高考平面向量及其应用专题及答案百度文库

一、多选题

1．下列说法中错误的为（）

A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??

???

不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a

D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b

B a

=，则该三角形的形状是（） A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且

C <<

，4b =，则以下说法正确的是（）

A ．3

C π

B ．若72

c =

，则1cos 7B =

C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形

D ．若ABC 的面积是4

4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ???

，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（）

A ．14,33?? ???

B ．97,2?? ???

C ．14,33??-- ???

D ．(7，9)

6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4.

B ．若4A

C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =

D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<

7．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（）

A ．

B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解

C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解

D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解

8．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（）

A ．2

AB AB AC B ．2

BC CB AC C ．2AC

AB BD

D ．2

BA BD

BC BD

9．在ABC 中，若30B =?，23AB =，2AC =，则C 的值可以是（） A ．30° B ．60°

C ．120°

D ．150°

10．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF

CE G =，

则（）

A ．12

AF AD AB =+ B ．1

()2

EF AD AB =

+ C ．2133

AG AD AB =

- D ．3BG GD =

11．设a 为非零向量，下列有关向量

a 的描述正确的是（） A ．|

|1||

a a =

B ．

//||

a a a

C ．

a a a =

D ．

||||

a a a a ?=

12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（） A ．(0,1)-

B ．(6,15)

C ．(2,3)-

D ．(2,3)

13．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（） A ．AB BC =

B ．AB B

C =

C ．AB C

D AD BC -=+

D ．AD CD CD CB +=-

14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-

15．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C

处,,那么x 的值为( )

A B ．C ．D ．3

二、平面向量及其应用选择题

16．已知ABC 的面积为30，且12

cos 13

A =，则A

B A

C ?等于（） A ．72

B ．144

C ．150

D ．300

17．下列命题中正确的是（） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ?=?≠，则a b =

C ．若,,,A B C

D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ?>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角 18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若

lg lg lg sin lg 2a c B -==-，且0,2B π??

∈ ???

，则ABC 的形状是（）

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

19．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()

20BC OB OC OA ?+-=，则

ABC 一定为（）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．钝角三角形

20．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

t <<

时，夹角θ的取值范围为（） A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23

ππ??

???

D ．20,

3π?? ???

21．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→

-的最小值为1，则（）

A ．若θ确定，则||a →

唯一确定 B ．若θ确定，则||b →

唯一确定 C ．若||a →

确定，则θ唯一确定

D ．若||b →

确定，则θ唯一确定

22．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边

AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大

的数），则m 的最小值为（） A ．M

B ．N

C ．22

D ．1

23．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =，

45B =?，则sin C 的值等于（）

A ．

441

B ．

C ．

425

D ．

441

24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230

OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．不能确定

25．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（）

A ．33A

B A

C HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=-

C ．24AB AC HM MO +=+

D ．24AB AC HM MO +=-26．题目文件

丢失！

27．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，

2220a c b ac +--=，2c =，则a =（）

A 3

B ．1

C ．

D ．

28．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1

MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2?

?-- ??

C ．31,2?? ???

D ．(8，－1)

29．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1

BD DC =

，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（）

A ．m n +是定值，定值为2

B ．2m n +是定值，定值为3

C ．

m n +是定值，定值为2 D ．

m n

+是定值，定值为3 30．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

31．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3

C π

∠=

，且

sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：

①2a b = ②ABC ?83

③ABC ?的周长为43+ ④ABC ?外接圆半径43

R =

这四个结论中一定成立的个数是（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

32．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()

20c a c b ?--=，则b c ?的最大值为（） A ．

B ．2

C ．

174

D ．4

33．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2

26,c a b =-+3

C π

，则

ABC 的面积为（）

A ．6

B ．

C ．3

3D 334．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →

→

?=?=?，则ABC 的形状为（）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形

D ．不确定

35．在ABC ?中，设22

2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（） A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ．外心

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，

且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B 解析：ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++

142350λλλ=+++=+>，

且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以5

λ>-

且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；

对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?，则2

3()||||2

a a

b a a b a ?+=+?=

， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，

故2

3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===

+?∣，而向量的夹角范围为[]0,180??，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.

2．D 【分析】

在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】在中，因为，由正弦定理得，所以，即，所以或，解得或.

故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查

解析：D 【分析】在ABC 中，根据

cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.

【详解】

在ABC 中，因为

cos cos A b

B a =，由正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=，所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，

解得A B =或2

A B π

+=.

故ABC 是直角三角形或等腰三角形.

故选： D. 【点睛】

本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3．AC 【分析】

对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；

对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利

解析：AC 【分析】

对于A

2sin sin A C A =，即可求出C ；对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；

对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得

A B C ==；

对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ．【详解】

2sin c A =

2sin sin A C A =，因为sin 0A ≠

，故sin 2

C =，因为(0,

C π

∈，则3

C π

，故A 正确；

若72

c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =

，则4sin sin 72

b B C

c == 因为(0,)B π∈

，则1

cos 7

B =±，故B 错误；若sin 2cos sin A B

C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，

2sin c A =

，即sin a A =

sin 2cos A c B =

，所以sin A B =，

因为23A B C ππ+=-=，则23

A B π=

，故2sin()3B B π

-=，

sin 2B B B +=

，即1sin cos 22

B B =，

解得tan B =3

B π

，则3

A π

，

即3

A B C π

===

，所以ABC 是等边三角形，故C 正确；若ABC

的面积是

sin 2

ab C =2a =，由余弦定理可得2

2cos 416224122

c a b ab C =+-=+-???=

，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，

由正弦定理可得24

sin c R C =

==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误，故选：AC ．【点睛】

本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．

4．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,

所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得

sin sin a c

A C

=, ∴

sin sin c C A a ==而a c <,

∴ A C <,

∴

566

C π

π<<, 故3C π

或

π. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

5．ABC 【分析】

先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点，，则

选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选

解析：ABC 【分析】

先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】

由点()4,6A ，33,2B ?

?- ???，则972，

AB ??=-- ???

选项A . 914

73023

??-?--?= ???,所以A 选项正确.

选项B. 9977022??

--?= ???

,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????

-?---?-= ? ?????

,所以C 选项正确. 选项D. 979702??

-?--?≠ ???

,所以选项D 不正确故选：ABC 【点睛】

本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.

6．ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．

解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图

解析：ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】

解：由正弦定理得2

24sin sin30AB R ACB =

==∠?

，故A 正确；

对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．易知当

x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；

当AD AB AC <<，即1

x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．

故B ，D 正确，C 错误．故选：ABD ．

【点睛】

本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．

7．ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于，因为为锐角且，所以三角

解析：ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当

sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.

对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；

对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92

c B b c =?==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；

对于C ，因为B 为锐角且 sin 432

c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；

对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.

8．AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】

对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，,故C 错误；对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查三角形

解析：AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，2

cos AB AB AC AB AC A AB AC

AB AC

，故A 正确；

对于B ，

cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC

CB AC

，

故B 错误；

cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD

,故C 错误；对于D ，2

cos BD BA BD

BA BD ABD BA BD BD BA

cos BD BC BD

BC BD CBD BC BD

,故D 正确.

故选：AD. 【点睛】

本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.

9．BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】

由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

解析：BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得sin 2

C =，再由()0,150C ∈??即可得解. 【详解】

由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1

sin 2sin 2AB B C AC ?===，又30B =?，所以()0,150C ∈??，所以60C =?或120C =?. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

10．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有 ∴，即C 错误同理，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 11

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333

AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误同理21212

()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =

+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1

()3

GD AD AB =-

∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

11．ABD

【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，

，所以D正确.

故选：ABD

解析：ABD

【分析】

首先理解a

a表示与向量

a同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

a表示与向量a同方向的单位向量，所以1

=正确，//

a正确，所以AB正确，当

a不是单位向量时，a

=不正确，

cos0a

a a

a a a a

a a a

?==?=，所以D正确.故选：ABD

【点睛】

本题重点考查向量a

a的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

表示与向量a同方向的单位向量.

12．ABC

【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.

【详解】

第四个顶点为，

当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为；

当时，，

解得

解析：ABC 【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】

第四个顶点为(,)D x y ，

当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，

解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，

解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，

解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC . 【点睛】

本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

13．BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，

解析：BCD 【分析】

由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】

菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；

因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =，所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，

||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.

故选：BCD 【点睛】

本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.

14．AB 【分析】

若，则反向，从而；若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

15．AB 【分析】

由余弦定理得，化简即得解. 【详解】

由题意得,由余弦定理得,

解得或. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

解析：AB 【分析】

由余弦定理得293

cos306x x

+-=，化简即得解.

【详解】

由题意得30ABC ?

∠=,由余弦定理得293

cos306x x

+-=

解得x =x 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、平面向量及其应用选择题

16．B 【分析】

首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．【详解】

解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =

，所以5sin 13

A =，所以1

||||sin 302

AB AC A ?=，得到||||626AB AC ?=?，所以12

|||||cos 62614413

AB AC AB AC A =?=??=；故选：B ．【点睛】

本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题． 17．C 【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】

因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ?=?≠，但a b ≠，故B 不正确；

,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形

ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且

||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ?>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正

确. 故选：C 【点睛】

本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．C 【分析】

化简条件可得sin 2

a B c ==

，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】

lg lg lg sin a c B -==-，

sin 2

a B c ∴

.0,2B π??∈ ???， 4

B π

∴=

由正弦定理，得

sin sin a A c C ==

，

sin cos sin 422C A C C C π???

∴==-=+? ?????

，化简得cos 0C =.

()0,C π∈， 2

C π

∴=

，则4

A B C π

π=--=

，

∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 19．C 【分析】

由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案. 【详解】

由题意，()()

2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，所以()

0BC AB AC ?+=，

取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=. 所以0BC AE ?=，即BC AD ⊥，故AB AC =，ABC 是等腰三角形. 故选：C.

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 20．C 【解析】【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+，又01

05t <<，则

高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库

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