若直线与圆相切，则的取值范围是

,m n R ∈()()1120m x n y +++-=()()22111x y -+-=m n +（ ）

（A ） （B ）1?+?(),11?-∞?+∞?

（C ） （D ）22?-+?()

,22?-∞-?++∞?【例6】已知，且成等比数列，则的最小值为 . 1,1x y >>11ln ,,ln 44

x y xy 【例7】（2015天津）已知 则当的值为 时取得最大值.

0,0,8,a b ab >>=a ()22log log 2a b ?【例8】（2011年天津）已知，则的最小值为 .

22log log 1a b +≥39a b +

【例9】下列说法正确的是（ ）

A ．函数的最小值为

x x y 2

+=

B ．函数的最小值为)0(sin 2

sin π<<+=x x x y

C ．函数的最小值为

x x y 2+=

D ．函数的最小值为x x y lg 2

lg +=【例10】设的最小值是（

）,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则

A ．10

B ．

C ．．