三角形的外角练习题与标准答案

7． 2． 2三角形的外角

基础过关作业

1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．

2．△ ABC中，若∠ C-∠ B=∠ A，则△ ABC的外角中最小的角是______（填“锐角” 、“直角”

或“钝角” ）．

3．如图 1， x=______ ．

(1)(2)(3)

4．如图 2，△ ABC中，点 D 在 BC的延长线上，点 F 是 AB边上一点，延长则∠ 1，∠ 2，∠ 3 的大小关系是 _________．

5．如图 3，在△ ABC中， AE是角平分线，且∠B=52°，∠ C=78°，求∠

CA到 E，

连

AEB的度数．

EF，

6．如图，在△ ABC中，∠ A=60°， BD、 CE分别是 AC、 AB上的高， H 是 BD、 ?CE的交点，求∠ BHC的度数．

综合创新作业

7．如图所示，在△ ABC中，AB=AC，AD=AE，∠ BAD=60°，

则∠ EDC=______．

8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A

应等于90°，∠ B、∠ D 应分别是30°和 20°，

李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合

格，你能说出道理吗？

9．（ 1）如图 7-2-2-7 （ 1），求出∠ A+∠B+∠ C+∠D+∠ E+∠F 的度数；

（2）如图 7-2-2-7 （ 2），求出∠ A+∠B+∠ C+∠D+∠ E+∠F 的度数．

10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．

培优作业

11．（探究题）（ 1）如图， BD、CD分别是△ ABC的两个外角∠ CBE、∠ BCF?的平分线，试探索∠BDC与∠ A 之间的数量关系．

（2）如图， BD为△ ABC的角平分线， CD为△ ABC的外角∠ ACE的平分线，它们相交于点 D，试探索∠ BDC与∠ A 之间的数量关系．

12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？

数学世界

七桥问题

18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所

示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：?能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？?这就是著名的哥尼斯堡七桥问题． ??好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～ 1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．

你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？

答案 :

1．钝角

2．直角点拨：∵∠ C-∠ B=∠ A，∴∠ C=∠ A+∠B．

又∵（∠ A+∠ B） +∠ C=180°，∴∠ C+∠ C=180°，∴∠ C=90°，

∴△ ABC的外角中最小的角是直角．

3． 60点拨：由题意知x+80=x+（ x+20）．解得 x=60 ．

4．∠ 1>∠ 2>∠ 3

点拨：∵∠ 1 是∠ 2 的外角，∠ 2 是∠ 3 的外角，∴∠ 1>∠ 2>∠ 3．

5．解：∠ BAC=180°- （∠ B+∠ C） =180° - （ 52° +78°） =50°．∵ AE是∠ BAC的平分线，

∴∠ BAE=∠ CAE=1

∠ BAC=25°．

2

∴∠ AEB=∠ CAE+∠ C=25°+78° =103°．

6．解：在△ ACE中，∠ ACE=90° - ∠ A=90° -60 °=30°．而∠ BHC是△ HDC的外角，

所以∠ BHC=∠ HDC+∠ ACE=90° +30° =120°．

7． 30°点拨：设∠ CAD=2a，由AB=AC知∠ B=1

（180° -60° -2a）=60° -?a，? 2

∠ADB=180° - ∠B-60 ° =60° +a，由 AD=AE知，∠ ADE=90° -

a ，所以∠ EDC=180° - ∠ ADE-∠ ADB=30°．

8．解法 1：如答图1，延长 BC交 AD于点 E，

则∠ DEB=∠ A+∠B=90° +30° =?120°，

从而∠ DCB=∠ DEB+∠ D=120° +20°=140°．

若零件合格，∠DCB应等于 140°．

李叔叔量得∠BCD=142°，

因此可以断定该零件不合格．

(1)(2)(3)

点拨：也可以延长DC与 AB交于一点，方法与此相同．

解法 2：如答图2，连接 AC并延长至E，则∠ 3=∠ 1+∠ D，∠ 4=∠ 2+∠ B，因此∠ DCB=∠ 1+∠ D+∠ 2+∠ B=140°．以下同方法1．

解法 3：如答图3，过点 C 作 EF∥AB，交 AD于 E，

则∠ DEC=90°，∠ FCB=∠B=?30°，所以∠ DCF=∠ D+∠ DEC=110°，

从而∠ DCB=∠ DCF+∠ FCB=140°．以下同方法1．

说明：也可以过点 C 作 AD的平行线．

点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．

9．解：（ 1）由图知∠ A+∠ F=∠ OQA，∠ B+∠ C=∠QPC，∠ D+∠ E=∠ EOP．而∠ OQA、 ?∠ QPC、∠ EOP是△ OPQ的三个外角．

∴∠ OQA+∠ QPC+∠ EOP=360°．

∴∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=∠ OQA+∠ QPC+∠ EOP=360°．

（ 2） 360°点拨：方法同（1）．

10． 1点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．

11．解：（ 1）∠ BDC=90° - 1

∠A ．

2

理由：∠ ABC+∠ACB=180° - ∠ A ．

∠ EBC+∠ FCB=（ 180° - ∠ ABC ）+（ 180°- ∠ ACB ）=360° - （∠ ABC+∠ ACB ）=180° +∠ A ．

∵ BD 、CD 分别为∠ EBC 、∠ FCB 的平分线，

1 1

∠ FCB ．

∴∠ CBD= ∠ EBC ，∠ BCD= 2

2

∴∠ CBD+∠ BCD=1

（∠ EBC+∠ FCB ）= 1

×（ 180° +∠ A ）

2

2

1

=90 °+

∠A ．

在△ BDC 中，∠ BDC=180°- （∠ CBD+∠ BCD ）=180° - （ 90° + 1 ∠ A ） =90°- 1

∠ A ．

2 2

（ 2）∠ BDC=1

∠A ．

2

理由：∵∠ ACE 是△ ABC 的外角， ∴∠ ACE=∠ A+∠ABC ，

∵ CD 是∠ ACE 的平分线， BD 是∠ ABC 的平分线，

∴∠ DCE=1

∠ ACE=1

∠A+ 1

∠ ABC ，∠ DBC=1

∠ ABC ．

2

2

2

2

∵∠ DCE 是△ BCD 的外角，

∴∠ BDC=∠ DCE-∠ DBC=1

∠A+ 1

∠ ABC- 1

∠ ABC=1

∠A ．

2

2 2

2

12．解：如图，设球员接球时位于点 C ，他尽力向球门冲近到

D ，

此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门 AB 的张角也扩大，球就更容易射中．

理由说明如下：

延长 CD 到 E ，则∠ ADE>∠ ACE ，∠ BDE>∠ BCE ， ∴∠ ADE+∠ BDE>∠ ACE+∠BCE ，即∠ ADB>∠ACB ．

点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．

数学世界答案 :

欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，

于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．

这

个图形显然无法一笔画出，也就是说，

?要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．