一次函数图象的应用
一次函数图象的应用
教学目标与要求：
1、能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力。
2、能通过函数图象获取信息，发展形象思维；能利用函数图象解决简单的实际问题，进一步发展数学应用能力。
3、初步体会方程与函数的关系,建立良好的知识体系。 二、学习指导
本讲重点：（1）根据所给信息确定一次函数的表达式。
（2）正确地根据图象获取信息。
本讲难点：（1）用一次函数的知识解决有关实际问题。 （2）从函数图象中正确读取信息。 考点指要
一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图形解决问题是本节要解决的一个重要问题，这部分内容在中考中占有重要的地位，经常与方程组、不等式等知识联系起来考查． 三．典型例题
例1 求下图中直线的函数表达式：
分析： 观察图象可知：该一次函数图象经过点（2，0）、（0，3），而经过两点的直线可由待定系数法求出。 解：设y=kx+b ，
∵x=2时，y=0；y=3时x=0 ∴2x+b=0且0x+b=3
∴3,23
=-
=b k ∴32
3
+-=x y
例2 作出函数y=0.5x+1的图象，利用图象，求: （1）当2,0,4-=x 时，y 的值。
（2）当3,1,2
1
-
=y 时，x 的值。 （3）解方程315.0,115.0,2
1
15.0=+=+-=+x x x
（4）结合（2）（3），你能得出什么结论？
（5）若解方程0.5x+1=0
（6）何时y>0，y=0，y<0? 解：列表得
描点、连线得函数图象：
（1）由图象可知：当2,0,4-=x 时，相应的y 值分别为-1、1、2. （2）由图象可知：当3,1,2
1
-
=y 时，相应的x 值分别为-3、0、4. （3）三个方程的解分别为x=-3、x=0、x=4. （4）当一次函数y=0.5x+1的函数值为3,1,2
1
-
时，相应的自变量的值即为方程315.0,115.0,2
1
15.0=+=+-=+x x x 的解。
（5）当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。它的几何意义是：直线y=0.5x+1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。 （6）由图象可知，当x<-2 时，y<0；当x=-2时，y=0；当x>-2 时，y>0。 说明：要注意一次函数与相应的一元一次方程的关系。事实上，利用一次函数图象可解决许多实际问题。
例3 一根弹簧长15cm ，它能挂的物体质量不能超过18kg ，并 且每挂1kg 就伸长0.5cm 。写出挂上物体后的弹簧长度y （cm ） 与所挂物体的质量x （kg ）之间的函数关系式，并且画出它的图象。
解：152
1
+=
x y （0 ≤x ≤18） 经过点A （0，15）、B （18，24）作函数图象
说明：要注意函数自变量的取值范围。本题图象为线段AB ，而不是直线。
例4 某医药研 究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （时）的变化情况如图所示，当成人按规定服药后：
（1）服药后 时，血液中含药量最高为每升 微克，接着逐步衰减； （2）服药后5小时，血液中含药量为每升 微克； （3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是 ； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是 ；
（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是 时。 解： 由图象可知：
（1）服药后2时，血液中含药量最高为每升6微克，接着逐步衰减。
（2）服药后5小时，血液中含药量为每升3微克。
（3）当x ≤2时，设y=kx ，
∵（0，0）、（1，3）在图象上， ∴解得k=3，
∴y 与x 之间的函数关系式是y=3x 。
-1
（4）当x ≥2时，设y=kx+b ∵(2，6)、(5，3)在图象上，
∴??
?=+=+3
56
2b k b k
解得?
??=-=81b k
∴y 与x 之间的函数关系式是y=8-x 。
（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么由图象可知这个有效时间范围是1～5时。
说明： 由函数图象写函数关系式及由函数图象获取相关信息是本讲的重点内容。 例5 若一次函数y=kx-3的图象与x 轴、y 轴的交点之间的距离为5，求此函数的表达式。 解：由题意k ≠0,且直线y=kx-3与x 轴、y 轴的交点分别为（0,3
k
）、（3,0-） 由勾股定理得，2
22
)3()3
(5-+=k 解得3
4±=k 33
4
-±
=x y 说明：直线y=kx+b 与x 、y 轴的交点分别是（0,k
b
-
）、（b ,0），这在解题时经常用到。 例6 知a 为任意实数，且y=ax+1-2a 的图象经过一个与a 无关的定点，试求该定点的坐标。
解：不妨令a=1，得y=x-1 ；再令a=2，得y=2x-3
联立得，x=2、y=1 即它俩都过点（2，1）
又因为y=ax+1-2a 中，当x=2时，y=2a+1-2a=1 因此其图象必过定点（2，1）
说明：事实上，随着a 的变化，直线y=ax+1-2a 也不相同，但它们都经过定点（2，1）。这里，先在特殊情形下求交点，再验证一般情形也符合，进而得到一般情形下的结论。
中考试题点拨
例1 对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计上的刻度可以看出，摄氏（℃）温度x 与华氏（°F ）温度y 有如下的对应关系：
（1）通过①描点；②猜测y 与x 之间的函数关系；③求解；④验证等几个步骤，试确定y 与x 之间的函数关系式．
（2）某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉尼的最高气温是91°F ，问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？
思路分析
本题主要考查用待定系数法求一次函数的关系式．但结论未定，要求根据点的坐标描点连线，探索，求解并验证．本题既考查了一次函数的基础知识和技能，又考查了能力． 解：（1）①描点连线，如图6－9所示； ②通过观察可猜测：y 是x 的一次函数；
③设y=kx+b ． （由于图象是线段，因此猜测是一次函数）
将两对数值?
?
?==???==50y 10x ,32y 0x 分别代入y=kx+b ， 得??
?+==b k 1050b
32（待定系数法求函数关系式）
解得?
?
?==32b 8
.1k
∴y=1.8x+32；
④验证：将其余三对数值??
?==???==??
?=-=86
y 30
x 68y 20x 14y 10x ，，分别代入y=1.8x+32，得 1.83（－10）+32=14， 1.8320+32=68， 1.8330+32=86，
（验证是为了看猜测是否正确，让尽可能多的点符合函数关系式） 结果都成立．
∴y 与x 之间的函数关系式是y=1.8x+32； （2）当y=91时，由91=1.8x+32，解得 x ≈32.8
32.8－8=24.8≈25（℃）．
（注意：不是91－8，应在同一单位制下进行运算） 答：这一天悉尼的最高温度比南昌的最高温度高约25℃．
例2 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图6－10所示．求：
（1）y 与x 之间的函数关系式； （2）旅客可免费携带的行李的重量．
思路分析
本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，同时
考查了在直角坐标系中的读图能力．
解：（1）设一次函数的关系式为y=kx+b ． ∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10， ??
?=+=+∴10
b k 806
b k 60（这是一个二元一次方程组）
解得???
??-==6
b 51k
（学会读图）
∴所求函数关系式为6x 5
1
y -=（x ≥30）． （2）当y=0时，06x 5
1
=-，（注意自变量的取值范围不能遗漏） ∴x=30．
故旅客最多可免费携带30公斤行李．
例3 A 市和B 市各有机床12台和6台，现运往C 市10台，D 市8台．若从A 市运1台到C 市、D 市各需要4万元和8万元，从B 市运1台到C 市、D 市各需要3万元和5万元．
（1）设B 市运往C 市x 台，求总费用y 关于x 的函数关系式； （2）若总费用不超过90万元，问共有多少种调运方法？ （3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？
（总费用y 是从A 市、B 市运往C 市和D 市的费用和，现将A 市、B 市运往C 市和D 市的费用分别表示成为含x 的代数式，再求费用和） 解：（1）设B 市运往C 市x 台，
∴B 市运往D 市（6－x ）台，A 市运往C 市（10－x ）台，A 市运往D 市[12－（10－x ）]台，根据题意，得
y=3x+5（6－x ）+4（10－x ）+8（2+x ）， 即y=2x+86．
（2）由题意
2x+86≤90，x≤2．
∵B市最多可运往C市6台，∴0≤x≤6，
∴0≤x≤2，
∴x的取值可为0、1、2共三个数，
∴总费用不超过90万元的调运方法有3种．
（这是一次函数的应用题，自变量x的取值范围应由实际问题决定）
（3）由一次函数y=2x+86知，y随x的增大而增大，
又∵0≤x≤2，
（要学会用一次函数的性质解决问题）
∴当x=0时，y取最小值86．
∴最低费用是86万元，调运方法是B市运往D市6台，A市运往C市10台，运往D 市2台．
例4 如图6－11，公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P 地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米．
（1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式；
（2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C处．汽车若按原速能否按时到达？若能，是在几点几分到达？若不能，车速最少应提高到多少？
思路分析
这是一道实际问题的应用题，主要考查建立一次函数关系式的能力，求函数值的技能，同时还考查列方程解应用题的能力．
解：（1）汽车匀速前进的速度为
小时）（千米/4060
1510
20=-， ∴y=40x+10．
（2）当y=150+30=180时，
（认真阅读题目，理解题意是解答应用题的关键） 40x+10=180．
解得x=4.25（时），4.25+8=12.25（点） 因此汽车若按原速不能按时到达．
当y=150时，40x+10=150，（理解如何判断能否按时到达） 解得x=3.5．
设汽车按时到达C 处，车速至少提高到v 千米/小时，则 [（12－8）－3.5]2v=30， 解得v=60．
答：车速至少提高到60千米/小时．
例5 科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强P(千帕)随温度t(℃)变化的函数关系式是P=kt+b ，其图象如图6－11所示的射线AB ． (1)根据图象求出上述气体的压强P 与温度t 的函数关系式；
(2)求出当压强P 为200千帕时，上述气体的温度． 解：(1)∵ 函数P=kt+b 的图象过点(0，100)，(25，110)，
∴???=+=,11025,100b k b 解之，得??
???==.52,
100k b
故所求函数关系是)0t (100t 5
2
P ≥+=
．
(2)当P=200时，由(1)得200105
2
=+t ． 解之，得 t=250．
即当压强为200千帕时，气体的温度是250℃．
例6如图6－12所示，是某学校一电热淋浴器水箱的水量y （升）与供水时间x （分）的函数关系． （1）求y 与x 的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，求在30分钟时水箱有多少升水？ 解：（1）由图可知y 与x 的函数关系是一次函数， （将实际问题转化为数学问题） 设这个函数的关系式为y=kx+b （k ≠0），
根据题意得???=+=+,150b k 50,50b k 10解得???
??
==,
25b ,25k
∴水箱的水量y （升）与时间x （分）的函数关系式是25x 2
5
y +=（10≤x ≤50）． （2）当x=30时，10025302
5
y =+?=
（升） （将实际问题转化为求函数值） ∴ 在30分钟时水箱有100升水． 巩固练习 1、 选择
（1）汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为 （ ）
Q(件)B
D
C
A
（2）某厂今年前五个月生产某种产品的月产量Q （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，则对这种产品来说，下列说法中，正确的是（ ）
（A ）1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少。（B ）1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3（C ）1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产。（D ）1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产。
（3）如图，一次函数y=kx=b 中，若y 随x 的增大而减小，且kb<0，，则它的图象大致为（ ）
（4）若点P 为y 轴上的一点，且点P 到点A （4，3）、点B （-2，-1）的距离和最小，则点P 的坐标为（ ） （A ）（0，35） （B ）（0，23） （C ）（0，3
1
） （D ）（0，0） 2、 填空
（3）函数y=6－2x 的图象经过点（0， ）和（ ，0）。 （4）函数y=5x 的图象经过 象限。 （5）函数的图象13
2
+-
=x y 不经过 象限。 （6）当k 时，函数y=(2k －1)x+1中y 的值随x 值的增大而减小？
o
Q t /éy
/ê±
40
8
±
±
±
A
B
C
D
(7) 若y+3与x+2成正比例，且x=3时,y=7，则：
①y 与x 之间的函数关系式为 ； ②当x = —1时，y 的值为 ； ③当y = 0时，x 的值为 。
(8)已知一次函数y=kx+3和y=3x+b 的图象都经过点A （3，6），且它们分别与x 轴交于点B 、C ，则：k= ；b= ；点B 坐标为 ；点C 坐标为 ；△ABC 的面积为 。 3、 解答
（1）如图，分别求图中直线的函数表达式：
（2）小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y （元）与存钱月数x （月）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： ①盒内原来有多少钱？ ②小明平均每月存多少钱？
③按此规律，小明经过几个月才能存够200元？
-3
-2-12
1
o
x
y
y/元
12080
Q(éy)
42363024
（3）全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万千米2，沙漠面积200万千米2，土地沙漠化的变化情况如图所示。
①若不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2
？
②若该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
③若从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米
2
沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176
万千米2？
（4）某机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中剩余油量Q （升）与行驶时间t （时）的函数关系如图所示，根据图象回答问题： ①机动车行驶几小时后加油？
②机动车每小时耗油多少升？
③中途加油多少升？
④如果加油站距目的地还有230公里，机动车平均每小时行驶40公里，要到达目的地，油箱中的油是否够用？
（5）下图表示一骑自行车和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地间距离是80千米，根据图象回答问题：
①谁出发的较早？早多少时间？谁到达乙地较早？早多少时间？
②两人在途中行驶的速度分别是多少？
③两车何时相遇？在什么时间段内两车均行驶在途中？
④分别求出自行车和摩托车行驶过程的函数表达式。
-1
（6）已知一次函数33
4
+-
=x y ①求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积； ②求该函数与两坐标轴交点间的距离； ③求原点到直线33
4
+-
=x y 的距离。
参考答案
1.（1）B （2）B （3）D （4）C
2. （1）6，3 （2）一、三 （3）三 （4）2
1<
k （5）①y=2x+1 ②-1 ③2
1-
（6）1；-3；（-3，0）；（1，0）；12 3.（1）2
1
23,332--=-=
x y x y （2）40元，20元，8 （3）10，50，12． （4）5，6，24，够用.
（5）①自行车早出发3小时；摩托车到达乙地较早，早了3小时。
②自行车速度为
=44010（km/h ）；摩托车速度为=1
40
40（km/h ）。 ③两车在行驶4小时时相遇，并在3＜x ＜5时间段内行驶在途中。 ④由待定系数法可求得：自行车y=10x ；摩托车y=40x －120。 （6）①6 ②5 ③5
12.
6.5一次函数图象的应用(第二课时)教学设计
第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（二） 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 2．教学重点 一次函数图象的应用 3．教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺
五、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午 7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞 瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发， 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同 的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪 种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t， S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线S1=36t， S2=26t+10的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36 km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km） 思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？ 意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力． 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否
一次函数图象的应用
一次函数图象的应用 一．知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． 教学重点 一次函数图象的应用． 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教学过程 第一环节复习 ．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问
题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
函数的图象变换(习题)
函数的图象变换（习题） 1.函数y=-2x2的图象是由函数y=-2x2+4x+6的图象经过怎样的变换得到的？ （） A．向左平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 4.若函数(1) x y a b =-+（a＞0，且a≠1）的图象在第一、三、四象限，则必有（）
A ．0＜a ＜1，b ＞0 B ．0＜a ＜1，b ＜0 C ．a ＞1，b ＜0 D ．a ＞1，b ＞ 5. 若函数()y f x =与()y f x =的图象相同，则()f x 可能是（ ） A ．1y x -= B ．2x y = C ．2log y x = D ．21y x =- 6. 当0＜a ＜1时，函数()log ()a f x x =-与()1g x ax =-的图象的交点在（ ） A ． 第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 7. 在同一平面直角坐标系内，函数1()3x f x -=与1()3x g x +=的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线x =1对称
f (x -1)的函数 f (-x )的函数 |f (x )|的函数 f (|x |)的函数 A B C D 10. 将()y f x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y =ln x 关于y 轴对称， 则()y f x =的解析式为（ ） A ．()ln(1)f x x =+ B ．()ln(1)f x x =- C ．()ln(1)f x x =-+ D ．()ln(1)f x x =-- 11. 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x =-2对称，则a ，b 的值分 别为（ ） A ．15，8 B ．8，15 C ．3，4 D ．-3，-4 12. 已知函数()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在[1)+∞，上单调递减， (0)0f =，则(1)0f x +>的解集为（ ） A ． (1)+∞， B ．(1)(1)-∞-+∞，， C ．(1)-∞-， D ．(11)-， 13. 已知函数() y f x =的图象与ln y x =的图象关于x 轴对称，则 (2)f =_____________．
高中数学双曲线函数的图像与性质及应用
一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；
一次函数图象的应用
一次函数图象的应用 一、知识点睛 1.函数图象共存问题 选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b符号，验证另一个函数图象存在的合理性. 2.数形结合求范围 __________、__________、__________. 二、精讲精练 1.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a 5.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（） A．x>1 B．x<1 C．x<2 D．x>2 6.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当0 第7讲 函数的图象及其应用 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________． 解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案 y ＝(x －1)2＋3 2．函数f (x )＝x ＋1 x 的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1 x ，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1) 3．已知f (x )＝? ???? 13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )， 则g (x )的表达式为________． 解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则??? x 0＝2－x ， y 0＝y . ∴y ＝? ???? 132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －2 4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________． 解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1) 5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________． 解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案 (－2,0)∪(2,5) 6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2] 7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1. 答案 (1，＋∞) 8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝??? log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有 两个实根，则实数a 的范围是________． 解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实 一次函数图像及应用中考题目专项训练 1 、(宁夏) 一次函数y=2x -3的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、(陕西省) 若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ） A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2) 3、（安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是【 】 4、(河北)如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ） 5.（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V (万米 3)与干旱的时间 t (天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )． A ．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3 B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3 D ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3 O y x -2 - 4 A D C B O 4 2 y O 2 - 4 y x O 4 - 2 y x 取相反数 ×2 ＋4 图4 输入x 输出y x 6． (黄冈市)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟 第5题 第6题 第7题 7．（桂林）如图，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为 ． 8．（佛山）画出一次函数y=-2x+4的图象，并回答：当函数值为正时，x 的取值范围是 ． 9．（湘西）一次函数y=3x -b+1的图像过坐标原点，则b 的值为 ． 10．（天津）已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9)，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为__________ ． 11．（乌鲁木齐）星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？ （2）当0.5x ≥时，求储气罐中的储气量一（立方米）与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． /天 t /万米3 V 20040060080010001200O 5040 302010O y x 2 -1 2014中考数学一次函数图像与应用题汇总 （鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）． （?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离 甲地的距离为 1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、 2y 关于x 的函数图像如右图所示： （1）根据图像，直接写出 1y 、2y 关于x 的函数关系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式； （3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求A 加油站离甲地的距离. （长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停 工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． )2015高考数学(理)一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用
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