分形图形学

分形是一门几何学科,它研究的是欧氏空间的一类子集,但很难对它下一个确切 的定义.可以简单地说,如果一个对象的部分与整体具有自仿射变换关系,我们 就可以称它为分形.自分形之父曼德勃罗(Benoit Mandelbrot)在 1975 年出版 专著《分形对象:形,机遇与维数》,标志着分形理论正式诞生以来.分形已经 广泛应用于物理,化学,生物,医学,计算机科学等诸多领域,而本文着眼于分 形理论与计算机知识的结合. 因为分形图形有极强的艺术性,绘制得当,可以产生非常漂亮的图片,因此可以 用于装饰,包装,服装等需要艺术图案的场所.本文重点介绍了分形图形的重要 生成算法——逃逸时间算法, 并且详细说明了使用逃逸时间算法生成 Julia 集与 Mandelbrot 集的算法过程.另外,本文也详细说明了分形图形的一种着色方案, 它可以使分形图形的着色过程更富有过渡性,从而使图形具有更强的美感.本文 还详细说明了分形图形在计算机图形学相关理论上的应用, 比如分形图形的矢量 移动,旋转,缩放,以及对分形图形进行相关特殊变换,此外,还可修改图形的 参数,修改图形的颜色等等.本文还涉及了元胞机自动图案的生成以及 Gumowski-Mira 分形,生成了经典的三翅鹰图形,并且实现了对其色彩的编辑功能. 因为分形图形展示的是数学与艺术的成果,它日益受到人们的重视,甚至引发了 分形是不是艺术的讨论,随着时间的流逝,分形是一种艺术已经为人们所承认, 分形与计算机的结合也越来越紧密,计算机图形学中已经专门引入了分形算法, 以生成自然景观等.另外,分形在其它学科的应用也日益广泛,可见,分形在今 后会得到更大的发展,有更广阔的应用空间

人们谈论分形，常常有两种含义。其一，它的实际背景是什么？其二，它的确切定义是什么？数学家研究分形，是力图以数学方法，模拟自然界存在的、及科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。在过去的几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探、乃至股价的预测等方面都得到了广泛的应用或密切的注意，并且由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。数学上所说的分形，是抽象的。而人们认为是分形的那些自然界的具体对象，并不是数学家所说的分形，而是不同层次近似。

1985年，曼德布劳特获得Barnard奖章。这项奖励专门颁发给那些在物理科学或者其它自然科学中有重大贡献、有重大影响的人物。在每五年一次的获奖者名单中，有爱因斯坦、费米这样一批享誉世界的科学家,可见曼德布劳特的分形研究在科学上的地位和影响。1995年应中国科学界的邀请，曼德布劳特访问中国并进行演讲。

分形图形同常见的工

程图迥然不同，分形图形一般都有自相似性，这就是说如果将分形图形的局部不断放大并进行观察，将发现精细的结构，如果再放大，就会再度出现更精细的结构，可谓层出不穷，永无止境。艺术家在分形画面的不同区域涂上不同的色彩，展现在我们面前的，将会是非常美丽的画面。请看图1，这里显示的几幅画面，是在计算机上完成的（由研究生王方石提供），它们是典型的分形，称之为Mandelbrot集合和Julia集合，在后面的章节中我们将较详细地介绍这两个集合的数学结构。

几乎在曼德布劳特获得Barnard奖章的同时，以德国布来梅大学的数学家和计算机专家H.Peotgen与P.Richter等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案；J. Hubbard等人还完成了一部名为《混沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片、甚至T恤衫纷纷出笼。80年代中期开始，首先在西方发达国家，接着在中国，分形逐渐成为脍炙人口的词汇，甚至连十几岁的儿童也迷上了计算机上的分形游戏。我国北京的北方工业大学计算机图形学小组于1992年完成了一部计算机动画电影《相似》，这部电影集中介绍了分形图形的相似性，这也是我国采用计算机数字技术完成的第一部电影，获得当年电影电视部颁发的科技进步奖。

更多的人陶醉于分形，并非出自科学，而是倾心于分形之美。数学上的审美很难为一般人所理解：一大堆数字、公式、符号怎么体现出来呢？然而，计算机能让数学的某些内在的美直观呈现出来，给出其形式化的表达。分形作为一类例证，为数学理论与实践中所蕴涵的美，给出了一类精彩的注记。充分反映了数学科学中的简单、和谐、统一的内涵！

其实对分形的理解并没有那么神奇。可以说，虽然曼德布劳特硬是制造了分形（fractal）这个名词，是个新鲜的事情，但是，分形所反映的内容本身，其苗头确实古已有之。如前所叙述的那样，分形的重要来源，是数学上的思考，属于科学研究的产物，常常是某种离散动力系统参数分布的图示。因为表现这种参数分布须借助计算机的计算和处理；而作为处理的结果，这类图示观看起来是那么的漂亮、琢磨下去又是那么的含蓄，于是它的影响远远超出了数学的领域。分形不仅引起科学家们的注意，而且在艺术界造成了轰动。社会学家从人文的角度，分析与演绎分形的哲理；艺术大师们，以审美的观点，推崇与渲染分形的艺术特征…。

一方面，从来不以科学内容本身为主题的艺术创作，现在也大量引用“动力系统”、“迭代逼近”、“混沌吸引子”等科学术语，进而

极力采用计算机绘图手段，创造出无比神奇的作品。由这一点出发，可以说，艺术家已经开始漫步于科学领地！

另一方面，一向以严肃表情面向读者的科学著作一反常态，书名也竟然浪漫起来：《The Beauty of Fractals》(分形之美)(1986),《Fractals Everywhere》(分形处处可见),《The Algorithmic Beauty of Plants》(植物算法中的美)(1990), ….大量精美的、显示分形的科学挂图，乔装打扮，在美术馆展厅登场，接受艺术鉴赏家的评头论足，科学家也从此跨入了神圣的艺术殿堂！

分形之美，往往须经计算机的处理才能表现出来的。今天，人们可以在网络上，浏览与欣赏各种不同风格的分形作品，有的针对科学研究中要表达的一些特别的对象，有的则完全是艺术。网络天地会给你提供许多、美妙惊奇的分形图画，令你心犷神怡，也有时令你眼花缭乱。现在就让我们步入分形的艺术世界，欣赏分形之美

参考文献：分形理论在计算机图形学中的应用