待定系数法
初中数学竞赛专题选讲（初三.7）
待定系数法
一、内容提要
1. 多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x 的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两
个多项式恒等.就是说x 在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.
符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：
（x+3）2=x 2+6x+9, 5x 2－6x+1=(5x －1)(x －1),
x 3－39x －70=(x+2)(x+5)(x －7).
都是恒等式.
根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：
已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).
求：①a+b+c ； ②a －b+c.
解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4.
②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0.
2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
即 如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n = b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n
那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n .
上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.
∴a=2, b=－2, c=－4.
∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0.
3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性
质，确定待定系数的值.
二、例题
例1. 已知：2
3)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x 求：A ，B ，C 的值.
解：去分母，得
x 2－x+2=A(x －3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x －3).
根据恒等式定义（选择x 的适当值，可直接求出A ，B ，C 的值），
当x=0时， 2＝－6A. ∴A ＝－3
1. 当x=3时， 8＝15B. ∴B ＝15
8. 当x=－2时， 8＝10C. ∴C ＝5
4. 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x 的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.
例2. 把多项式x 3－x 2+2x+2表示为关于x －1的降幂排列形式.
解：用待定系数法：
设x 3－x 2+2x+2=a(x －1)3+b(x －1)2+c(x －1)+d
把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），
得 x 3－x 2+2x+2=ax 3－3ax 2+3ax －a
+bx 2－2bx+b
+cx －c
+d
用恒等式的性质，比较同类项系数，
得???????=+-+-=+--=+-=2223131d c b a c b a b a a 解这个方程组，得???????====4
3
21d c b a
∴x 3－x 2+2x+2=(x －1)3+2(x －1)2+3(x －1)+4.
本题也可用换元法：
设x －1=y, 那么x=y+1.
把左边关于x 的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y 换成x －1.
例3. 已知：4x 4+ax 3+13x 2+bx+1是完全平方式.
求： a 和b 的值.
解：设4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝（2x 2+mx ±1）2 （设待定的系数，要尽可能少.）
右边展开，合并同类项，得
4x 4+ax 3+13x 2+bx+1＝4x 4+4mx 3+(m 2±4)x 2±2mx+1.
比较左右两边同类项系数，得
方程组?????==+=m b m m a 213442； 或??
???-==-=m b m m a 213442. 解得?????==?????-==???-=-=???==17
2174 172174612612b a b a b a b a －或或或. 例4. 推导一元三次方程根与系数的关系.
解：设方程ax 3+bx 2+cx+d=0(a ≠0)的三个根分别为x 1, x 2, x 3.
原方程化为x 3+02=++a
d x a c x a b . ∵x 1, x 2, x 3是方程的三个根.
∴x 3+=++a
d x a c x a b 2(x －x 1) (x －x 2) (x －x 3). 把右边展开，合并同类项，得
x 3+=++a
d x a c x a b 2=x 3－( x 1+x 2+x 3)x 2+(x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3)x －x 1x 2x 3. 比较左右同类项的系数，得
一元三次方程根与系数的关系是：
x 1+x 2+x 3=－
a b ， x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3＝a c ， x 1x 2x 3＝－a
d .
例5. 已知：x 3+px+q 能被（x －a ）2
整除.
求证：4p 3+27q 2=0.
证明：设x 3+px+q ＝（x －a ）2（x+b ）.
x 3+px+q=x 3+(b －2a)x 2+(a 2－2ab)x+a 2b. ??
???==-=-③②①q b a p ab a a b 22202
由①得b=2a ， 代入②和③得 ?????=-=3223a
q a p ∴4p 3+27q 2＝4（－3a 2）3+27(2a 3)2
=4×（－27a 6）+27×（4a 6）=0. （证毕）.
例6. 已知：f (x)=x 2+bx+c 是g (x)=x 4 +6x 2＋25的因式，也是q (x)=3x 4+4x 2+28x+5
的因式.
求：f (1)的值.
解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.
为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k 为正整数).
即14x 2－28x+70＝k (x 2+bx+c)
14（x 2－2x+5）＝k (x 2+bx+c)
∴k=14, b=－2, c=5.
即f (x)=x 2－2x+5.
∴f (1)=4 .
例7. 用待定系数法，求（x+y ）5 的展开式
解：∵展开式是五次齐次对称式，
∴可设（x+y ）5＝a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3) (a, b, c 是待定系数.) 当 x=1,y=0时， 得a=1；
当 x=1,y=1时， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16
当 x=－1,y=2时， 得31a －14b+4c=1.
得方程组??
???=+-=++=141431161c b a c b a a
解方程组，得??
???===1051c b a
∴（x+y ）5＝x 5+5x 4y+10x 3y 2+10x 2y 3+5xy 4+y 5.
三、练习51
1. 已知4
286322+-+=++-x b x a x x x . 求a, b 的值. 2. 已知：2)
1(1)2()1(534222++-+-=+-+-x C x B x A x x x x . 求：A ，B ，C 的值. 3. 已知： x 4—6x 3+13x 2－12x+4是完全平方式.
求：这个代数式的算术平方根.
4. 已知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除.
求证：ad=bc.
5. 已知：x 3－9x 2+25x+13=a(x+1)(x －2)(x －3)
=b(x －1)(x －2)(x －3)
=c(x －1)(x+1)(x －3)
=d(x －1)(x+1)(x －2).
求：a+b+c+d 的值.
6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.
7. 用x －2的各次幂表示3x 3－10x 2+13.
8. k 取什么值时，kx 2－2xy －y 2+3x －5y+2能分解为两个一次因式..
9. 分解因式：①x 2+3xy+2y 24x+5y+3；
②x 4+1987x 2+1986x+1987.
10. 求下列展开式：
① (x+y)6； ② (a+b+c)3.
11. 多项式x 2y －y 2z+z 2x －x 2z+y 2x+z 2y －2xyz 因式分解的结果是( )
(A) (x+y)(y －z)(x －z) . (B) (x+y)(y+z)(x －z).
(C) (x －y)(y －z)(x+z). (D) (x －y)(y+z)(x+z).
12. 已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4x －3.
则S 等于( )
(A) (x －2)4 . (B) (x －1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4.
(1988年泉州市初二数学双基赛题)
13． 已知：4
310252323-+-++-x x x c bx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.
练习题参考答案
1. a=－27,b=－2
11 2. A=1,B=2,C=3
3. ± (x 2－3x+2)
4.由 (x 2+p)(ax+p
d )… 5. 1
7. 3(x －2)3+8(x －2)2－4(x －2)－3
8. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。
9. ①(x+y +1)(x+2y+3) ②(x 2+x+1)(x 2－x+1987)
10. ①x 6+6x 5y+15x 4y 2+20x 3y 3+15x 2y 4+6xy 5+y 6.
②x 3+y 3+z 3+3(x 2y+y 2z+z 2x+x 2z+y 2x+z 2y)+6xyz.
11. (A)
12.(C)
13. a=1, b=1.5, c=－2.
待定系数法练习题
待定系数法练习题 一．选择题（共10小题） 1．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（） A．y=3x B．y=﹣3x C．D． 2．已知某条经过原点的直线还经过点（2，1），下列结论正确的是（） A．直线的解析式为y=2x B．函数图象经过二、四象限 C．函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）D．y随x的增大而减小 3．已知y﹣1与x成正比，当x=2时，y=9；那么当y=﹣15时，x的值为（） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 4．函数y=kx+2，经过点（1，3），则y=0时，x=（） A．﹣2 B．2 C．0 D．±2 5．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（） A．B．C． D． 6．一次函数y=kx+b的图象如图，则（） A．B．C．D． 7．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA=1，OC=2，点D的坐标为（2，0），则直线BD 的函数表达式为（） A．y=﹣x+2 B．y=﹣2x+4 C．y=﹣x+3 D．y=2x+4
8．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（） x ﹣1 0 1 y 1 m ﹣5 A．﹣1 B．0 C．﹣2 D． 9．已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．k的值不确定 10．把正比例函数y=2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为（） A．y=2（x﹣3）B．y=2x﹣3 C．y=2x+3 D．y=2x 二．填空题（共8小题） 11．已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x时，y≤0． 12．如图，在直角坐标系中，已知矩形ABCD的两个顶点A（3，0）、B（3，2），对角线AC所在的直线L，那么直线L对应的解析式是． 13．如图，一次函数的y=kx+b图象经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为． 14．已知一次函数y=kx+b，当x减少3时，y增加2，则k的值是． 15．已知函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴交点的纵坐标为﹣2，且当x=2时，y=1．那么此函数的解析式 为． 16．正方形ABCO的边长是2，边OA，OC分别在y轴、x轴的正半轴上，且点E是BC的中点，则直线AE 的解析式是． 17．已知点A（2a﹣1，3a+1），直线l经过点A，则直线l的解析式是． 18．一次函数y=kx+b 的图象过点A（﹣1，2），且与y轴交于点B，△OAB的面积是2，则这个一次函数的表达式为． 三．解答题（共6小题） 19．在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点．
待定系数法求递推数列通项公式
用待定系数法求递推数列通项公式初探 摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列 数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。 一、n n a pa q +=+ 型（p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠） 例题1.在数列{}n a 中，11a =,121n n a a +=+,试求其通项公式。 分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在121n n a a +=+的两边同时加上1，整理为112(1)n n a a ++=+，此时，把11n a ++和1n a +看作一个整体，或者换元，令111n n b a ++=+，那么1n n b a =+，即12n n b b +=，1112b a =+=，因此，数列{}1n a +或{}n b 就是以2为首项，以2为公比的等比数列 12n n a +=，或者2n n b =，进一步求出21n n a =-。 启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列{}1n a +，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？
人教B版高中数学必修一【学案12】待定系数法
学案十三 待定系数法 一、三维目标： 1、 知识目标：使学生掌握用待定系数法求解析式的方法； 2、能力目标：（1）尝试设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解； （2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； （2）通过合作学习，培养学生团结协作的品质。 二、教学重点与难点 重点：用待定系数法求函数解析式； 难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式。 三、教学方法 采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法；教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索。 在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P61—P62，通过对教材中 的例题的研究，完成学习目标 。 1. 待定系数法定义 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________. 2. 利用待定系数法解决问题的步骤： ○ 1确定所求问题含有待定系数解析式. ○ 2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程. ○ 3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 3.正比例函数的一般形式为_____________________, 一次函数的一般形式为___________________________。 4. 用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： ○ 1 一般式：c bx ax y ++= 2 （a 、b 、c 为常数，且0≠a ）. ○ 2 顶点式：k h x a y +-=2)( （a 、b 、c 为常数, 0≠a ）.
用待定系数法求函数表达式
21.3用待定系数法确定一次函数表达式 【教材分析】 本节是冀教版数学八年级下册第二十一章第三节内容.在此之前学生已经能够根据实际问题的意义写出函数表达式,并且知道一次函数的意义及其性质,本节是在此基础上学习确定一次函数的表达式的方法,这一节内容在本章及初中的函数学习中都占有重要地位. 【教学目标】 （1）知识与技能：1、能依照不同情境选择确定一次函数表达式的方法. 2、会用解二元一次方程组的方法求y=kx+b中的待定系数k与b. （2）过程与方法：经历观察、猜测、探索、合作交流等过程，锻炼学生的总结归纳能力，培养学生数形结合的数学思维. （3）情感态度价值观：通过观察、讨论、交流，培养探索精神、合作精神. 【教学重难点】 重点：利用待定系数法求一次函数的表达式 难点：待定系数法的探索过程 【教学方法和手段】 1、综合采用启发式、讨论式、探究式的教学方法 2、借助多媒体课件运用联想、猜测、观察、讨论等多种教学手段 【教学过程设计】 (一) 创设情境 利用多媒体课件出示温故而知新的画面,出示复习问题 1 、请你给大家说一说一次函数和正比例函数的意义 2、请你为大家描述一下一次函数和正比例函数图像的特点 3 、请你在平面直角坐标系中画出正比例函数y=2x和一次函数y=2x+3的图像 （设计意图:问题1、2 为本课课题服务的.在质疑中发现问题,在问题中展开教学,可以激活学生的数学思维,在解决问题中深化学生对知识的理解.） (二)尝试与探索 通过正比例函数和一次函数表达式,我们可以画出它们的函数图像;反过来,如果给你一个函数图像,你能求出它的函数表达式吗?我们一起来看下面两个问题. 1、抛出问题 (1)现有位同学画了如图所示的一条直线，但是他忘记了写表达式，
用待定系数法确定一次函数
用待定系数法确定一次函数 教学目标 1.使学生了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数；能由两个条件确定解析式或者能根据函数的图象确定一次函数的解析式。 2、通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性；进一步提高分析概括、总结归纳能力；利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力。 3、积极思考、勇跃发言，养成良好学习习惯；独立思考、合作探究，培养科学的思维方法。 重点 会用待定系数法确定一次函数的表达式 难点 从图象上捕捉信息 教学方法 引导法，探究法，分析法，归纳法 教学过程： 一、创设情景，提出问题 1.复习：画出函数y=2x 的图象 （引入新课）在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。 二、合作交流、解读探究 1.求右图中直线的函数表达式。 分析与思考:(1)题是经过原点的 一条直线，因此是正比例函数， 二条可设它的表达式为y=kx,将 三条点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x. （2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k 、b 的二元一次方程组，从而确定了k 、b 的值，确定了表达式.(写出解答过程) 2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。即如果有一个系数，只要利用一点坐标列出关于k 的一元一次方程即可；如果有2个系数，则要用2个点的坐标列出关于k,b 的二元一次方程组。 探究：已知:一次函数的图象经过点(0，-1)和点(1，1),求出一次函数的解析式. 解：设一次函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿， 把点＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿代入解析式得 ＿＿k+b=＿＿ k=＿＿ ＿＿k+b=＿＿ 解得， b=＿＿ 把k=____，b=____ 代入y=kx+b 中，得一次函数解析式为__________. 问：通过以上各题，你能归纳出求一次函数解析式的步骤了吗？ 就是先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程，求出未知系数，从而得到所求结果。 归纳：这种求一次函数的解析式的方法叫待定系数法，它的步骤可归纳为： “一设二列三解四还原”． 具体的说，一设：设出一次函数解析式的一般形式y ＝kx +b （k ≠0）； 二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组； 图2 图1
高中数学解题基本方法--待定系数法
高中数学解题基本方法--待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1.设f(x)＝x 2 ＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. 5 2 , －2 B. － 5 2 ， 2 C. 5 2 , 2 D. － 5 2 ，－2 2.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2 , 1 3 )，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为3 2 ，最小值为－ 1 2 ，则y＝－4asin3bx的最小 正周期是_____。 5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6.与双曲线x2－y2 4 ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是 ____________。
第 10 讲 待定系数法(高中版)
第 10 讲 待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1． ；2．；3．。 难点 ：1．；2．； 3．；。 其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。 待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。 使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。 二次函数解析式有三种表达形式， 1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。 若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用 例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n = 21 a 1 n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。
高中数学-函数待定系数法练习
高中数学-待定系数法练习 课时过关·能力提升 1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点() A.(-2,-3) B.(3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2) 解析设反比例函数为f(x)= (k≠0), 则3=,k=-6,即f(x)=, 故其还经过点(3,-2). 答案C 2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点() A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-1,1) 解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1). 答案C 3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则() A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0). 因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上, 所以11=4a-1,解得a=3. 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.
故a=3,b=-12,c=11. 答案D 4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为() A.1,2,3 B.1,-2,-3 C.1,-2,3 D.1,2,-3 解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6, ∴ 解得a=1,b=-2,c=3. 答案C 5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2, 可得 解得 故f(x)= 令f(x)=x,解得x=2或x=-2. 答案B 6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为()
待定系数法求解析式
待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一．已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式． 例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式． 三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式 例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式． 四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 五．求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后 向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式． 六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线， 并写出新抛物线解析式． 【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式： （1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）． （2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题 目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程； 若不能，请说明理由． （2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添 加一个适当的条件，把原题补充完整． 【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则 平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的 是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、 （2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最 大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的 解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解 析式．
湘教版八年级数学下册用待定系数法确定一次函数表达式教案
4.4 用待定系数法确定一次函数表达式 教学目标 知识与技能 1．学会用待定系数法确定一次函数表达式． 2．了解两个条件确定一个―次函数；一个条件确定一个正比例函数． 过程与方法 1．经历待定系数法的运用过程，提高研究数学问题的技能． 2．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，体验数形结合思想，具体感知数形结合思想在一次函数中的运用． 情感、态度与价值观 能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识应用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 重点难点 重点：待定系数法确定一次函数表达式． 难点：灵活运用有关知识解决相关问题． 教学设计 —、创设情景 1．复习：画出函数y=3x，y=3x-1的图象． 2．反思：你在作这两个函数图象时，分别描了几个点？ 你为何选取这几个点？ 可以有不同取法吗？ 3．引入新课：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题． 二、探究新知 1．设直线的表达式是y=kx+b，因为此直线经过点P(-20，5)，Q(10，20)，因此将这两个点的坐标代入，可得关于k、b的方程组，进而确定了k、b的值，确定了表达式．(写出解答过程)
2．反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定函数的表达式需要两个条件． 初步运用，感悟新知． 已知一次函数的图象经过点(3，5)和(-4，-9)，求这个一次函数的表达式． 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b． ∵y=kx+b的图象过点(3，5)和(-4，-9)． ∴这个一次函数的表达式为y=2x-1． 像这样先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知数的系数，进而求出函数表达式的方法，叫作待定系数法． 例题解析 例1 温度的测量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100℃，用华氏温度测量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度测量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法把华氏温度换算成摄氏温度？ 例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h) 之间为一次函数关系，函数图象如图. (1)求y关于x的函数表达式； (2)一箱油可供拖拉机工作几小时？ 三、综合运用 1．若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，-1)，则该函数图象必经过点( ) A．(-1，1) B．(2，2) C．(-2，2) D．(2，-2) 2．若直线y=kx+b平行于直线y=3x+2，且在y轴上的截距为-5，则k=_____，b=______．3．写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2，3)．
高中数学第二章函数2.2.3待定系数法练习
2.2.3 待定系数法 课时跟踪检测 [A 组 基础过关] 1．反比例函数图象过点(－2,3)，则它一定经过( ) A ．(－2，－3) B ．(3,2) C ．(3，－2) D ．(－3，－2) 解析：设f (x )＝k x (k ≠0)，∵f (x )过(－2,3)，∴k －2＝3，∴k ＝－6，f (x )＝－6 x ，过(3， －2)点．故选C ． 答案：C 2．已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 ＋1 B ．y ＝x 2 ＋1 C ．y ＝－x 2－1 D ．y ＝x 2 －1 解析：设f (x )＝a (x －1)(x ＋1)(a ≠0)， ∵过(0,1)点， ∴f (0)＝－a ＝1， ∴a ＝－1， ∴f (x )＝－(x －1)(x ＋1)＝－x 2 ＋1，故选A ． 答案：A 3．函数y ＝ax 2 ＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只能是( ) 解析：y ＝ax 2 ＋bx 的图象过原点，故A 错； 由B ，C ，D 中抛物线的对称轴可知－b 2a >0， ∴a 与b 异号，观察图中的直线，B 错； 两图象的交点为? ?? ??－b a ，0，故选D ．
答案：D 4.如图，抛物线y ＝－x 2 ＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 等于( ) A ．－53 B ．0 C ．－5 3 或0 D ．1 解析：设A (x 1,0)(x 1＞0)，B (x 2,0)(x 2＜0)， 则x 1，x 2是方程－x 2 ＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0的两根， 即x 2 －2(m ＋1)x －m －3＝0， ∴????? x 1＋x 2＝2(m ＋1)＞0，x 1·x 2＝－m －3.∵x 1＝－3x 2， ∴????? －2x 2＝2(m ＋1)，－3x 2 2＝－m －3， ∴m ＝0，m ＝－5 3(舍)，故选B ． 答案：B 5．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4 D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析：由题可得a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8， ∴? ?? ?? a 2 ＝9，ab ＋b ＝8，∴? ?? ?? a ＝3， b ＝2或? ?? ?? a ＝－3， b ＝－4，故选D ． 答案：D 6．已知抛物线y ＝ax 2 与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________． 答案：? ?? ??－14，14 7．反比例函数y ＝12 x 的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数
待定系数法
待定系数法 待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用． (一)求直线和曲线的方程 例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程． 【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得 依题意，列方程得 于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0． 【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数． (2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法． 例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若 系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)
【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B 为曲线C的端点． 设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N 解之，得p=4，x1=1． 故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)． (二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质 例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小． 【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则 ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)． 从而由待定系数法，得
用待定系数法求一次函数解析式
14.2.2 一次函数(3) 用待定系数法求一次函数解析式 教学目标 1．知识与技能 会用待定系数法求解一次函数的解析式．体会二元一次方程组的实际应用． 了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数. 2．过程与方法 经历探索求一次函数解析式的过程，感悟数学中的数与形的结合． 3．情感、态度与价值观 培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯，形成良好的学习态度． 重、难点与关键 1．重点：待定系数法求一次函数解析式． 2．难点：灵活运用有关知识解决相关问题. 3．关键：熟练应用二元一次方程组的代入法、?加减法解一次函数中的待定系数． 教学方法 采用“问题解决”的方法，让学生在问题解决中感受一次函数的内涵． 教学过程 一、创设情景，提出问题 1.复习：画出函数y=2x, 的图象 2引入新课：在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。 332y x =-+图1 图2 y=2x 332 y x =-+
二．提出问题，形成思路 1.求下图中直线的函数表达式。 图1 图2 分析与思考:(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为y=kx ,将点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x. （2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k、b的二元一次方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式.(写出解答过程) 2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。 初步应用，感悟新知 【例1】 1.已知一次函数的图象经过点（-1，1）和点（1，-5）， 求（1）这个一次函数的解析式； （2）当x=5时，函数y的值. 【思路点拨】求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k、b的值，从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b． 【教师活动】分析例题，讲解方法． 【学生活动】联系已学习的二元一次方程组，以此为工具，解决问题，参与教师讲例，主动思考． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b． 依题意得：解得 这个一次函数的解析式为y=-3x-2． 像这样先设出一次函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。
4.4用待定系数法确定一次函数表达式
第四章一次函数 1、函数自变量的取值： ①整式取全体实数，②分式则分母不为0，③二次根式则根号下的数≥0. 2、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）、（，0）的直线； 正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中 得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 4、一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同． 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 5、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象平移的方法：b的值加减即可（加是向上移，减则下移）。 6、同一平面内两直线的位置关系： y=k1+b1,与y=k2+b2 7、坐标轴上点的特征： x轴上的点纵坐标为0即（a，0）； y轴上的点横坐标为0.即（0，b） 第五章数据的频数分布 1、定义：频数与频率关系频率=（）， 2、性质：各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1。 2、频数分布直方图：会读图，计算并将直方图补充完整。 补充辅助线作法 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，是虚线， 画图注意勿改变。如何添加辅助线？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
(全国通用版)201X-201x高中数学 第二章 函数 2.2.3 待定系数法练习 新人教B版必修1
2.2.3 待定系数法 课时过关·能力提升 1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点() A.(-2,-3) B.(3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2) 解析设反比例函数为f(x)= (k≠0), 则3=,k=-6,即f(x)=, 故其还经过点(3,-2). 答案C 2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点() A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-1,1) 解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1). 答案C 3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则() A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0). 因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上, 所以11=4a-1,解得a=3. 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11. 故a=3,b=-12,c=11. 答案D 4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为() A.1,2,3 B.1,-2,-3 C.1,-2,3 D.1,2,-3 解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,
∴ 解得a=1,b=-2,c=3. 答案C 5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2, 可得 解得 故f(x)= 令f(x)=x,解得x=2或x=-2. 答案B 6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为() A.-2 B.-1 C.- D. 解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0). 设f(x)=a(x-c)(x+2c), 则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c, 即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c. 故即ac=-,b=-. 答案C 7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为. 解析设一次函数为y=kx+b(k≠0), 则有解得
(完整版)因式分解-待定系数法
三．待定系数因式分解（整体思想） 1．分解因式：2235294x xy y x y +-++- 2．分解因式432435x x x x -+++ 3．若a 是自然数，且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。 4．分解因式 432227447x x x x ---+ 5．分解因式：4322x x x +++ 6．22282143x xy y x y +-++- 7．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？ 8．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。 9． 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。 10．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，那么A+B 等于多少？ 11．若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 12．已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 13．设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 14．若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。 15．设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 16．多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 17．已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 18．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 19． 多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。
用待定系数法确定函数解析式
19.3.3待定系数法确定函数的解析式 教学目标 1、待定系数法求一次函数的解析式。 2、学会利用一次函数解析式、性质、图象解决简单的实际问题。 情感目标 1、充分让学生合作探究，培养学生自主学习的能力。 2、理论联系实际，让学生充分体验数学知识与生活实际的联系，从而激励 学生热爱生活，热爱学习。 教学重点 让学生能在不同的条件下运用待定系数法求出一次函数的解析式，从而解决生活中的实际问题。 教学过程 一、旧知识回顾 让学生举出两个一次函数解析式，并说出如何画出这两个函数图象的画法：两点法 二、探索新知 1、师：我们知道已知两点可以确定一条直线，那么已知两点的坐标能否求出直线的解析式呢？ 热身准备： 已知正比例函数y= kx,(k≠0)的图象经过点（-2，4）. 求这个正比例函数的解析式． 例1已知:一次函数的图象经过点（3，5）与（-4，-9）,求出一次函数的解析式. 先由教师分析图象上的点的坐标与解析式之间的关系，让学生明确：图象上的点的坐标就是满足其解析式的一组对应值,即x=3时y=5,当x=-4时,y=-9。题目没有直接给出一次函数y=kx+b中，所以先要设出，一次函
数y=kx+b中有两个未定系数k,b.因为有两个未知数所以需找到两组对应值代入y=kx+b中，建立方程组，才能求出k、b的值。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b 把x=3,y=5；x=-4,y=-9分别代入上式得 3k+b=5 -4k+b=-9 解这个方程组得 k=2 b=-1 所以这个一次函数的解析式是y=2x-1。 2、教师引出待定系数法的概念。 这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数）再根据条件列出方程或方程组，求出自变量的系数，和常数b的值，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。 总结解题步骤：设（函数解析式）、列（方程或方程组）、解（方程或方程组）、写（写出函数解析式） 3、分类：求一次函数解析式常见的三种题型 （1）利用点的坐标求函数关系式 已知y是x的一次函数，当x=-1时y=3，当x =2 时y=-3，求y关于x 的一次函数解析式．求这个一次函数的解析式． （2）利用表格数据求出函数解析式 小明根据某个一次函数关系式填写了右表，其中有一格不慎被墨汁遮住了, 想想看，该空格里原来填的数是多少？
(完整版)待定系数法分解因式(附答案)
待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式 例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当 时，其值为10，求这个二次三项式。
利用待定系数法求函数解析式练习题
20.已知点A（ 1，）、B 、O（0,0），试说明A、O、B三点在同一条直线上。 22.为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示．分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的函数关系式； 23.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函数图象与y轴交于点Q（0，3）。 （1）求出这两个函数的解析式； （2）在同一个坐标系内，分别画出这两个函数的图象。 24..若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点，且过点(2,-6)，求此函数解析式25、某一次函数的图像与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点，求此函数的解析式. 26、已知直线y=kx+b在y轴上的截距为－2，且过点（－2,3）. （1）求函数y的解析式；（2）求直线与x轴交点坐标；（3）x取何值时，y＞0； 27、直线x-2y+1=0 在y轴上的截距为______． 28.一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是-3≤x≤6相应函数值的范围是-5≤y≤-2,求这个函数的解析式. 29. 一次函数y=kx+b的图象过点(-2,5)，并且与y轴相交于点P，直线y=-1/2x+3与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数解析式 30、正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为（3,4），并且OB＝5 （1）求△OAB的面积 （2）求这两个函数的解析式 3)3 ,1 (- -
6.一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（） 8.下面是y=k1x+k2与y=k2x在同一直角坐标系中的大致图象,其中正确的是( )