《数值计算方法》复习资料

第一章数值计算方法与误差分析

第二章非线性方程的数值解法

第三章线性方程组的数值解法

第四章插值与曲线拟合

第五章数值积分与数值微分

第六章常微分方程的数值解法

自测题

课程的性质与任务

数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析

一考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求

1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及

它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

三例题

例1设x*= π=3.1415926…

近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有

即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.

又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.

而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.

这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；

例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：

2.000 4 －0.002 009 0009 000.00

解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限

x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有

效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5

x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，

a=9，相对误差限εr＝＝0.000 056

x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相

对误差限为εr＝＝0.000 000 56

由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.

例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln2≈0.693。

第二章非线性方程的数值解法

一考核知识点

二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。

二复习要求

1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间(a,b)有根的充分条件。

2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法，知道其收敛性。

3. 熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。

4. 掌握弦截法。

三例题

例1证明方程1－x－sin x＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过

0.5×10－4的根要迭代多少次？

证明令f(x)＝1－x－sin x，

∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0

∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又

f'(x)=1－c os x>0(x∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.

给定误差限ε＝0.5×10－4，有

只要取n＝14.

例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根.计算过程保留4位小数.

[分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间.若建立迭代格式

，此时迭代发散.

建立迭代格式，此时迭代收敛.

解建立迭代格式

取 1.5185

例3 用弦截法求方程x3－x2－1＝0，在x=1.5附近的根.计算中保留5位小数点. [分析] 先确定有根区间.再代公式.

解f(x)= x3－x2－1，f(1)=－1，f(2)=3，有根区间取[1,2].

取x1=1, 迭代公式为

(n=1,2,…)

取 1.46553，f(1.46553)≈－0.000145

例4选择填空题

1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.

答案：f(a)f(b)<0

解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.

2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=?(x),则f(x)=0的根是( )

(A)y=x与y=?(x)的交点(B) y=x与y=?(x)交点的横坐标

答案：(B)

解答：把f(x)=0表成x=?(x), 满足x=?(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=?(x)的交点的横坐标.

3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建

立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )　

(A)

(B)

(C)

(D)

答案：(A)

解答：

在(A)中

故迭代发散.

在(B)中，故迭代收敛.　

在(C)中，，

故迭代收敛.　

在(D)中，类似证明，迭代收敛.

第三章线性方程组的数值解法

一、考核知识点

高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯――赛德尔迭代法，超松弛

迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。

二、复习要求

1. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。

2. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。

3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概

念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。

三、例题

例1用顺序消去法解线性方程组

解顺序消元

于是有同解方程组：

回代得解：x3=－1, x2=1,x1=1。原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组

解建立迭代公式

(k=1,2,3,…)

第1次迭代,k=0，X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T,

第2次迭代，k=1，

，得到X(2)＝(5,－3,－3)T

第3次迭代，k=2，

，得到X(3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k=3，

，得到X(4)＝(1,1,1)T

例3填空选择题：

用高斯列主元消去法解线性方程组

作第1次消元后的第2，3个方程分别为。

解答 1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3

，消元得到

是应填写的内容。

2.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中

＝(k=0,1,2,…)

解答高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。答案是：

3. 当( )时，线性方程组

的迭代解一定收敛。

(A) >6 (B) =6 (C) <6 (D) >∣6∣

解答：当∣a∣>6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第3章定理知，迭代解一定收敛。应选择(A)。

第四章插值与曲线拟合

一考核知识点

插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，最小二乘法，直线拟合。

二复习要求

1. 了解插值函数，插值节点等概念。

2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。

3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。

5.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，

三例题

例1已知函数y=f(x)的观察数据为

x k －2045

y k 51－31

试构造f(x)的拉格朗日多项式P n(x)，并计算f(－1)。

解先构造基函数

所求三次多项式为

P3(x)=

＝＋－＋

＝

P3(－1)＝

例2已知函数y=f(x)的数据如表中第2，3列。计算它的各阶均差。

解依据均差计算公式，结果列表中。

k x k f(x k)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差

00.400.410 75

10.550.578 15 1.116 00

20.650.696 75 1.168 000.280 00

30.800.888 11 1.275 730.358 930.197 33

40.90 1.201 52 1.384 100.433 480.213 000.031 34

计算公式为：

一阶均差

二阶均差

………

例3设是n+1个互异的插值节点，是拉格

朗日插值基函数，证明：

证明P n(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+y n l n(x)＝

当f(x) 1时,1＝

由于 ,故有

例4满足条件

的插值多项式p(x)=_________________

解设所求的为p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3

由插值条件知

解之得a2 =3/2 a3 = - 1/2

所求的插值多项式为p(x)= -1/2x3 + 3/2x2

例5选择填空题

1.通过四个互异节点的插值多项式P(x),只要满足( ),则P(x)是不超过一次的多项式。

(A) 初始值y0=0 (B) 一阶均差为0 (C) 二阶均差为0 (D)三阶均差为0

解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x－x0)

它是不超过一次的多项式。故选择(C)正确。

2. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )

(A) (B) f(x,x0,x1,x2,…,x n)(x－x1)(x－x2)…(x－x n－1)(x－x n)

解答：(A)，(D)。

第五章数值积分与数值微分

一考核知识点

数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿――柯特

斯求积公式，柯特斯系数及其性质，(复化)梯形求积公式，(复化)辛卜生求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯――勒让德求积公式；(二点、三点)插值型求导公式。

二复习要求

1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。

2. 了解牛顿?柯特斯求积公式和柯特斯系数的性质。熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)辛卜生求积公式。

3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯?勒让德求积公式求定积分的近似值。

4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。

三例题

例1试确定求积公式的代数精度。

解当f(x)取1,x,x2,…计算求积公式何时精确成立。

(1) 取f(x)=1,有：左边＝, 右边＝2

(2) 取f(x)=x,有：左边＝, 右边＝0

(3)类似导出，取f(x)=x2, x3, 有左边=右边

(5) 取f(x)=x4,有：左边=2/5, 右边=2/9

当k≤3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2试用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式计算定积分

(计算结果取5位有效数字)

(1)用梯形公式计算

(2)用柯特斯公式系数为

＝

(3)如果要求精确到10－5，用复化辛卜生公式，截断误差为

∣R N[f]∣, N≥2

只需把[0.5,1]4等分，分点为0.5,0.625,0.75,0.875,1

例3用三点高斯－勒让德求积公式计算积分

解做变量替换，有＝。

查表得节点为 0.774 596 669 和0；系数分别为0.555 555 5556和0.888 888 8889

＝

+0.888 888 889×＋＝0.94083124例4已知函数值f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206 612，用三点公式计算

在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。

解三点导数公式为

k=1,2,3,…,n－1

本例取x0=1.0, x1=1.1, x2=1.2, y0=0.250 000,y1=0.226757,y2=0.206 612,h=0.1。于是有

例5选择填空题

1. 如果用复化梯形公式计算定积分,要求截断误差不超过0.5×10－4，试问n≥( )

(A) 41 (B) 42 (C) 43 (D) 40

解答；复化的梯形公式的截断误差为

，n=40.8 ,取n≥41。故选择(A)。

2.已知n=3时，柯特斯系数，那么＝

解答：由柯特斯系数的归一性质，

第六章常微分方程的数值解法

一考核知识点

尤拉公式，梯形公式，改进尤拉法，局部截断误差；龙格――库塔法，局部截断误差。

二复习要求

1.掌握尤拉法和改进的尤拉法(梯形公式、预报－校正公式)，知道其局部截断误差。

2. 知道龙格?库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格?库塔法。掌握四阶龙格――库塔法，知道龙格?库塔法的局部截断误差。

三例题

例1用尤拉法解初值问题,取步长h=0.2。计算过程保留6位小数。

解h=0.2, f(x)=－y－xy2。首先建立尤拉迭代格式

当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)≈y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8

当k＝1,x2=0.4时,已知x1=0.2, y1=0.8,有y(0.4)≈y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4当k=2,x3=0.6时,已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0.6)≈y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)=0.8

例2用尤拉预报－校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算y(0.2),y(0.4)的近似值，小数点后至少保留5位。

解步长h=0.2, 此时f(x,y)=－y－y2sin x

尤拉预报－校正公式为：

有迭代公式:

当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有

当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1.4，有

=0.52608

例3写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。

解此处f(x,y)=8－3y, 四阶龙格－库塔法公式为

其中κ1=f(x k,y k)；κ2=f(x n+h，y k+hκ1)；κ3=f(x k+h，y n+hκ2)；κ4=f(x k+h，y k+hκ3)

本例计算公式为：

其中κ1=8－3 y k；κ2=5.6－2.1 y k；κ3=6.32－2.37y k; κ4=4.208＋1.578y k

当x0=0,y0==2,

浙江中医学院计算机科学与技术系

数值计算方法试题及答案

【数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

数值计算方法复习题2

习题二 1. 已知，求的二次值多项式。 2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。解：；，介于x和0，1决定的区间；，当时。 3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。0.54667，0.000470；0.54714，0.000029 4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。 5. 已知，求及的值。1，0 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。， 7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。向后插值公式 8. 下表为概率积分的数据表，试问：1）时，积分2）为何值时，积分？。

9. 利用在各点的数据（取五位有效数字），求方程在0.3和0.4之间的根的近似值。0.3376489 10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。 11. 依据数表11 项式。 12. 在上给出的等距节点函数表，用分段线性插值求的近似值，要使截断误差不超过，问函数表的步长h应怎样选取？ 13. 将区间分成n等分，求在上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。 14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故 15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少? 解：用误差估计式，

数值计算方法学习心得

数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比思维本身更重要。我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项目对自己发展的巨大帮助了。同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种保护。再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据集放在上面都更方便一些。

然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述，就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量可以参考的文献。最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析，不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。数值分析学习心得体会

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；（答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为

( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。 13、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为，1 ,进行两步后根的所在区间为，。 15、、 16、计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为，用辛卜生公式计算求得的近似值为，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12+n )次代数精度。

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

数值分析习题与答案

第一章绪论习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因

，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8），令因得 3. 若，求和.

解：由均差与导数关系于是 4. 若互异，求的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表

数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。误差计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表第三章泛函分析泛函分析概要泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

如果 a 是相容范数，且任何满足为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽范数范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之矩阵范数通常也称为相容范数。象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间，内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那外，还规定其必须满足相容性: 所以

数值计算方法试题

数值计算方法试题重庆邮电大学数理学院一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, ,

5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度至少具有,,,次代数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、

5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题格式 1、是,,,阶方法二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题

数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-

数值计算方法试题一

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（），c =（）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8≥n ，（2）7≥n ，（3）10≥n ，（4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5