例1:讨论函数3
22
+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
4.证明方法和步骤:
6.函数的单调性的应用:
判断函数)(x f y =的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域)。
例4:求函数12-=x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值.
二、奇偶性
1.定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-,那么函数f(x)就叫偶函数;
(等价于:0)()()()(=--?=-x f x f x f x f )
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-,那么函数f(x)就叫奇函数。
(等价于:0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f )
注意:当0)(≠x f 时,也可用1)()(±=-x f x f 来判断。
2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对
称。
若函数)(x f 为奇函数,且在x=0处有定义,则0)0(=f ;
3.判断一个函数的奇偶性的步骤
⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断
)
()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。
4.奇偶函数图象的性质
奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数。 偶函数的图象关于y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数为偶函数。
5.常用结论:(1)奇偶性满足下列性质:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。 例4:判断函数
2
21)(2
-+-=
x x x f 的奇偶性。
分析:解此题的步骤(1)求函数的定义域;(2)化简函数表达式;(3)判断函数的奇偶性
针对性练习:
1、判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x
x x f 2)(3
+= ⑵、2
4
32)(x x
x f +=
⑶、
1
)(2
3--=
x x x x f ⑷、2
)(x x f = []2,1-∈x
⑸、x
x x f -+-=
22)( ⑹、2
211)(x x x f -+-=
2、判断函数???<≥-=)
0()0()(2
2x x x x x f 的奇偶性。
.
)(),()()()()()(,0,0)()()(,0,0)
(0)0(:2
2
222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==
3、已知8
)(35
-++=bx ax x
x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f (利用奇偶
性求函数值)
4、已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数,比较)5(-f ,)1(f ,)3(f 的大小。(利用奇偶性比较大小)
5、已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ,求)(x f 的解析式?(利用奇偶性求解析式)
6、若3
)3()2()(2
+-+-=x k x k x f 是偶函数,讨论函数)(x f 的单调区
间?(利用奇偶性讨论函数的单调性)
7、已知函数)
0()(23
≠++=a cx bx ax x f 是偶函数,判断cx
bx ax
x g ++=23
)(的奇偶性。(利用奇偶性判断函数的奇偶性)
8、定义在R 上的偶函数
)
(x f 在)0,(-∞是单调递减,若
)
123()12(22+-<++a a f a a f ,则a 的取值范围是如何?(利用奇偶
性求参数的值)
9、(2004.上海理)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式x ()010、已知函数1().21x
f x a =-+,若()f x 为奇函数,则a =________。
(利用定义解题)
函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称
定理1:函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+,则函数()x f y =的图象
关于直线2
b
a x +=对称. 推论1:函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+,则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.
推论2:函数()x f y =满足()()x f x f -=,则函数()x f y =的图象关于直线0=x (y 轴)对称.
◆函数的周期性
定理2:函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()T x f x f +=,则
()
x f 是以T 为周期的周期函数;