2012华中科技大学考研数学分析

2012年华中科技大学数学分析考研真题

一，(1) 求极限

lim x →+∞1(1−1)。

(2) 设x 1=√2,x n +1=√n 。证明{x n }收敛且求极限。

二，求下列曲线围成的在第一象限的面积，

y =x 2,2y =x 2,xy =1,xy =2。三，求下列圆环的质量，x 2+y 2+z 2=1

x +y +z =0¿，其中

ρ(x ,y ,z )=(x −1)2+(y −1)2+(z −1)2。

四，展开f (x )=∣cos x ∣

为[−π,π]上的傅立叶级数。五，求幂级数

∑n =0∞(n +1)x n n !的收敛域与和函数。

六，已知∑1∞a n 为发散的正项级数，

S n 为其部分和，用Cauchy 收敛原理证明∑1∞a n s n 发散。七，已知

f (x )在[0,+∞]上连续，lim x →+∞f (x )存在且有限，证明f (x )在[0,+∞]上有界。

八，已知反常积分∫1+∞f (x )dx 收敛，证明含参变量反常积分

I (y )=∫1+∞x y f (x )dx 在[0,1]上一致收敛。

九，已知Ω为三维空间中的有界区域，Ω的边界为分片光滑的曲面，n →为外法向量，u (x ,y ,z )在Ω上二阶连续可偏导。求证：

∭Ω(∂2u ∂x 2+∂2u ∂y 2+∂2u ∂z 2)dx =∬∂Ω∂u ∂n

ds 十，f (x )在[0,1]上二阶连续可导，证明：

max x ∈[0,1]

∣f '(x )∣⩽∣f (1)−f (0)∣+∫01∣f ''(x )∣dx

2012华中科技大学高等代数

一，已知D=∣11⋯11⋯1⋱⋮1∣，求D的所有代数余子式之和。

二，已知A为实矩阵，证明rank A'A=rank A=rank AA'.

三，已知P=(A I I I)，证明P可逆的充要条件是I−A可逆。并在已知(I−A)−1已知的情况下求P(−1).

四，已知A,B,C,D为V上的线性变换，且两两可交换，并有AC+BD=E证明：kerAB=kerA+kerB，且和为直和。

五，已知A为全1阵，

(1)求A的特征多项式与最小多项式。

(2)证明A可对角化，并求P，使得P−1AP为对角阵。

六，求正交变换化xy+yz+zx=1为标准方程，并指出曲面类型。

七，已知A,B对实对称矩阵

(1)若A,B正定，AB=BA，证明AB也正定。

(2)若A,B半正定，证明A+B也半正定，若还有A正定，证明A+B也正定。

八，V为实数域上的2n+1维空间，f,g为V上的线性变换，且fg=gf，证明存在λ,μ∈R,v∈V使得 f(v)=λv,g(v)=μv。