八年级数学上册全套讲解-带答案

第十一章三角形

11．1与三角形有关的线段

11．1.1三角形的边

1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题．

2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系．

重点：三角形的三边之间的不等关系．

难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形．

一、自学指导

自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．

(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．

(3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．

(4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．

点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形．

自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟)

总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)

1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△，读作“三角形”，它的边分别是，，(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C．

点拨精讲：三角形的边也可以用边所对顶点的小写字母表示．

2．图②中有5个三角形，分别是△，△，△，△，△，以E为顶点的三角形是△，△，△，以∠D为角的三角形是△，△，以为边的三角形是△，△．

3．下列长度的三条线段能组成三角形的有②：①3，4，11；②2，5，6；③3，5，8.

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

探究1一个等腰三角形的周长为28.

(1)已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；

(2)已知其中一边的长为6，求其他两边的长．

解：(1)设底边长为x，则腰长为3x，依题意得2×3x＋x＝28，解得x＝4，3x＝12，∴三边长分别为4，12，12.

(2)设另一边长为x，依题意得，当6为底边时，2x＋6＝28，∴x＝11；当6为腰长时，x ＋2×6＝28，∴x＝16.∵6＋6＜16，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为6的等腰三角形，∴其他两边的长为11，11.

探究2某同学有两根长度为40，90的木条，他想钉一个三角形的木框，那么第三根应该如何选择？(40，50，60，90，130)

解：设第三根木条长为x，依题意得90－40＜x＜40＋90，∴50＜x＜130，∴第三根应选60或90.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．图中有6个三角形，以E为顶点的三角形有△，△，△；以为边的三角形有△，△，△．

2．下列长度的三条线段能组成三角形的是C．

A．3，4，8B．5，6，11C．2，4，5

3．等腰三角形一条边等于3，一条边等于6，则它的周长为15．

点拨精讲：注意三角形三边关系．

(3分钟)(3分钟)1.等边三角形是特殊的等腰三角形．

2．在进行等腰三角形的相关计算时，要注意分类思想的运用，同时要注意运用三角形三边关系判断所求三条线段长能否构成三角形．

3．已知三角形的两边长，可依据三边关系求出第三边的取值范围．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

11．1.2三角形的高、中线与角平分线

1．了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念．

2．掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点．

重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达．

难点：钝角三角形的高的画法．

一、自学指导

自学1：自学课本P4页，掌握三角形的高的画法，完成下列填空．(4分钟)

作出下列三角形的高：

如图①，是△的边上的高，则有∠＝∠＝90°．

总结归纳：三角形的高有3条，锐角三角形的三条高都在三角形的内部，相交于一点，直角三角形的三条高相交于三角形的直角顶点上；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．自学2：自学课本P4－5页，掌握三角形的中线的画法，理解重心的概念，完成下列填空．(5分钟)

作出下列三角形的中线，回答下面问题：

如图①，是△的边上的中线，则有＝＝；

总结归纳：三角形的中线有3条，相交于一点，且在三角形的内部，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

取一块质地均匀的三角形木板，试着找出它的重心．

自学3：自学课本P5页，掌握三角形的角平分线的画法，理解三角形的角平分线与角的平分线的区别，完成下列填空．(3分钟)

作出下列三角形的角平分线，回答下列问题：

如图①，是△的角平分线，则有∠＝∠＝∠；

总结归纳：三角形的角平分线有3条，相交于一点，且在三角形的内部．三角形的角平分线是线段，而角的角平分线是射线．

点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线都是线段．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)

完成课本P5页的练习题1，2.

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)

探究1如图，在△中，是中线，是角平分线，是高，则：

(1)∵是△的中线，∴＝＝；

(2)∵是△的角平分线，∴∠＝∠＝∠；

(3)∵是△的高，∴∠＝∠＝90°；

(4)∵是△的中线，∴＝，又∵S△＝·，S△＝·，∴S△＝S△.

点拨精讲：三角形的高、中线和角平分线的概念既是性质，也可以做为判定定理用．

探究2如图，△中，＝2，＝4，△的高与的比是多少？

解：∵·＝·，＝2，＝4，∴＝2，∴∶＝1∶2.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

1．三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是(C)

A．直线B．射线

C．线段D．射线或线段

2．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(B)

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

3．能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是(D)

A．中线B．高

C．角平分线D．以上都正确

4．如图，D，E是边的三等分点：

(1)图中有6个三角形，是三角形中边上的中线，是三角形中边上的中线，＝＝＝，＝＝；

(2)S△＝S△＝S△＝S△；

(3)S△＝S△＝S△．

(1分钟)

1．三角形的高、中线和角平分线都是线段．

2．三角形的高、中线和角平分线的概念既可得到角与线段的数量关系，也可做为判定三角形高、中线和角平分线的判定定理．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

11．1.3三角形的稳定性

通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的应用．

重、难点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.

一、自学指导

自学：自学课本P6－7页，掌握三角形的稳定性及应用，完成下列填空．(5分钟)

将准备好的木条做成的三角形木架、四边形木架取出进行操作并观察：

(1)如图①，扭动三角形木架，它的形状会改变吗？

(2)如图②，扭动四边形木架，它的形状会改变吗？

总结归纳：由上面的操作我们发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．

(3)如图③，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．想一想其中的道理是什么？

总结归纳：三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)

1．课本P7页练习题第1题．

2．请例举生活中关于三角形的稳定性与四边形的不稳定性的应用实例．

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)

探究1要使四边形不变形，最少需要加1条线段，五边形最少需要加2条线段，六边形最少需要加3条线段……n边形(n＞3)最少需要加(n－3)条线段才具有稳定性．

点拨精讲：过一点把一个多边形分成若干个三角形最少需要几条线段．

探究2等腰三角形一腰上的中线将此等腰三角形分成9，15两部分，求此等腰三角形的周长是多少？

解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，依题意得，当x＞y时，解得当x＜y时，解得∵6＋6＝12，不符合三角形的三边关系，故舍去．∴此三角形的周长为10＋10＋4＝24()．答：此等腰三角形的周长为24.

点拨精讲：此题用到分类思想，同时要考虑三角形的三边关系．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)

1．课本P9页第10题．

2．下列图形具有稳定性的有(C)

A．梯形B．长方形

C．三角形D．正方形

3．体育馆屋顶的横梁用钢筋焊出了无数个三角形，是因为：三角形具有稳定性．

4．已知，分别是△的中线、高，且＝5，＝3，则△与△的周长之差为2；△与△的面积关系是相等．

5．如图，D是△中边上的一点，∥交边于E，∥交边于F，且∠＝∠.求证：是△的角平分线．

证明：∵∥，∥，∴∠＝∠，∠＝∠，又∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴是△的角平分线．

(1分钟)

三角形的稳定性与四边形的不稳定性在日常生活中非常常用．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(12分钟)

11．2与三角形有关的角

11．2.1三角形的内角(1)

1．会用不同的方法证明三角形的内角和定理．

2．能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题．

重点：三角形内角和定理的应用．

难点：三角形内角和定理的证明．

一、自学指导

自学1：自学课本P11－12页“探究”，掌握三角形内角和定理的证明方法，完成下列填空．(5分钟)

归纳总结：三角形内角和定理——三角形三个内角的和等于180°．

已知：△．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．

点拨精讲：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线．作辅助线是几何证明过程中常用到的方法，辅助线通常画成虚线．

证明：延长到点D，过点B作∥，∵∥，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∵∠1＋∠2＋∠＝180°，∴∠A＋∠＋∠C＝180°．

自学2：自学课本P12－13“例1、例2”，掌握三角形内角和的应用．(5分钟)

你可以用其他方法解决例2的问题吗？

点拨精讲：可过点C作∥，可证得∥，同时将∠分成∠与∠，求出这两个角的度数，就能求出∠.

解：过点C作∥，∵∥，∴∥，∵∥，∥，∴∠＝∠＝50°，∠＝∠＝40°，∴∠＝∠＋∠＝50°＋40°＝90°，∵∠＝∠－∠＝80°－50°＝30°，∴∠＝180°－∠－∠＝180°－30°－90°＝60°.

答：从B岛看A，C两岛的视角∠是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠是90°.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)

完成课本P13页的练习题1，2.

点拨精讲：仰角是当视线在视平线上方时视线与视平线所夹的角．

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(7分钟)

探究1①一个三角形中最多有1个直角；②一个三角形中最多有1个钝角；③一个三角形中至少有2个锐角；④任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为60°．为什么？

点拨精讲：三角形的内角和为180°.

探究2如图，在△中，与交于点G，与的延长线交于点F，∠B＝45°，∠F＝30°，∠＝70°，求∠A的度数．

解：在△中，∠＝180°－∠－∠F＝180°－70°－30°＝80°，∴∠＝180°－∠＝180°－80°＝100°，在△中，∠A＝180°－∠B－∠＝180°－45°－100°＝35°.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)

1．课本P16页复习巩固第1题．

2．在△中，∠A＝35°，∠B＝43°，则∠C＝102°．

3．在△中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°．4．在△中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△是什么三角形？

解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠A ＋3∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△是直角三角形．

(3分钟)(3分钟)为了说明三角形的内角和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法．

(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)

(10分钟)

11．2.1三角形的内角(2)

1．掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性质与判定．

2．能运用直角三角形的性质与判定解决实际问题．

重、难点：理解和运用直角三角形的性质与判定．

一、自学指导

自学：自学课本P13－14页，掌握直角三角形的表示方法及其性质，完成下列填空．(5分钟)

总结归纳：(1)直角三角形可以用符号“△”表示，直角三角形可以写成△．

(2)直角三角形的两个锐角互余．

(3)有两个角互余的三角形是直角三角形．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟)

1．在△中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，求出∠A，∠B的度数．

解：△中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．

∵∠A＝2∠B，∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°，∠A＝60°.

2．如图，∠＝90°，⊥，垂足为D，∠与∠B有什么关系？为什么？

解：结论：∠＝∠B.

理由如下：在△中，∠A＋∠B＝90°，在△中，∠A＋∠＝90°，∴∠＝∠B.

点拨精讲：利用同角的余角相等可以方便地证出两角的相等关系．

3．如图，∠C＝90°，∠＝∠B，△是直角三角形吗？为什么？

解：结论：△是直角三角形．

理由如下：在△中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角相等)．

∵∠＝∠B，∴∠A＋∠＝90°，∴△是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)．

小组讨论交流解题思路，小组活动后选代表展示活动成果．(10分钟)

探究1如图，∥，，分别平分∠，∠.求证：△是△.

证明：∵∥，∴∠＋∠＝180°，∵，分别平分∠，∠，∴∠＝∠，∠＝∠，∴∠＋∠＝∠＋∠＝90°，∴△是△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．

探究2如图，在△中，∠C＝90°，，是∠，∠的角平分线，求∠D的度数．

解：在△中，∠＋∠＝90°，

∵，是∠，∠的角平分线，∴∠＝∠，∠＝∠，∴∠＋∠＝∠＋∠＝45°，在△中，∠D＝180°－(∠＋∠)＝180°－45°＝135°.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．在△中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形．

2．如图，在△中，∠＝90°，∠＝∠B.

求证：△是△.

证明：在△中，∠A＋∠B＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．

∵∠＝∠B，∴∠A＋∠＝90°，∴△是△(有两个角互余的三角形是直角三角形)．

(3分钟)(3分钟)1.直角三角形的性质：两个锐角互余．