2.2数列的极限

课 题：2.2

数列的极限

教学目的：

1. 理解数列极限的概念；

教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限 教学难点：数列极限的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

这节课一开始就把学生引入数列是否“趋向于”一个常数的讨论中，虽然学生对“趋向于”并没有精确的认识，但是凭借他们的自身的感受，运用“观察”“分析”“归纳”“概括”也能得到一些数列的“极限”的肤浅认识，这是感性认识 数列的极限是一个十分重要的概念，它的通俗定义是：随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a (即|a n －a |无限地接近于0)，它有两个方面的意义. 教学过程：

一、复习引入：

1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的

过程可以无限制地进行下去（1）可以求出第n 天剩余的木棒长度n a ＝

1

2n

(尺)；（2）前n 天截下的木棒的总长度n b ＝1-

1

2

n (尺) 分析变化趋势. 2. 观察下列数列，随n 变化时，n a 是否趋向于某一个常数： (1)n n a n

12+=

; (2)n n a )3

1(3-=; (3)a n =4·(－1)n －1

; (4)a n =2n ; (5)a n =3; (6)a n =n n 2)1(1--; (7)a n =(2

1)n

; (8)a n =6+n 101

二、讲解新课：

1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是

数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞

=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等

于a ”

“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞

=有

时也记作：当n →∞时，n a →a ．

理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n

q （1

→q q n

n

三、讲解范例：

例1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，

21，31，…，n 1

，… ； （2）21，32，43，…，1

+n n ，…；

（3）－2，－2，－2，…，－2，…；

（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n

)1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n

)1(-，…； 解：（1）1，

21，31，…，n

1

，… 的项随n 的增大而减小，且当n 无限增大时，n 1无限地趋近于0.因此，数列｛n 1｝的极限是0，即lim n →∞n

1

＝0. （2）

21，32，43，…，1

+n n

，…的项随n 的增大而增大，且当n 无限增大时，1+n n 无限地趋近于1.因此，数列｛1+n n ｝的极限是1，即lim n →∞1

+n n ＝1.

（3）－2，－2，－2，…，－2，…的项随n 的增大都不变，且当n 无限增大时，无限地趋近于－2.因此，数列｛-2｝的极限是-2，即

lim n →∞

(-2)＝-2.

（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n

)1.0(-，…的项随n 的增大而绝对值在减小，且当n 无限增大时，n

)1.0(-无限地趋近于0.因此，数列｛n

)1.0(-｝的极限是0，即

lim

n →∞

n

)1.0(-＝0. （5）－1,1，－1，…，n

)1(-，…的项随n 的增大而在两个值－1与1上变化，且当n 无限增大时，n )1(-不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列｛n

)1(-｝无极限

四、课堂练习：

1．下列命题正确的是（ ）

①数列

(){}31n

-没有极限 ②数列()

?

??

?

??-n n

21的极限为0 ③数列??

?????????

??? ??-+n

233的极限为3 ④ 数列()

??????????n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④

答案：D

2. 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限

（1）1，

41，91，…，21

n

，… ； （2）7，7，7，…，7，…； （3）ΛΛ,2)1(,

,81,41,21n

n

---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，

n

10

1，…； （6）0，,32,21--…，11

-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1

+-+n n ，…； （8）,51,5

9,54…，52n ，…；

（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n

,…，

答案：⑴0 ⑵7 ⑶0 ⑷不存在 ⑸0 ⑹-1 ⑺0 ⑻不存在 ⑼不存在．

3.命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )

A.0

B.1

C.2

D.3 答案：B.由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =

n

1

这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1

--它是摇摆的无穷数列，它的极限是

零.因为|a n －0|=|n n 2)1(1--－0|=n

21

可以任意小.故选B.

4.下列数列，不存在极限的是…( )

A.ΛΛ,)1(,,271,81,131n n ---

B.ΛΛ,)

1(1,,431,321,211+???n n C.－1，1，－1，1，…，(－1)n

，… D.ΛΛ,1

,,34,23,

2n

n + 答案：C.选项A 的极限是0，选项B ，a n =

)

1(1

+n n 的极限是0，选项D 的极限

a n =

n n 1+=1+n

1

→0+1=1. 五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力 六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.设等比数列{q n －1

}(|q |＞1)的前n 项和为S n ，则∞→n lim n

n S S 2

+的值是

A.

21q B.41q

C.q 2

D.q 4

2.已知a ＞b ＞1，则∞→n lim 1

111

-++++-n n n n b a b a 的值是

A. －

a

b

B.

a

1

C.－b

D.不存在 3.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =4

1

,则首项a 1的取值范围是

A. （0，41）

B.（0，21）

C.（0，41）∪（2

1

,41）D.（0，41）∪（21，1）

4.设f (x )=(1+x )+(1+x )2

+…+(1+x )n ，f (x )中x 2

的系数为T n ，则∞→n lim n

n T n

23+等于

A.

3

1 B.

6

1

C.1

D.2

5.已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，其前n 项的和为S n ,若集合N={S |S =∞

→n lim

n

n

S S 2}，则N 等于 A.{0，1}

B.{1，

21 } C.{0，2

1

} D.{0，1，

2

1

} 6. ∞

→n lim )11(--+n n n 等于

A.1

B.0

C.

2

1 D.不存在

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.无穷数列{

2

31

2

++k k }（k =1,2,3,……）的各项和是___________. 8.在数列{a n }中，若∞

→n lim (3n －1)a n =1,则∞

→n lim na n =___________.

9.设数列{a n }，{b n }均为等差数列，（公差都不为零），∞

→n lim

n

n

b a =3,则∞

→n lim

n

n

a n

b b b 3221????++=___________.

10.已知∞→n lim （1

1

2++n n －an －b ）=0，则a =___________,b =___________.

11.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞

→n lim （

2

1

)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知f (x )=

4

22+x (x ＞0),设a 1=1,且a n +12

·f (a n )=2(n ∈N *)，

求(1)数列{a n }的通项公式；（2）∞

→n lim

2

2

2

322

44n n a n a n b

b ?+--

13.如图，在边长为l 的等边△AB C 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆O n 的面积为a n ，(n ∈N *). (Ⅰ)证明{a n }是等比数列；

（Ⅱ）求∞

→n lim （a 1+a 2+a 3+…+a n )的值.

14.设数列{a n }满足a 1+

3232a a ++…+n

a n =a 2n

－1,{a n }的前n 项和为S n (a ＞0,a ≠1,n ∈N *).

(1)求a n ; (2)求∞

→n lim

n

a S n n

)1(2-；

（3）求证：(n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2

参考答案：

一、1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 二、7.

21 8.31 9.92 10.1 －1 11.21＜a 1≤2

3

,且a 1≠1. 三、12.解：（1）由a n +12

·f (a n )=2,得a n +12

·

4

2

2

+n a =2 ∴a n +12

－a n 2

=4 ∴{a n 2

}是以1为首项，4为公差的等差数列，

∴a n 2

=1+4(n －1)=4n －3 ∵a n ＞0 ∴a n =34-n

(2)原式=∞→n lim 34243

42

324---?+-n n n n b 当|b |＜2,即－2＜b ＜2时，原式=－3

1

当|b |=2，即b =±2时，原式=

5

7 当|b |＞2，即b ＞2或b ＜－2时，原式=b

2

综上，原式=21

,(22)37

,(2)5,(22)b b b b b ?--<

?><-??

或

13.解：（Ⅰ）记r n 为圆O n 的半径.r 1=

21tan30°=63l ，n n n n r r r r +---11=sin30°=2

1

∴r n =3

1r n －1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122

l π

9

1

)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. （Ⅱ)∵a n =(9

1)n

－1·a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n )=3239

1121l a π=-.

14.解（1） ∵a 1+

n

a a a n +???++323

2=a 2n －1 ∴a 1+

1

3213

2-+???++-n a a a n =a 2(n －1)－1(n ≥2) ∴a

2(n －1)

－1+

n

a n =a 2n －1 ∴a n =n (a 2n －a 2n －2

)(n ≥2) ∵a 1=a 2

－1 ∴当n =1时，等式亦成立. ∴a n =n (a 2n

－a

2n －2

)n ∈N *

(2)由（1）a n =n (a 2n －a 2n －2)=n (a 2－1)a 2n －2 ∴S n =(a 2－1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n －2

)

a 2S n =(a 2－1)(a 2+2n 4+…+(n －1)a 2n －2+na 2n ) a 2S n －S n =－(1+a 2+a 4+…+a 2n －2－na 2n )(a 2－1)

(a 2

－1)S n =－(1122--a a n －na 2n )(a 2－1) ∴S n =－)

1(212--a a n +na 2n

∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n

)1(11

2222----=∞→n lim ［)1(11222---a n a a n n ］=2

20,(1)1,(1)

a a ???． (3)若要证（n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2，只要证

11+++n a n a n n ＜2·2

2++n a n ∵2·1

212+--+++n a n a n a n n n =2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n n

n n

=(a 2－1)·a 2n －2(2a 4－1－a 2)=(a 2－1)2·a

2n －2

(2a 2

+1)＞0

∴原不等式成立.