《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案
第１章 线性规划（复习思考题）
1.什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？
答：线性规划(Lin ｅar Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支,并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建立线性规划问题要具备三要素:决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标,为决策变量的线性函数表达式,有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2.求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误? 答：(1）唯一最优解:只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解; (３)无界解:可行域无界，目标值无限增大； （4)没有可行解:线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么?
答：线性规划的标准型是:目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ,决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。
4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基,称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解,称为最优解。 最优基:最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示:
5.用表格单纯形法求解如下线性规划。
32124max x x x Z ++=
s .t . ???
??≥≤++≤++0,,862383
21321321x x x x x x x x x
解:标准化 32124max x x x Z ++=
s .ｔ． ??
?
??≥=+++=+++0,,,,862385432153
214
321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表
故最优解为T X )6,0,2,0,0(*=，即2,0,0321===x x x ，此时最优值为4*)(=X Z ． 6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：(１）表中解为唯一最优解;(2)表中解为无穷多最优解之一；(3）
下一步迭代将以1x 代替基变量5x ;(４）该线性规划问题具有无界解；（5)该线性规划问题无可行解。
表1—15 某极大化问题的单纯形表
解：（1）0,0,021<<≥c c d ;
(2）中至少有一个为零）（2121,0,0,0c c c c d ≤≤≥; （３)2
213
4,
0,0a d a c >>>； （4)0,012≤>a c ；
(5）1x 为人工变量，且1c 为包含M 的大于零的数，
2
34a d >；或者2x 为人工变量,且2c 为包含M 的大于零的数,0,01>>d a ．
７．用大M 法求解如下线性规划。
321635m ax x x x Z ++=
s ．t . ???????≥=++≤++≤++0
,,1016321823213213
21321x x x x x x x x x x x x
解：加入人工变量,进行人造基后的数学模型如下：
65432100635m ax Mx x x x x x Z -++++=
s .t . ???????=≥=+++=+++=+++)6,,2,1(010163218263215
3214321 i x x x x x x x x x x x x x i
列出单纯形表
故最优解为T X )0,0,4,0,4,6(*=，即0,4,6321===x x x ,此时最优值为42*)(=X Z . 8.A,B,C 三个城市每年需分别供应电力320,2５0和3５0单位，由Ｉ,ＩＩ两个电站提供，它们的最大可供电量分别为４00单位和45０单位,单位费用如表１—16所示。由于需要量大于可供量，决定城市A 的供应量可减少0～30单位，城市Ｂ的供应量不变,城市C 的供应量不能少于2７0单位。试建立线性规划模型,求将可供电量用完的最低总费用分配方案。
表1—1６ 单位电力输电费（单位:元)
解:设ij x 为“第i 电站向第j 城市分配的电量”（i =１，2； j =1,2,3)，建立模型如下:
232221131211162521221815m ax x x x x x x Z +++++=
ｓ.ｔ. ??
?
???
?
?
?????==≥≤+≥+=+≤+≥+=++=++3,2,1;2,1,0350270250320290450
400
23132313221221112111232221
131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x ij
9．某公司在３年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I 从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资,年末可收回本利12０％,每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II 需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%,又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过２0万元;项目ＩII 需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利１60%，但用于该项目的最大投资不得超过１5万元；项目I Ｖ需要在第三年年初投资,年末可收回本利140％，但用于该项目的最大投资不得超过１0万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有3０万元。问怎样的投资方案,才能使该公司在这个计划期获得最大利润?
解：设)1(i x 表示第一次投资项目i ,设)2(i x 表示第二次投资项目i ，设)3(i x 表示第三次投资项目ｉ，(i =1,２,3，4），则建立的线性规划模型为
)
1(4)1(3)3(14.16.12.1max x x x Z ++=
s .t . ?
??
??
???
???=≥≤≤≤----+++=+--+≤+≤+4,3,2,1,0,,1015
20
302.15.12.1302.130)3()2()1()
1(4)1(3)
1(2)1(3
)2(1)1(2)1(1)1(1)1(2)2(1)1(4)3(1)
1(2
)1(1)1(1)1(3)2(1)
1(2)1(1i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i i i 通过LIN ＧO 软件计算得:44,12,0,20,10)2(1)2(1)
1(3)1(2
)1(1=====x x x x x ． １0．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？
表１—17 家具生产工艺耗时和利润表
解:设i x 表示第i 种规格的家具的生产量（i =1,2,…,5),则
5432135.25.437.2m ax x x x x x Z ++++=
s ．t ． ???????=≥≤++++
≤++++≤++++5
,,2,1,02800343323950465343600
32643543215
432154321 i x x x x x x x x x x x x x x x x i
通过L ＩN ＧO 软件计算得:3181,642,0,254,38,054321======Z x x x x x .
1１.某厂生产甲、乙、丙三种产品,分别经过A ，B ，C 三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
表１—1８ 产品生产工艺消耗系数
（1)建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。
（2)产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产?如产品丙每件的利润增加到６,求最优生产计划。
(3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
(４)设备A 的能力如为１0０＋1０q ，确定保持原最优基不变的ｑ的变化范围。 (5)如合同规定该厂至少生产10件产品丙,试确定最优计划的变化。 解:（1)设321,,x x x 分别表示甲、乙、丙产品的生产量,建立线性规划模型
3214610m ax x x x Z ++=
s ．ｔ. ???????≥≤++≤++≤++0
,,30062260054101003213213
21321x x x x x x x x x x x x
标准化得
6543210004610m ax x x x x x x Z +++++=
ｓ.t . ???????≥=+++=+++=+++0
,,,,,300622600541010065432163215
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x
列出单纯形表
故最优解为0,3/200,3/100321===x x x ,又由于321,,x x x 取整数，故四舍五入可得最优解为0,67,33321===x x x ,732max =Z ．
(2）产品丙的利润
3c 变化的单纯形法迭代表如下:
要使原最优计划保持不变，只要0333≤-
=c σ，即67.63
63≈≤c ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.6７时,才值得安排生产。
如产品丙每件的利润增加到6时，此时6＜6.6７，故原最优计划不变。 （3）由最末单纯形表计算出
06
11,03210,061
1151413≤-=≤+-=≤--=c c c σσσ,
解得1561≤≤c ,即当产品甲的利润1c 在]15,6[范围内变化时，原最优计划保持不变。
(4)由最末单纯形表找出最优基的逆为???
?
? ??---=-10206/13/206/13/51
B ，新的最优解为
0)20100(32010050200313006001010010206/13/206/13/51
≥????
? ??--+=????? ??+????? ??---='='-q q q q b B X B
解得54≤≤-q ，故要保持原最优基不变的ｑ的变化范围为]5,4[-.
（5）如合同规定该厂至少生产１０件产品丙,则线性规划模型变成
3214610m ax x x x Z ++=
ｓ.t . ?????
????≥≥≤++≤++≤++0
,,10300622600
5410100
3213321321321x x x x x x x x x x x x x
通过LING Ｏ软件计算得到:708,10,58,32321====Z x x x .
第2章 对偶规划（复习思考题）
１．对偶问题和对偶向量（即影子价值)的经济意义是什么?
答:原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润,后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值i y 表示第ｉ种资源的边际价值,称为影子价值。可以把对偶问题的解Ｙ定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
２.什么是资源的影子价格?它与相应的市场价格有什么区别？
答：若以产值为目标，则i y 是增加单位资源i 对产值的贡献,称为资源的影子价格（Sh ａd ｏw Pr ｉce ）。即有“影子价格=资源成本＋影子利润”。因为它并不是资源的实际价格,而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时,企业可以购进相应资源,储备或者投入生产;当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源,减少不必要的损失。
3.如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？
答:（１）最优性定理:设Y X ,分别为原问题和对偶问题的可行解，且Y b X C T =,则
Y X ,分别为各自的最优解。
(2)对偶性定理：若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,而且两者的目标函数值相等。
(３）互补松弛性:原问题和对偶问题的松弛变量为S X 和S Y ,它们的可行解**,Y X 为最优解的充分必要条件是0,0**==X Y X Y S S ．
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负值。若S Y -对应于原问题决策变量x 的检验数,则Y -对应于原问题松弛变量S x 的检验数。
4．已知线性规划问题
32124max x x x Z ++=
s .ｔ． ???
??≥≤++≤++0,,862383
21321321x x x x x x x x x （第二种资源）（第一种资源）
（1)求出该问题产值最大的最优解和最优值。 (2)求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
(3)给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义;第一种资源限量由2变为４,最优解是否改变?
（4)代加工产品丁,每单位产品需消耗第一种资源2单位,消耗第二种资源3单位,应该如何定价？
解：（１）标准化，并列出初始单纯形表