平行四边形的存在性问题
平行四边形的存在性问题
专题攻略
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．
如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．
针对训练
1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，
得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．
如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．
①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．
因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．
②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．
因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．
③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．
因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．
①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．
当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
②如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．
如图2，当x＝4时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．
如图3，当x＝－4时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．
第2题图1 第2题图2 第2题图3
3．将抛物线c1：2
y=+x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示．
现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
解析、抛物线c1：2
y=x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(m
-，与x轴的两个交点为(1,0)
--、
A m
-，AB＝2．
B m
(1,0)
抛物线c2在平移的过程中，与抛物线c1关于原点对称．所以四边形AMEN是平行四边形．如果以点四边形AMEN是矩形，那么AE＝MN．所以OA＝OM．
而OM2＝m2＋3，所以(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1（如图）．
第3题图
[另解]探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB ABM是等边三角形．
同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．
因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．
4．已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．
（1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =
+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．
解析、（1）当x ＝0时，3334
y x =+=，所以点A 的坐标为(0，3)，OA ＝3． 如图1，因为MO ＝MA ，所以点M 在OA 的垂直平分线上，点M 的纵坐标为
32． 将32y =代入32y x =，得x ＝1．所以点M 的坐标为3(1,)2
．因此AM =． （2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (0，3)、M 3(1,)2，所以3,31.2
c b c =???++=?? 解得52b =-，3c =．所以二次函数的解析式为2532
y x x =-+． （3）如图2，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ．
在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ． 因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )．
将点C(4m ，3－2m )代入2532
y x x =-+，得23216103m m m -=-+． 解得12
m =或者m ＝0（舍去）． 因此点C 的坐标为（2，2）．
5．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．
（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；
（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．
解析．（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43
t ． （2）当点Q 的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ 不可能为菱形．说理如下：
在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10．
已知PD //BC ，当PQ//AB 时，四边形PDBQ 为平行四边形．
所以
CQ CP CB CA =，即2686t t -=．解得125
t =． 此时在Rt △CPQ 中，245CQ =，2456sin 54CQ PQ CPQ ==?=∠． 所以2416855
BQ CB CQ =-=-
=，6BD PQ ==． 因此BQ ≠BD ．所以四边形PDBQ 不是菱形．
如图1，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形． 过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．
在Rt △APE 中，23cos 5AE A AP t ===，所以103t =． 当PQ //AB 时，CQ CP CB CA =，即106386
CQ -=．解得329CQ =． 所以点Q 的运动速度为
3210169315
÷=． 第5题图1 （3）以C 为原点建立直角坐标系．
如图2，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)．
如图3，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)．
直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．
如图4，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t -，t ）在直线EF 上． 所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF
＝
第5题图2 第5题图3 第5题图4
[另解]第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：
当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．
设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，
得930,
4,42 2.a b c a b c a b c ++=??++=??++=?
解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6．
所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|∶|OB|＝1∶5，|OB|＝|OC|，△ABC的面积S△ABC＝15，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为72？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解析（1）设OA的长为m，那么OB＝OC＝5m．由△ABC的面积S△ABC＝15，得m＝5．所以点A、B、C的坐标分别为(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．
设抛物线的解析式为y＝a(x＋1) (x－5)，代入点C(0，－5)，得a＝1．
所以抛物线的解析式为y＝(x＋1) (x－5)＝x2－4 x－5．
（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，设点E在对称轴右侧，坐标为(x，x2－4 x－5)．
①如图1，当E在x轴上方时，EF＝2(x－2)，EH＝x2－4 x－5．
解方程2(x－2)＝x2－4 x－5，得310
x=+或310
x=-（舍去）．
此时正方形的边长为2210
+．
②如图2，当E在x轴下方时，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4 x－5)．
解方程2(x－2)＝－(x2－4 x－5)，得110
x=-（舍去）．
x=+或110
此时正方形的边长为210．
第6题图1 第6题图2 第6题图3
（3）如图3，因为点B、C的坐标分别为(5，0)、(0，－5)，所以BC与x轴正半轴的夹角为45°．
过点B作BM⊥BC，且使得BM＝72
过点M作x轴的垂线，垂足为N，那么△BMN是等腰直角三角形．
在Rt△BMN中，斜边BM＝72BN＝MN＝7．
因此点M的坐标为(－2，7)或(12，－7)．
经检验，点(－2，7)在抛物线y＝(x＋1) (x－5)上；点(12，－7)不在这条抛物线上．
所以点M的坐标是(－2，7)．
[另解]第（3）题也可以这样思考：
设抛物线上存在点M，设点M的坐标为(x，x2－4 x－5)．
由于△BMN是等腰直角三角形，BN＝MN，所以5－x＝x2－4 x－5．
解得x＝－2或x＝5（与点B重合，舍去）．所以点M的坐标是(－2，7)．
这种解法不需要分情况讨论点M的位置，这是因为：
当M在点B的右侧时，方程为x－5＝－(x2－4 x－5)，这个方程和点M在点B的左侧时的方程是同一个方程．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过A (－1,0)、B (0,3)两点，与x 轴交于另一点C ，顶点为D ．
（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；
（2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；
（3）如图2，P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标．
图1 图2
解析．（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，C (3,0)，顶点D (1,4)．
（2）如图1，直线BD 为y ＝x ＋3，E (－3,0)．
过△ABE 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F ．
① 点E (－3,0)向左平移2个单位得到点A (－1,0)，那么点B (0,3) 向左平移2个单位得到点F 1(2,3)．经验
证，F 1(2,3)在抛物线上．
② F 2不在抛物线上．
③由B (0,3)先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点E (－3,0)，那么点A (－1,0) 先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点F 3(－4,－3)．经验证，F 3(－4,－3)不在抛物线上．
（3）如图2，直线AP 的解析式为y ＝x ＋1．过点Q 作y 轴的平行线交AP 于H ．
设Q (x , －x 2＋2x ＋3)，那么H (x , x ＋1)．
因此S △APQ ＝S △AQH ＋S △PQH ＝211()(2)322P A QH x x x x -=-++?23127()228x =--+
． 所以当12x =时，△APQ 的最大面积为827．此时Q )4
15,21(．
第7题图1 第7题图2
8．已知抛物线2(2)y a x b =-+ (0)ab <的顶点为A ，与x 轴的交点为B ，C （点B 在点C 的左侧）．
（1)直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC 为直角三角形，求a ，b 的值；
（3）若D 为抛物线对称轴上一点，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a ，b 满足的关系式；若不能，说明理由．
解析（1）抛物线对称轴是直线x ＝2． （2）点B (0,0)关于对称轴x ＝2对称的点C 为(4,0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)．
当△ABC 为直角三角形时，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°．
所以点A 的坐标为(2,2)或(2,－2)．
①将A (2,2)代入y ＝ax (x －4)，得1
2
a =-．于是211(4)222y x x x x =--=-+．因此2
b =． ②当A (2,－2)代入y ＝ax (x －4)，得12
a =．于是211(4)222y x x x x =-=-．因此2
b =-．
（3）如果四边形ABDC是正方形，那么A、D关于BC（x轴）对称且△ABC为等腰直角三角形．由A(2,b)，得B(2＋b,0)、C(2－b,0)．
于是可得抛物线的解析式为y＝a(x－2－b)(x－2＋b)．
代入A(2,b)，得b＝－ab2．所以1
ab=-．
9．如图，已知双曲线
6
y
x
=与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点．
（1）求证四边形ACBD是平行四边形；
（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？
（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，求S与m的之间的关系式．
解析．（1）因为A、B关于原点O对称，C、D关于原点O对称，所以OA＝OB，OC＝OD．所以四边形ACBD是平行四边形．
（2）如图1，当直线AB与直线CD关于直线y＝x对称时，OA＝OB＝OC＝OD，所以四边形ACBD可以成为矩形．
因为x≠0，y≠0，所以点A、B、C、D不可能落在坐标轴上，因此直线AB与CD不可能垂直，即平行四边形ACBD的对角线不可能互相垂直，所以四边形ACBD不可能成为正方形．
（3）如图2，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，那么S△AOE＝S△COF．
①如图2，当点C在点A上方时，设OA与CF交于点M，那么S四边形AEFM＝S△COM．
因此S△AOC＝S梯形AEFC＝169
(2)(3)
2
m m
m m
+-=-．
所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC
36
4m m
=-．
②如图3，当点C在点A下方时，S△AOC＝S梯形AEFC＝169 (2)(3)
2
m m
m m
+-=-．
所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC
36
4m
m
=-．
第9题图1 第9题图2 第9题图3
小专题(三) 特殊平行四边形中的最值问题
小专题(三)特殊平行四边形中的最值问题 【例】(盐城中考)如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线 段AB、AD、 AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝43，∠BAD＝60°，且AB＞4 3. (1)求∠EPF的大小； (2)若AP＝6，求AE＋AF的值； (3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值． 【思路点拨】(1)求∠EPF的大小，就是解△EFP，通过作底边上的高转化为直角三角形解决；(2)这里∠BAD＋∠EPF＝180°，PE＝PF，可通过构造全等三角形解决问题；(3)观察图形，作PM⊥AB 于M，AP的长随PM大小的变化而变化． 【方法归纳】动态图形中最值问题关键要改变思考的角度，善于转化为另一个量的最值问题考虑． 1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？
2．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B 两点，求线段AB的最小值．
参考答案 【例】(1)过点P 作PG ⊥EF ，垂足为G. ∵PE ＝PF ，PG ⊥EF ，∴FG ＝EG ＝23，∠FPG ＝∠EPG ＝12 ∠EPF. ∵EP ＝4，∴在Rt △FPG 中，由勾股定理得PG ＝2.∴PG ＝12 PF.∴∠PFG ＝30°.∴∠FPG ＝60°.∴∠EPF ＝2∠FPG ＝120°. （20作PM ⊥AB ，PN ⊥AD ，垂足分别为M 、N.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ， ∴点P 到AB 、AD 两边的距离相等，即PM ＝PN. ∵在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ， ∴Rt △PME ≌Rt △PNF.∴FN ＝EM. 在Rt △PMA 中，∠PMA ＝90°，∠PAM ＝12 ∠DAB ＝30°，∴AM ＝3 3. 同理：AN ＝3 3.∴AE ＋AF ＝(AM －EM)＋(AN ＋NF)＝AM ＋AN ＝6 3. （3）当EF ⊥AC ，点P 在EF 右侧时，AP 有最大值， 当EF ⊥AC ，点P 在EF 左侧时，AP 有最小值．故AP 的最大值为8，AP 的最小值为4. 针对训练 1.取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ， ∵OD ≤OE ＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大． ∵AB ＝2，BC ＝1，∴OE ＝AE ＝12 AB ＝1，DE ＝AD 2＋AE 2＝12＋12＝ 2. ∴OD 的最大值为2＋1. 2.∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°.∴∠COA ＝∠DOB. ∵在△COA 和△DOB 中，?????∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ， ∴△COA ≌△DOB.∴OA ＝OB. ∵∠AOB ＝90°， ∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC. ∴CA ＝DA. ∴OA ＝12 CF ＝1.∴ AB ＝ 2. ∴AB 的最小值为 2.
平行四边形性质和判定习题(答案详细)
平行四边形性质和判定习题 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE， CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足 分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB， DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系， 并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形．
7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分． 12．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四 边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题（共9小题） 1．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点
分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C． （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围． 5．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，
平行四边形的存在性问题
平行四边形的存在性问题 【真题典藏】 1.（2008年青浦区第24题）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，正比例函数kx y =（x 为自变量）的图像与双曲线x y 2 - =交于点A ，且点A 的横坐标为2-． （1）求k 的值． （2）将直线kx y =（x 为自变量）向上平移4个单位得到直线BC ，直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、 C ，如点 D 在直线BC 上，在平面直角坐标系中求一点P ，使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形． 图1 图2 2.（2009年普陀区第25题）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2， 0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322 -=经 过点A ，点D 是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上； （3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD ＝∠OAB ，求点P 的坐标； （4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标． 3．（2010年上海市第24题）参见《考典40 几何计算说理与说理计算问题》第3题． 4．（2011年上海市第24题）已知平面直角坐标系xOy （如图3），一次函数3 34 y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数3 2 y x = 的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ． （1）求线段AM 的长； （2）求这个二次函数的解析式；
专题 平行四边形的性质与判定(学生版)
专题 平行四边形的性质与判定 【能力提升】 例1.如图已知△ABC ，分别以△ABC 的三边为边在△ABC 的同侧作三个等边三角形：△ABE ．△BCD ．△ACF ，求证：四边形DEAF 是平行四边形． 例2.（1）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，若AE ＝4，AF ＝6，AD +CD ＝20，则平行四边形ABCD 的面积为 ． （2）在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0），C 为顶点构造平行四边形，请你写出满足条件的点C 坐标为 ． 例3.一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是_______. 例4.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、点E 为边AB 上的点，且AD ＝BE ，点M 、N 分别为边AC 、BC 上的点．已知：AB ＝a ，DE ＝b ，则四边形DMNE 的周长的最小值为 ． 例5.如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，点P 在AD 边上以每秒1cm 的速度从点A 向点D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4cm 的速度从点C 出发，在CB 间往返运动，两个点同时出发，当点P 到达点D 时停止（同时点Q 也停止），在运动以后，以P 、D 、Q 、B 四点组成平行四边形的次数有多少次？
例6.理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点． （1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝； （2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝； （3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝； 拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由． 实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．
八年级数学平行四边形中的最值问题专练
八年级数学平行四边形中的最值问题专练 一、选择题 1.如图，将两张长为8，宽为2的长方形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形(四条边相 等)，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是（） A. 17 B. 16 C. 8√2 D. 2√17 2.如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于点A，四边形ABCD为正 方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB=2，则BE的最小值为() A. √3+1 B. 2√3?1 C. 3 D. 4?√3 3.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边 ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为() A. √2+1 B. √5 C. √145 5 D. 5 2 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4√3，BC的中点为D. 将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连 接DG.在旋转过程中，DG的最大值是() A. 4 B. 6 C. 2+2√3 D. 8 5.如图，正方形ABCD，边长为2，E是边BC上的一动点，连DE，取DE中
点G，将GE绕E顺时针旋转90°到EF，连接CF。则CF的最小值为() A. √5 5B. 2 5 √5 C. 2 D. 1 6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点， 且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最 小值为() A. 5 B. 6 C. 4√2 D. 8 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD= 2AB=4，点H、G分别是边AD、BC上的动点.连 接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中 点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为() A. 1 B. √3?1 C. √3 2 D. 2?√3 二、填空题 8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6， 点E在边AB上，且AE=2，P是对角线AC上的一 个动点，则PB+PE的最小值是______． 9.点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知AB=1，∠ADC=120°，点M， N分别是AB，BC边上的中点，则△MPN的周长最小值是_______________．
ZBP平行四边形存在性问题之两定两动.doc
学习必备欢迎下载 问题 1：存在性问题的处理框架是什么？ 问题 2：两定两动的平行四边形存在性问题的分类标准是什么？ 1. 如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，OA=8， OC=12，直线与x 轴交于点D，与 y 轴交于点E，把矩形沿直线DE翻折，点 O 恰好落在AB 边上的点 F 处，M 是直线 DE 上的一个动点，直线DF 上是否存在点N，使以点 C，D，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？则符合题意的点N 的坐标是？ 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点A，与x 轴分别交于 点 B 和点 C， D 是直线 AC上一动点， E 是直线AB 上一动点．若以O， D， A，E 为顶点的四边形是平行四边形，则点 E 的坐标为？ 反思与总结： 问题 1：平行四边形存在性问题的处理框架中第一步：研究背景图形，需要研究哪些内容？ 问题 2：画出对应图形后求解点坐标的套路是什么？
练习 1.如图，直线与 x 轴、 y 轴分别交于A， B 两点，直线BC x 轴交于点C，且 与 ∠ABC=60°，若点 D 在直线AB 上运动，点E在直线 BC 上运动，且以O， B， D，E 为顶点的 四边形是平行四边形，则点 D 的坐标为 ( ) 2..如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ ACO=30°，把矩形沿直线 DE 翻折，使点 C 落在点 A 处， DE 与 AC 相交于点 F，若点 M 是直线 DE上一动点，点N 是直线 AC 上一动点，且以O，F，M ， N 为顶点的四边形是平行四边形，则点N 的坐标为 () 3.如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于 点 C，交 AB 于点 D．若在平面内存在点 E，使得以点 A，C，D，E 为顶点的四边形是平行四边 形，则点 E 的坐标为
平行四边形的性质与判定解题技巧专题练习含答案
综合滚动练习：平行四边形的性质与判定 时间：45分钟分数：100分得分：________ 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．在?ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A的度数是() A．100°B．120°C．80°D．60° 2．如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是() A．AB∥CD B．AB＝CD C．AC＝BD D．OA＝OC 第2题图第5题图 3．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是() A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5 4．平面直角坐标系中，已知?ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是() A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(－1，2) 5．如图，?ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为() A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2 6．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.若AB＝6，EF＝2，则BC的长为() A．8 B．10 C．12 D．14 第6题图第7题图 7．如图，在?ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于() A．40°B．50°C．60°D．80° 8．(2017·龙东中考)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是() A．22 B．20 C．22或20 D．18 二、填空题(每小题4分，共24分)
中考真题解析分类汇编之平行四边形的判定
平行四边形的判定 全国中考真题解析分类汇编 一、选择题 1. （郴州）如图，下列四组条件中?不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （） A、AB=DC , AD=BC B、AB // DC , AD // BC C、AB // DC, AD=BC D、AB // DC , AB=DC 考点：平行四边形的判定。 分析：平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边 形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 解答：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形. 故选：C. 点评：此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况. 对于判定定理：一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形.”应用时要注意必须是一组”而一组对边 平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形. 2. （泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,给出下列四组条件： ①AB // CD, AD // BC;②AB=CD , AD=BC ； @A0=C0 , B0=D0 ;@AB // CD, AD=BC ?其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（） A、1组 B、2组 C、3组 D、4组 考点：平行四边形的判定。
专题：几何综合题。 分析：根据平行四边形的判断定理可作出判断. 解答：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形； 故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，故选：C， 点评：此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是做题的关键. 3. （柳州）如图，在平行四边形ABCD中，EF// AD，HN// AB，则图中的平行四边形的个数共有（） C、7个 D、5个 考点：平行四边形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：根据根据平行四边形的定义即可求解. 解答：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF 和ABCD都是平行四边形，共9个. 故选B. 点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质，本题可根据平行四边形的定
一次函数之平行四边形存在性问题
一次函数与平行四边形 1.线段中点公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________. 2.线段的平移 平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________. 例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？ 例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移 总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等 方法二：利用中点公式 总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4
类型一：三定一动 例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决. 说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________
《平行四边形判定》专题复习
6月27日：专题复习（一）——《平行四边形判定》 姓名：___________班别_____________ A 组： 1、四边形中，有两条边相等，且另两条边也相等，则这个四边形（ ） A 、一定是平行四边形 B 、一定不是平行四边形 C 、可能是平行四边形 D 、以上答案都错 2、以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 3、如图，□ABCD 中， E ， F 分别为AD ，BC 边上的一点，若再增加一个条件__________，就可推得BE=DF 4、 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，延长AB 使 BE=DC ，试说明 （1）四边形DBEC 是平行四边形（2）AC=CE 5、如图，在平行四边形ABCD 中，BF DE =． 求证：四边形AFCE 是平行四边形． 6、如图，E F ，是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点，给出下列三个条件： ①BE DF =；②AEB DFC =∠∠；③AF EC ∥． 请你从中选择一个适当的条件 ． 使四边形AECF 是平行四边形，并证明你的结论． E F
B 组： 1、平面直角坐标系中，点A （-2，5），B （-3，-1）C （1，-1），在第一象限内找一点D ，使得四边形ABCD 是平行四形，那么点D 的坐标是______________。 2、如右图，在□ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点 E ，则线段BE 、EC 的长度分别为（ ） A 、2和3 B 、3和2 C 、4和1 D 、1和4 3、14.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3， OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 4、A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC =AD ；④BC ∥AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 4、如图：BD 是□ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，求证：四边形AECF 为平行四边形． 5、 如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上的点，且∠ABE=∠BAC ，EF ∥AB ， DF ∥BE 。（1）猜想DF 与AE 有怎样的关系（2）证明你的猜想 6、如图3，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）． F
平行四边形的存在性问题
平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便． 针对训练 1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4， 得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）． 如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M． ①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1． 因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2． 因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3． 因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)． ①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2． 当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
二次函数中的平行四边形存在性问题
二次函数中的平行四边形存在性问题 目标：1、通过本节课的学习，提高学生分析问题，解决问题的能力。 2、能总结出解决平行四边形存在性问题的一般方法和思路。重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。 难点：根据条件求平行四边形的顶点坐标。 过程： 一、复习 1、平行四边形的性质 角： 边； 对角线： 2、二次函数的相关知识点 表达式、顶点坐标、对称轴、增减性 二、探索新知 1、単动点（知3点求1点） （1）已知平面上有不在同一条直线上的三点A、B、C，点D是平面上任一点，若此四点能构成平行四边形则符合条件的D点有几个？ （）
学生画图说明 思考：如何找第四点？找第四点的方法？ (2)类题 （1）已知抛物线与坐标轴分别交于A（-1、0）、B （3、0）、C （0、3）三点，能否在平面内在找一点D使得它们四点围成的四边形为平行四边形？ 学生分析总结规律、思路。 ①、根据平行四边形的边、对角线的性质（对边平行且相等， 对角线互相平分）我们可以选择一种情况作为画图的依据。 ②、在求点的坐标时（以边为例）我们先满足对边平行再用对 边相等求出要求的点的坐标。
2、 双动点（知2点求2点） （1） 学生再次画图说明（给出两点画出另外两点） （2）类题 如图，抛物线y= 13 x 2-mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0．-1）．且对称轴x=l ． ① 求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标； ② 点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标。
点A，点B是定点 点P，点Q是动点 分两种情况：AB为边，AB为对角线 3、小结 4、布置作业 5、
平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题 一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算. 二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又准又快. 三、如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点，利用横纵坐标的平移变化得出结论。 四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况，灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便。（辅助手段~三角形全等，等积法，中点坐标公式） 例1.已知抛物线 b ax ax y ++-=22 与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 例2、如图，抛物线：y= x 2﹣x ﹣ 与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧），A （﹣1，0）、B （3，0），顶点为C （1，﹣2）（1）求过A 、B 、C 三点的圆的半径．（2）在抛物线上找点P ，在y 轴上找点E ，使以A 、B 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 、E 的坐标． 例 3．已知，如图抛物线
23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 例4.已知抛物线：x x y 22 12 1+- = （1）求抛物线1y 的顶点坐标. （2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式. （3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、 N 四点构成以OP 为一边的平行四边形， 若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由. 例5．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理 x y y 12 3 4 5 6 7 8 9 54321 -1-2-3-4 1 y 2 -1
平行四边形的判定专题练习题
平行四边形的判定练习 1.如图，?已知AD?∥BC，?要使四边形ABCD?为平行四边形，?需要添加的条件是_______．（只需填写 一个） 2. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，求证：四边形ABCD是平行四边形. 3．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，AB∥ 形ABCD是平行四边形。 4．如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD?是平行四边形．5、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由. 6．如图，已知四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，求证：四边形BCFE?是平行四边形．7．有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）. 求证：此四边形是平行四边形． D A C O
8.如图，已知ABCD ，E ，F 是对角线BD 所在直线上的两点，且AE ∥CF ，求证：CE ∥AF ． 9．□ABCD 中,AC 、BD 交于点O ，AE=CF ，求证：BE=DF 10．(变式练习1)如图，已知ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OB ，OC ，OD ，OA?的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形． 11、(变式练习2)□ABCD 中,AC 、BD 交于点O ，AE=CF ，BM=DN 求证：四边形MFNE 是平行四边形 12. (变式练习3)如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ，又点M 、N 分别在AB 、CD 上，且MF ∥EN ，MN 交AC 于O 。求证：EF 与MN 互相平分。 13、(变式练习4)如图所示，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ，G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，四边形EGFH 是平行四边形，说明理由. 14. □ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 上的点，请你自行规定E 、F 在边AD 、BC 上的位置，然后补充题设、提出结论并证明（要求：至少编制两个正确的命题，且补充题设不能相同）. N M F E O A F E O A
平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴、y轴上，且OA、OB的长满足方程x2﹣16x+64=0． （1）求点A、B的坐标； （2）将点A翻折落在线段OB的中点C处，折痕交OA于点D，交斜边于点E，求直线DE的解析式； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内，是否存在点F使点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，?ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动，两点均运动到点D停止． （1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ （2）在相遇前，是否存在过点M和N的直线将?ABCD的面积平分？若存在，请求出所需时间；
若不存在，请说明理由． （3）若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 3．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （1）如图，已知折痕与边BC交于点E，连结AP、EP、EA．求证：△ECP∽△PDA； （2）若△ECP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （3）在（2）的条件下以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，问在坐标平面内是否存在点M，使得以点A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．
特殊的平行四边形专题(题型详细分类)
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 四边形分类专题汇总 专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： 矩形菱形正方形 性 质 边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角四个角都是直角对角相等四个角都是直角 对 角 线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对 角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有 一个角是直角; ·是平行四边形且两 条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形
（1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC 9.在下列命题中，真命题是（） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（） A一组对边平行的四边形是平行四边形B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形
特殊平行四边形动点及存在性问题压轴题终审稿)
特殊平行四边形动点及存在性问题压轴题 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
特殊平行四边形中的动点及存在性问题 【例1】正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F 的坐标. 【例2】如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D是OA的中点,点P在BC上运动,当三角形△ODP是腰长为5的等腰三角形时，P的坐标为； 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0）， 并且a，b满足16 b=．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒） （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标． 【例3】（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为；