《初等数论》期末考试A卷(闭卷)

《初等数论》期末考试A卷（闭卷）

一、填空

1、8

2、完全

3、0,1,2,3,4,5,6

4、28

5、

6、28

7、33个

8、x=2mn

y=m^2-n^2

z=m^2+n^2

二、

三、

(1)

a=3k(k∈Z)时，

a^2+a=a(a+1)=3k(3k+1).

3|(a^2+a),

∴a^2+a≡0(mod3).

(2)

a=3k+1(k∈Z)时,

a^2+a+1=3(3k^2+3k+1).

3|(a^2+a+1),

∴a^2+a+1≡0(mod3).

(3)

a=3k+2(k∈Z)时,

a^2+a=3(k+1)(3k+2).

3|(a^2+a),

∴a^2+a≡0(mod3).综上，对任意整数a，a^2+a+1≡0(mod3)或a^2+a≡0(mod3)四、

五、

六、显然m是公倍数

假设不是最小

则设最小公倍数是p

且m=kp

k>1

设p/a1=q1

p/a2=q2

……

pn/an=qn

则m/a1=kq1

m/a2=kq2

……

mn/an=kqn

这样则m/a1,m/a2,……,m/an不是互素，因为有大于1的公倍数k 和已知条件矛盾

所以假设错误

所以m是最小公倍数