相似三角形的综合应用(培优提高)

D、 7.25 米
【同步练习】如图，有一路灯杆 AB( 底部 B 不能直接到达 )，在灯光下，小明在点 D 处测得自己 的影长 DF ＝3m ，沿 BD 方向到达点 F 处再测得自己得影长 FG ＝ 4m ，如果小明得身高为 1.6m ， 求路灯杆 AB 的高度．
-可编辑修改 -
。
-可编辑修改 -
（ 4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．
二、相似三角形的应用 :
1 、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）
；
2 、利用三角形相似，求线段的长等
3 、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高
度等．
【典型例题】
例 1 ：如图， △ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm ， 高 AD=80mm ， 要把它加工成 矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB 、 AC 上， （ 1 ）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
⑶ 当n
AN CM
时，恰有
ND AM
【同步练习】如图， DE 是 △ABC 的中位线， M 是 DE 的中点， CM 的延长线交 AB 于点 N ，则
S S △DMN ∶ 四边形 ANME =
例 4 ：如图，在 △ ABC 中， A 90°，BC 10，△ ABC 的面积为 25 ，点 D 为 AB 边上的任 意一点（ D 不与 A 、 B 重合），过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AC 于点 E ．设 DE x ，以 DE 为 折线将 △ ADE 翻折（使 △ ADE 落在四边形 DBCE 所在的平面内） ，所得的 △ A DE 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为 y ． （ 1）用 x 表示 △ ADE 的面积； （ 2）求出 0 x 5 时 y 与 x 的函数关系式； （ 3）求出 5 x 10 时 y 与 x 的函数关系式； （ 4）当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？
2 ），墙壁上
的影长为 1.2 米，落在地面上的影长为 2.4 米．
小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图
3 ），
测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，落在地面上的影长为 4.4 米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为 2.4 米，落在坡面上影长为 3.2 米（如图 4 ）．身高是 1.6m
。
相似三角形的应用
【学习目标】
1 、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2 、通过典型实例认识现实生活中物体的相似， 能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题 （如 何把实际问题抽象为数学问题） ．
【知识回顾】
一、相似三角形的性质
（ 1）对应边的比相等，对应角相等．
（ 2）相似三角形的周长比等于相似比． （ 3）相似三角形的面积比等于相似．比．的．平．方．． ．
-可编辑修改 -
。
A
D
E
A
B
C
B
A C
【同步练习】如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=2 ，BC=3 ，点 P 是 AD 边上的一动点（ P 异于 A、D）， Q 是 BC 边上的任意一点 . 连 AQ、DQ ，过 P 作 PE ∥ DQ 交 AQ 于 E，作 PF∥ AQ 交 DQ 于 F. （ 1 ）求证： △ APE ∽△ ADQ ； （ 2 ）设 AP 的长为 x，试求 △ PEF 的面积 S△ PEF 关于 x 的函数关系式， 并求当 P 在何处时， S△PEF
的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为
2m ．
-可编辑修改 -
。
图1
图2
图3
图4
（ 1）在横线上直接填写甲树的高度为 （ 2）求出乙树的高度（画出示意图） ．
米．
（ 3）请选择丙树的高度为（
）
A、 6.5 米
B 、5.75 米
（ 4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．
C、 6.05 米
（ 2 ）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？
-可编辑修改 -
。
A
P
ENLeabharlann Baidu
B
Q
DM C
【同步练习】如图， △ABC 是一块三角形余料， AB=AC=13cm ， BC=10cm ，现在要把它加工成正 方形零件，使正方形的一边在 △ ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方 形的边长是多少？
-可编辑修改 -
取得最大值 ?最大值为多少 ?
例 5 ：等腰 △ ABC ，AB=AC=8 ，∠ BAC=120 °，P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30 °角的透明三角 板，使 30°角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转． （ 1）如图 a ，当三角板的两边分别交 AB 、 AC 于点 E、 F 时．求证： △BPE ～ △CFP ；
。
例 3 ：如图，已知 AD 是 △ABC 的中线， M 是边 AC 上的一动点， CM =nAM ， BM 交 AD 于
N 点。
⑴ 如图 ① ，若 n 1 ，则 AN = ND
。如图 ② ，若 n
2 ，则
AN ND
=
。
如图 ③ ，若 n 3，则 AN =
。
ND
⑵ 猜想， AN 与 n 存在怎样的关系？并证明你的结论。 ND
例 2 ：阅读以下文字并解答问题：
在 “测量物体的高度 ”活动中，某数学兴趣小组的 4 名同学选择了测量学校里的四棵树的高
度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，甲树的影长为 4.08 米（如图 1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图
-可编辑修改 -
。
（ 2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于 点 E、 F．
① 探究 1：△ BPE 与△ CFP 还相似吗？（只需写出结论） ② 探究 2：连结 EF ， △BPE 与 △PFE 是否相似？请说明理由； ③ 设 EF=m ，△ EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S．