《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ?

??????=n n n

n S 100

,

,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录

抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： {

} ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选

举的结果。

解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB

表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次

品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察

装球的情况。

解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放

在盒子A 中，余者类推。

（10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S

（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的

长度。#

2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC

（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A

（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ?? （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ??

（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. #

3. 设{

}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ；

（2）B A ?。 解： {

}10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ；

（4） BC A 。 解： {}10,9,8,7,6,5,1=BC A

（5）)(C B A ?。 解： {}10,9,8,7,6,5,2,1)(=?C B A . #

4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，??????<≤=234

1

x x B ，具体写出下列各式。

（1）B A ?。 解： ?

???

??

≤≤??

??

?

??

≤≤=?223410x x

x x B A （2）B A ?。 解： ?

?????≤≤?????

??

≤≤??

??

?

??

<≤=?223121410x x x x

x x B A （3）B A 。 解： {}φ=B A （4）B A 。 解：?

??

???≤

≤≤=2312141x x x x

B A . #

5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ，

B ，

C 至少有一个发生的概率。

解：由题意可知：0)(=ABC P ，故()()()()85

)()()()(=+---++=??ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。

或 φ=??B C A )( ，∴()()()()8

5

)()()())((=+-+=+?=??=??B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。#

6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。

解：（1）???

?

?????

?

???????? ??????

??2001500110110090400； （2） 设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：

???

? ????

??

???????? ?????? ??-???? ?????? ??-=--=∑

=2001500

1991100140020015002001100

1)1()0(1)(200

2

P P k P k . #

7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：（1） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，某指定房间

中至少有一人的概率。

设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有

()k

n k n

k n N N N k n N N k n k P --??? ??-??? ?????? ??=???

?????-???? ??=111)(。故，某指定房间中至少有一人的概率为：

n

n k N N P k P ???

??--=-=∑

=11)0(1)(1

。

所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：

74634.025366.013653641500

=-=?

?

?

??-

（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，至少有二个

人在同一间房中的概率。

设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：n N 。

“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：

!

n)(N !

N -。

所以，“至少有二个人在同一间房中的概率”等于“至少有二个人的生日在同一个月的概率”。 0.42710.5729112

4-(12!12114

=-=-=--！）n N !n)(N !N 。 #

8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求

第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 解：（1） 1052

6789101234634=?????????

??? ??；或1052

!6!4!10!3!441034=??? ?

???? ??=???? ?????

? ??； （2） 52

9106634=???

?

??????

?????? ??。 #

9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一

事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及

)(B A P ?。

解： 7.04.028.0===

P(B)P(AB)P(A/B)；704

028

0...P(A)P(AB)P(B/A)== 5202804040....P(AB)P(B)P(A)B P(A =-+=-+=?。 #

10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概

率。

（1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。

（3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。

解： (1) 4528

106!2!

2!8!821028=????=???

?

??????

??！！； (2) 451

10

!2!821022=?=???? ?????? ??！； (3) 451610!2!8282101218=???=???

? ????? ?????? ??！；或45169810292108=?+?； (4)

45

9

9110292108=

?+?。 #

11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率

是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

解：(1) 3.010!

7!37!2!!

931029=???=????

?????

??！; (2) 6.05!

2!32!2!!

43524=???=???

?

?????? ??！。 #

12. 某工厂中，机器321,,B B B 分别生产产品总数的25%，35%和40%。它们生产的产品中分别有5%，4%，2%

的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一只产品，发现是次品。问这一次品是机器321,,B B B 生产的概率分别是多少？ 解：设A 为“次品”，

已知：25.0)(1=B P ，35.0)(2=B P ，40.0)(3=B P ；

05.0)/(1=B A P ，04.0)/(2=B A P ，02.0)/(3=B A P ，

0345.040.002.035.004.025.005.0)()/()(3

1

=?+?+?==

∑=j j

j

B P B A P A P 。故由，

)

()

()/()/(A P B P B A P A B P i i i =

可得：

36232.06925

0345.025.005.0)()()/()/(111≈=?==

A P

B P B A P A B P ；

40580.06928

0345.035.004.0)()()/()/(222≈=?==A P B P B A P A B P ；

23188.069

16

0345.040.002.0)()()/()/(333≈=?==

A P

B P B A P A B P 。 #

13. 将二信息分别编码为A 和B 传送出去，接收站接收时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的

概率为0.01。信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？

解：设：B A '',分别表示收到信息是A 和B 。由已知条件可知:

020./A)B P(='，010./B)A P(='，980./A)A P(='，990./B)B P(='32/P(A)=，31/P(B)=。

300/197='+'='/A)A P(A)P(/B ）A P(B)P(

)A P( 9499.07

9196

1)()/()()/(==''='∴A P A A P A P A A P 。 #

14. 如图所示1，2，3，4，5，6表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电器接点

闭合与否相互独立。求L 至R 连通的概率是多少？

L

R

解: ]6543231[)()()(P ??????

)P()

P()P()P()

P()P()P()

P()P()P()P()P()P()P()P(6542316543265431652314231654653243265314312316543231?????-????+????+????+???+??-???-??-???-??-??-?++?+?= 6542343p p p p p -+-+=。 #

15. 对飞机进行三次独立的射击，第一次射击的命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7。飞机击中一

次而被击落的概率为0.2，击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次则飞机必然被击落，求射击三次而击落飞机的概率。

解: 设i A ：为第i 次射击命中飞机；i B ：飞机击中i 次而被击落。C ：射击三次而击落飞机

[]

+++=)()()()()(3213213211A P A P A P B P C P

[])()()()()()(32133213213212A A A P B P A A A P A A A P A A A P B P +++

458.014.0246.0072.014.0)21.014.006.0(6.0)21.009.006.0(2.0=++=++++++=。 #

16.

一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取三只。以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的概率质函数。

解： ???

?

???

??

?

??-=3521x x p

17. (1) 设随机变量X 的概率质函数为!

}{k a k X P k

λ==，0,,2,1,0>=λ k 为常数，试确定常数a 。

（2）设随机变量X 的概率质函数为N

a

k X P =

=}{，1N ,,2,1,0k -= ，试确定常数a 。 解： （1）1!!}{0

=====∑∑∑∞

=∞

=∞

=λλλae k a k a k X P k k

k k

k

， λ-

=∴e a

(2) 1N

a

*N N a }k X {P 1

N 0

k 0

k ====∑

∑-=∞=

， 1=∴a 。 # 18.

设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5

次独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2

）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。

设：n X X X Y +++= 21，则k

k k K Y P -?????

? ??==57.03.0}{。

（1）5=n 时，16308.07.03.05)3(55

3=?????

? ??=≥-=∑k k k k Y P （2）7=n 时，353.07.03.07)3(7

37=?????

? ??=≥∑

=-k k k k Y P 。 # 19.

一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率。（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

解: 参数为4的泊松分布为：!4}{4

k e k X P k -?==， ,2,1,0=k 。 故，

(1) 02977.0!8*4}8{4

8===-e X P ； (2) ∑

===-=≥10

00284350.0}{1}10{k k X P X P 。 # 20.

设随机变量X 的分布函数为

????

?<≥-=-.0,

0,

0,1)(x x e x F x 求}3{},2{>≤X P X P ， （2）求概率密度)(x f 。

解：（1）8647.01)2(}2{2=-==≤-e F X P

（2）04979.0)3(1}3{=-=>F X P (3) ????

?≤≥='=-0

,

0,

)()(x x e x F x f x 。 #

21. 一工厂生产的电子管的寿命X （以小时计）服从参数为160=μ，σ的正态分布，若要求

80.0}200120{≥≤

解： ]2)160(exp[21

)(222σπσ

--=x x f 80.05.0]2exp[212]2exp[21]2)160(exp[21}200120{2

/402

/40/4022

200

120

2≥??

???

?--

=-

=

--=

≤<∴?

?

?

∞

--dy y

dy y

dx x x P σ

σ

σ

π

πσπσ

即，

9.0]2exp[21

2/40≥-?

∞

-dy y σ

π, 查表可得： 28.140

≥σ

25.31max =∴σ。 #

22

．设随机变量求X Y =的概率质函数。

解：由2X Y =可知：}9,4,1,0{=Y

S 。故有

23. 设X 的概率密度为

???

??<<=其它,

00,2)(2

ππx x

x f ，求sinX Y =的概率密度。 解：1sin 0,0<=<<

Y

X arcsin arcsin π。

又}arcsin {}arcsin 0{}sin {)(ππ<<-+≤<=≤==X y P y X P y X Y P y F Y

y dx x

dx x

y

y

arcsin 2

22arcsin 2

arcsin 0

2

π

ππ

π

π=+=

?

?

-， 10<

??

?

??<<-='=∴

其它

,

010,112

)()(2

y y

y F y f Y Y π

。 #

24. 设概率变量（X ，Y ）的概率密度为

??

???≤≤≤≤+=其它.020103

2,,

y ,x ,xy x )y ,x (f 求}1{≥+Y X P 。 解： ??

??-=

=

≥+1

2

11dx ]dy )y ,x (f [

dydx )y ,x (f }Y X {P x

Ω

dx )y x

y x (dx ]dy )xy x ([x

x ?

??

--+=+=1

02

122

102

12

6

3

72

65

4

1942452134651

2

341

023=

++=++=?

x x x dx )x x x (。 # 25. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

???≤≤=其它.,0,10,1)(x x f X ?????≤>=-.

000)(y ,,

y ,e y f y Y

试求随机变量Z=X+Y 的概率密度。

解： ????

?

????<-≤≤≤≤Ω>-≤≤≤≤Ω≤≤=??

??

ΩΩ,0,0)0,10(,1,),()

0,0(,10,),()(21

21z x z y x z dxdy y x f x z y z x z dxdy y x f z F z ???

????<>--=??

????≤≤+-=??????=------????,

0,0,1),1e (1,10,110000z z e dx dy e z e z dx dy e z x

z y z z

x z y

??

?

??<>-≤≤-='=∴--.0,0,

1,)1(,10,1)()(z z e e z e z F z f z z z z 。 #

26. 设概率变量（X ，Y ）的概率密度为

),2exp(21),(2

222

σ

πσ

y x y x f +-

=

+∞<<∞-+∞<<-∞y x ,。

求22Y X Z +=的概率密度。 解：??

??≤+≤++-

==

z

y x z

y x Z dxdy y x dxdy y x f z F 2222)2exp(21

),()(2

222

σπσ

z y x ≤+22是以原点为中心，z 为半径的圆域。且0>z ，故0

令θθsin ,

cos r y r x ==，则

)2exp(1)2exp()2()2exp()2exp(21)(20

20

22

2220

22

2

σσσθσπσπ

z

r r d r d rdr r z F z

z

z

Z --=--=-=

???

?

???

?-=

?

??

??

???<≥-

==

∴0,00),2exp(21

)()(2

2'

z z z z F z f Z

Z σσ。 # 27. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从)20,160(2N 分布，随机地选取4只，求其中没有一

只寿命小于180 小时的概率。

解： 设k X 为取出的第k 只管子的寿命，故，

?

?

∞

-∞

-=--=?--

=

1

2

2

2180

0.8413y )2y exp(21

20

)160()20

2)160(exp(2201)180(d x y dx x F k X ππ

令

令),,,m in(N 43214X X X X =。因为}{k X 相互独立，且同分布，所以，

[]{}[

]

444min 44)1597.0()180(1)180(111)180(1}180{1}180{=-=---=-=≤-=>k k X X F F F N P N P 。 ##

28. 设随机变量X 的概率质函数为

求)(),(),(53X E X E X E +。

解：2.03.023.004.02)(-=?+?+?-=X E ，

8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ， 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E 。 #

29. 设X 服从二项分布，其概率质函数为

{}.10.,,2,1,0,)1(<<=-???

? ??==-p n k p p k n k X P k

n k 求)(X E 和)(X D 。

解：∑

∑

=-=-???

? ??=

==

n

k k

n k n

k p p k n k k X kP X E 00)1(}{)( np

p p np p p k k n n n n np

p p k k n n n n k

n n

k k n k n

k k

n k

=-+=-------=-----=

-=----=-∑

∑10

)1()1(1

)1()1(!

)1()]2()1[()2)(1()1(!

)]1([)2)(1(

∑

=-+-???? ??-=+-=+-=n

k k

n k np p p k n k k X E X X E X X X E X E 0

2)

1()1()

()]1([])1([)(

np

p n n np p p p n n np

p p k k n n n p

n n n n

k k n k +-=+-+-=+--------=-=----∑

2220

)2()2(2

2

)1()1()1()1(!)2()]3()2[()3)(2()1( [])1()1()()()(22222p np p n np p n n X E X E X D -=-+-=-=。 #

30. 设X 服从泊松分布，其概率质函数为

{}.0,,2,1,0,!

>==

=-λλλ

k k e k X P k 求)(X E 和)(X D 。

解： λλλλλλλλ

λ=?=-==

-

∞

=--∞

=-∑∑e e k e

k e k

X E k k k k 1

1

!)1(!

)(，

λ

λ

λλλλλλ

λ+=+-=+-=

+-=+-=∑∑∞

=--∞

=-2

2

2

20

2!)2(!

)

1()

()]1([])1([)(k k k k k e

k e k k X E X X E X X X E X E

[]λλλλ=-+=-=2222)()()(X E X E X D 。 #

31. 设X 服从均匀分布，其概率密度函数为

?????<<-=，

其它0,,1)(，b x a a b x f 求)(X E 和)(X D 。

解： 2

1)(b

a dx a

b x

X E b

a

+=

-=

?

， []()1221)()()(22

2

2

2

a b b a dx a b x X E X E X D b

a

-=??

?

??+--=

-=?

。 # 32. 设X 服从正态分布，其概率密度函数为 ()+∞<<∞->???

?????-=x x f ,02-x exp 21

)(2

2σσμσπ，。 求)(X E 和)(X D 。 解： ()?

∞+∞-???

?????-=dx x X E 222-x exp 21)(σμσπ， 令t x =-σμ

，则 ()

μ

ππ

μ

πμ

μσπμσπ==

-=

????

????-+=

????????-+=

?

?

?

∞

+∞

-∞

+∞-∞

+∞-222/exp 22exp )(21

2exp )(21

)(222dt t dt t t dx t t X E

其中，)2/exp()(2

t t t f -=为奇函数，故

0)2/exp(2?

+∞

∞

-=-dt t t ；

而

()

()

()π22

1

2exp

2

2

/2/exp 2

2/exp 0

1

21

20

22==

-=-=-?

?

?

∞

+-∞

+∞

+∞

-)Γ(

dy y y t y dt t dt t ()παα=Γ-=Γ?

+∞

-)21

(,exp )(01dx x x 。 ()?

∞+∞-???

?????--=

dx x X D 222

2-x exp )(21)(σμμσπ （令t x =-σμ）

(

)

(

)

22

2

2

/22

2

2

222/exp 22/exp 22σππσπσπ

σ==??

???

?

-+-=

-=

?

?

+∞

∞-+∞∞

--+∞

∞

-dt t te dt t t t 。 #

33. 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4。将球独立地，随机地放入4只盒子中去。以X 表示

其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第二号盒子是空的，第三只盒子至少有一只球），试求E [X]，D[X]。

解：因为3球独立放入4盒的总放法有43=64种。 按题意，

X=4时的放法有13

3=C 种，故64/1)4(==X P ；

X=3时，放入3#盒后，余下的球必放入4#盒。其的放法有

71333

32313=++=++C C C ，故64/7)3(==X P ；

X=2时，放入2#盒后，余下的球必放入3#和4#盒。其的放法有

3

3

11012322120213][][C C C C C C C C +++++ 191]11[3]121[3=+++++=种，故64/19)4(==X P ；

X=1时，放入1#盒后，余下的球必放入2#，3#和4#盒。其的放法有

3

3

1111010123221202122212020213])([])()([C C C C C C C C C C C C C C C +++++++++ 371]1)11[(3]1)11(2)121[(3=+++++++++=种，故64/37)4(==X P ；

1625

64146473641926437)(][4

1

=

?+?+?+=

==

∴∑

=i i X iP X E 。 16

48

641166479641946437)(][4

1

2

2

=

?+?+?+=

==

∑=i i X P i

X E ， 5586.016143

16251648][][][2

222

2

≈=-=-=∴X E X E X D 。 #

34. 对于任意两个随机变量X ，Y ，证明下式成立：

（1） ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+； （2） )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。

证： []{}[][][][]{

}

)()(2)()()()()(222Y E Y X E X Y E Y X E X E Y E Y X E X E Y X D --+-+-=-+-=+

[]{

}[]{}[][]{})()(2)()(2

2

Y E Y X E X E Y E Y E X E X E --+-+-= ),(2)()(Y X Cov Y D X D ++=

∴ ),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+；

[][]{}{}

)()()()()()(),(X E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov ---=--=

)()()(Y E X E XY E -= ∴ )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=。 #

35. 设随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-000

x ,

x ,e f(x)x 。求（1）Y=2X ，（2）x e Y 2-=的数学期望。

解：[]22220

=-==

=+∞-+∞

-?

x

x e dx xe X Y E ；

[

]3/13

1

30

22=-===+∞

-∞

+---?

x

x

x X

e dx e e

e

Y E 。 #

36. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为

?

??<<<<=其它，,x,

y ,x K,y)f(x,0010 试确定出常数K ，并求)XY (E 。

解： 1),(=??+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ， 故1210100===??

?

????

??K Kxdx dx Kdy x ，∴ 2=K

4

1

2),()(1

31

00=

=??

?

???=

=

?

??

??

+∞∞-+∞

∞

-dx x dx ydy x dxdy y x xyf XY E x 。 # 37. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。 利用契契比雪夫不等式估

计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。

解： 已知：7300=μ，700=σ。

()μ==+73002/94005200 故令210073009400=-=ε

{}8889.09/821007*********

2

22≈=-=-≥=<-εσεμX P

∴ {}8889.09/82100

≈≥<-μX P 。 # 38. 设随机变量X 的概率密度函数为??

???≤>=-000

x ,x ,e )x (f x λλ，其中0>λ为常数。求)(X E 和)(X D 。

解： λ

λλ

λλ1)2(11)(0

=Γ===?

?

+∞-+∞-dy ye dx xe X E y x

， （ !)()1(n n n n =Γ=+Γ）

[]2

2

2

2

22

2

2221

1

)3(1

1

1

1

)()()(λ

λ

λ

λ

λ

λ

λλ=

-

Γ=

-

=

-

=

-=?

?

+∞

-+∞

-dy e y dx e x X E X E X D y x 。 #

39. 设随机变量X 的概率密度函数为??

?

??≤>-=0,00),2exp()(22

2x x x x x f σσ，其中0>σ为常数。求)(X E 和)(X D 。

解： σππ

σσσσ

σ2/2

2)1(22)2exp()(2

10

2

22

2

21

==+Γ==-

=

?

?

+∞

-+∞

dt e t dx x x X E t ，

（ πn n n 2

!!)12()(2

1-=+Γ）

[]2

2

2

2

2

2

22

32

2

2

42

2)exp(22

)2exp()()()(σππσσσ

πσσσ-=

-

=-=--

=

-=?

?

+∞

+∞

dt t t dx x x X E X E X D 。 # 40. 设随机变量X 的概率质函数为{}1-==k pq k X P ， ,,k 21=。其中p q ,p -=<<110为常数，则称 X 服

从参数为p 的几何分布。试求)(X E 和)(X D 。

解：()p q p q p q p kpq X E k k k k 1

1111)(211

1

=???

? ??-='???? ??-='???

? ??==

∑

∑

∞=∞

=-，

[][]21

12

2

2

11)1()()()]1([)()()(p

p pq k k X E X E X X E X E X E X D k k -+

-=

-+-=-=∑

∞

=- =22

32211211p q p q q pq p q q pq p q q pq k k =-???

? ??-=-"???? ??-=-"???

? ??∑

∞=。 # 41. 设随机变量(X ，Y)的概率密度函数为.20,20,)(8

1

),(≤≤≤≤+=y x y x y x f 。求)(X E 、)Y (E 、

)Y ,X (Cov 。

解： 6

7

)(4

1

)2(8

1])([

8

1),()(2

22

2

02

22

2

2=

+=+

=

+=

=

?

?

??

??

∞+∞-∞

+∞

-dy x x dx xy y x dx dy xy x dy dx y x xf X E ， 6

7

)(4

1)2(8

1

])([

8

1

),()(20

22

2

22

2

2

2=

+=

+=

+==

?

?

??

??

∞+∞

-∞

+∞-dy y y dy y x x y dy dx xy y dy dx y x yf Y E ， 36

1676734)()()(),(-=?-=

-=Y E X E XY E Y X Cov ， 3

4

)43()2

3(8

1

])([8

1

),()(2

22

2

2

2320

2

2

2

=+=+=

+==

?

?

??

??

∞+∞

-∞

+∞-dy y y dy y x y x dy dx xy y x dy dx y x xyf XY E 。# 42. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且

它们都在（-0.5，0.5）上服从均匀分布。

（1） 若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2） 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？

解： 设X 为取整误差，则0)(=X E ,1212/σD(X)==。

（1） ?

??

??

?≈>=???

?

?

?>∑

∑

==34.1125/1512

/150011515001

15001

k k k k X P X P

???

?????

?

?≤-=∑

=34.11251

11500

1k k X P

]34.1125134.11251

[115001

15001??????-≤-????

?

?≤-=∑

∑==k k k k X P X P ?

?-∞--∞--+-=34.12/34.12/2

221211dt e dt e t t ππ

1802.00901.09099.01=+-=

或：?

?????≈>=???

?

?

?>∑

∑

==34.1125/1512/15001151500115001k k k k X P X P ]

34.112511[21500

1

??????≤-=∑

=k k X P

1802.0]9099.01[2]211[234.12/2

=-?=-=?

∞--dt e t π

（2） 90.0]211[21/121012/110/12102

/112

=--=??????<=???

?

?

?

∑

∑

∞

--==n

t

n k k n

k k dt e n X n P X P π

95.0]21

/12102/2=?

∞--n t dt e π

，645.1/1210≈n ，

∴ 443

=n 。 #

43. （1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率

0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。

（2）一个复杂的系统，由n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。

解： 设每个部件损坏的概率10.0}0{==k X P ，则每个部件未损坏的概率90.0}1{==k X P 。

令∑==

100

1

100k k

X

η，由此可知100η具有参数为100=n ，90.0=p 的二项分布， 故整个系统工作的概率为：

(1) }310

)

1(35{}390100)1(39085{

}10085{100100100100100≤--<-=-≤--<-=≤<ηηηηηp np np P p np np P P 9520.00475.09995.0213

/103

/52

/2

=-==

?

--dt e t

π

(2) }3)

1(3{}09.09.0)

1(09.09.08.0{

}8.0{100100n

p np np n P n

n n p np np n

n n P n n P n n n ≤--<-

=-≤

--<

-=≤<ηηηηη 95.0]211[21213

/2

/3

/3

/2

/2

2=-

-==

?

?

∞

----n t

n n t dt e dt e

π

π

975.0213

/2

/2

=?

∞

--n t

dt e π

?

96.13

=n

, ∴35=n 。 # 44. 某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定

每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

解：设要m 条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。

已知：05.0}1{==k X P ，95.0}0{==k X P

令∑

==

2001

k k n X η, 则n η具有参数为200=n ，05.0=p 的二项分布。

?

--=

??

?

???????-≤--<-=≤<5.9/)10(5.9/102/2215.910)1(5.910}0{m t n n dt e m p np np P m P πηη 90.021215.9/102/5.9/)10(2/22=-=?

?-∞---∞--dt e dt e t m t π

π 9007.090.00007.090.021215

.9/102

/5

.9/)10(2

/2

2

=+=+=

?

?

-∞

---∞

--dt e dt e t

m t

π

π

32.15

.910=-m ? 14=m 。 #