向量的运算法则
（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。
2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。
2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。
21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。
（4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的
长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ?
b ＝1212()x x y y +。
（6）两向量的夹角公式：
cos θ（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。
（7）平面两点间的距离公式：
,A B d ＝||AB AB AB =?（A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。
（8）向量的平行与垂直：设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，且b ≠0，则有： 1）a ||b ?b ＝λa 12210x y x y ?-=。
2）a ⊥b （a ≠0）? a ·b ＝012120x x y y ?+=。 （9）线段的定比分公式：
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12P
P PP λ=，则
121
211x x x y y y λλλλ+?=??+?
+?=?+?
?121OP OP OP λλ+=+?12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）。 （10）三角形的重心公式：
△ABC 三个顶点的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则△ABC 的重心的坐标为123123
(
,)33
x x x y y y G ++++。 （11）平移公式：
''''
x x h x x h y y k y y k
??=+=-??
???=+=-????''OP OP PP ?=+ 。 （12）关于向量平移的结论。
1）点(,)P x y 按向量a ＝(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++。
2）函数()y f x =的图像C 按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像'C :()y f x h k =-+。 3）图像'C 按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像C :()y f x =，则'C 为()y f x h k =+-。 4）曲线C :(,)0f x y =按向量a ＝(,)h k 平移后得到图像'C :(,)0f x h y k --=。
设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。[1]
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被
向量的减法
减”
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、向量的数乘
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向
当λ<0时，λa与a反方向；
向量的数乘
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍
当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。[2]
4、向量的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a，b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。3．|a·b|与|a|·|b|不等价
4．由 |a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积
向量的几何表示
（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b 的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=-b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
a×（b+c）=a×b+a×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、三向量的混合积
定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，
向量的混合积
所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即
(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质：
1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c 构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4．(a×b)·c=a·(b×c)
7.例题
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB⊥GK？
设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚：﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0. ∴LB⊥GK
8、三向量二重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：
二重向量叉乘化简公式及证明
向量运算法则知识讲解
（1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。 （4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的 长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r 。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ? b ＝1212()x x y y +。 （6）两向量的夹角公式： cos θ（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。 （7）平面两点间的距离公式： ,A B d ＝||AB u u u r （A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。 （8）向量的平行与垂直：设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，且b ≠0，则有： 1）a ||b ?b ＝λa 12210x y x y ?-=。 2）a ⊥b （a ≠0）? a ·b ＝012120x x y y ?+=。 （9）线段的定比分公式： 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12 P P 的分点，λ是实数，且12P P PP λ=u u u r u u u r ，则
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
平面向量的概念、运算及平面向量基本定理
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
平面向量及其加减运算(教师版)
【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。 2.向量 既有大小又有方向的量叫做向量。 向量的大小也叫做向量的长度。（或向量的模） 3.向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。 （2）常见的表示方法 ①向量AB u u u r ，长度记为AB u u u r ； ②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r 。 4.相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。 5.相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。 6.平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。 例1:判断下列语句是否正确： （1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。 （2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相 同。 （3）向量AB u u u r 与向量BA uu u r 是同一个向量。 （4）相等向量一定是平行向量。 （5）互为相反的向量不一定是平行向量。 （6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。 解：（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）× 例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向 平面向量的减法 平面向量的加法 平面向量的概念平面向量
线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。 （1）所有与AB u u u r 相等的向量。 （2）所有与AB u u u r 互为相反的向量。 （3）所有与AD u u u r 平行的向量。 解：（1）DE AB =u u u r u u u r ； （2）与AB u u u r 互为相反的向量：BA uu u r 、ED u u u r ； （3）所有与AD u u u r 平行的向量为：DA u u u r ，BE uuu r ，EB uu u r ，EC uuu r ，CE u u u r ，BC uuu r ，CB u u u r 。 二.平面向量的加法 1.向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。 2.零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r 。 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。 对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r 。 3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r 。 4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r 。 5.向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以 第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。 6.向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。 例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r 。 略 例2 计算：（1）AB BC +u u u r u u u r AC u u u r ；OE EF +u u u r u u u r OF u u u r . （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r AC u u u r 。 （3）AB BC CD DE EF ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF u u u r 。 三、平面向量的减法 1.向量的减法
[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
向量运算法则和运算律比较1
向量运算法则和运算律
立体几何中的向量方法 一、常用方法：1、综合法；2、向量法；3、坐标法； 二、常用技巧：1、假设（存在性）：假设结论成立，待定系数建立结论成立的方程（组），根据方程组是否有解来检验结论的正误。2、设元：在向量的几何运算中，将可以确定为基底的基向量设为元，用大字字母表示，其他向量用该基向量表示，可以简化计算过程。3、平方：长度求解。4：计算量：线性运算、比例（含对应坐标比）和数量积。5、赋值：法向量求解。 三、易错易混辨析（明确定理、公式运用的前提条件） 1、错把向量比直线，本质辨清是关键。⑴共线向量的平行或重合，主要是看两个向量所在的直线有没有公共点，如没有公共点，则对应的两条直线是平行的，如果有公共点，那么对应的两条直线是重合的。⑵注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可以平行，也可以重合；但平行直线是指不重合的两条直线。 2、混淆向量与平面平行和直线与平面平行导致错误。线面平行要求直线必须在平面外，在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系，这要求同学们在平时的学习中要注意充分理解定义、定理的实质。 3、混淆向量的夹角与空间角：利用向量数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可盲目套用而忽略角的取值范围。利用向量求二面
角时，向量求解一般不能保证所示角是锐角还是钝角，这时要结合实际图形对所求角进行适当的处理，不能混淆二面角与面面角的大小。 4、方向向量、法向量的最佳求法：方向向量、法向量的求设要注意结合图形特点，找到线线平行、线面垂直的最本质的有关向量（如图形中固有的平面的垂线），减少计算环节，优化解题步骤。 四、向量应用注意点 1、从点、线、面、体的关系看向量：向量是空间中有顺序的两点，两点的连线是有向线段，即可以看作是空间多面体的棱或边，也可以看作是空间中直线的一个部分，由于向量具有平行移动性，向量移动可以构成平面，共面向量与共面直线是有区别的，由向量构成平面，一般不用共线的两个向量，这与平面的确定方式有所不同。从平面向量到空间向量，是对向量的研究从一个平面扩展多个平面（至少三个），从二维平面转向三维空间，呈现多样性、复杂性的特点。 2、向量法的适用条件：空间向量法与坐标法的结合是一个重要工具，在普通的立体几何问题中，一般不是最佳方法，除非有意考查向量的应用，所以在立体几何的问题中，解题的方法首先考虑综合法，但在图形中具体线线关系、夹角、距离等不好寻找时，可以通过建立空间直角坐标系，向量在求解有关平行、垂直、夹角、距离等方面的优势才能突显出来，这类问题的立体几何图形一般是比较规则的，具有一定的特殊性，存在较多的平行、垂直关系，能找到建立空间直角坐标系所需要的三条两两垂直的直线，夹角、线段长度关系相对固定，容易求坐标值。 3、向量法的适用范围：在立体几何中构造向量，求解有关平行、垂直、夹角、距离、比值、共线（共面）等方面的问题时，要注意分析图形的特点，充分挖掘图形中的特殊关系（如平行、垂直、特殊角等），结合立体几何图形的有关性质、定理（这些是解决问题的基础），辨析向量关系与图形中相关关系的区别与联系，正确地将向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，关键点是考虑向量的方向性和移动性。 4、一题多解的训练：解题方法的多样化来自线线关系和向量构成的多样性，学习过程中，对待每一个题目，审题时要善于从多个角度进行思考，寻找多种解题方法，加强知识间的相互联系，拓展自己的解题思路，提高自己的综合能力。
平面向量线性运算教案
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
平面向量的运算法则
平面向量运算法则 （1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。 （4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ?b ＝1212()x x y y +。 （6）两向量的夹角公式： cos θ=（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。 （7）平面两点间的距离公式：
平面向量基本运算小题专练
1．已知=（3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（）A．B．C．D． 2．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D． 3．设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A． B．C．D． 4．已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）A．2 B．﹣3 C．6 D．﹣6 5．设向量=（x﹣2，2），=（4，y），=（x，y），x，y∈R，若⊥，则||的最小值是（） A．B．C．2 D． 6．已知，则=（） A．9 B．3 C．1 D．2 7．在△ABC中，+=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则?（+）等于（） A．B．C．﹣D．﹣ 8．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（） A．B．C．D．1 9．已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（） A．λ+μ=2B．λ﹣μ=1C．λμ=﹣1 D．λμ=1 10．△ABC中，AB=5，BC=3，CA=7，若点D满足，则△ABD的面积为（）
A．B．C．D．5 11．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=（）A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（） A．B．C．1 D．3 13．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（） A．1 B．2 C．D． 14．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1） 15．已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为cosθB． C．D． 16．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（） A．1 B．C．2 D．2 17．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（） A． B．C．D． 18．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
平面向量公式
平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=
()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）
平面向量的概念及线性运算
§5.1平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a | 是a 方向上的单位向量. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ； (2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算 例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
向量及向量的基本运算
向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的 区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
初中数学向量的线性运算图文答案
初中数学向量的线性运算图文答案 一、选择题 1．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则下列选项 与1122 a b -+r r 相等的向量是（ ）． A ．MA u u u r B ．MB u u u r C ．MC u u u u r D ．MD u u u u r 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】 解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r ,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴() 11112222 a M AC a b A b =+==----u u u r u u u r r r r r ，故A 不符合题意； () 11112222 MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r r r ，故B 不符合题意； () 11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r r ，故C 不符合题意； () 11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r r r ，故D 符合题意. 故选D. 【点睛】 此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键. 2．四边形ABCD 中，若向量与 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形 C ．是平行四边形或梯形 D ．不是平行四边形，也不是梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目中给的已知条件 与 是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定 与 的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.
平面向量及其运算
平面向量及其运算 Prepared on 22 November 2020
1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。 ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。 ⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。 2、向量加减法： ①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 ②向量的减法向量→ a 加上→ b 的相反向量，叫做→ a 与→ b 的差。即：→ a → b = → a + (→ b )； b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点。 ③实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方 向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 <λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ④两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ。 3、平面向量的坐标表示 （1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作 a =(x,y)。 （2）平面向量的坐标运算：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12.
① 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ③若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ?-= ④ 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ?=?+?；若 a b ⊥，则02121=?+?y y x x 注意：与x 轴、y 轴方向相同两个单位向量i 、j 是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1i +λ2j 我们把不共线向量i 、j 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底不惟一，关键是不共线； 由定理可将任一向量ａ在给出基底i 、j 的条件下进行分解； 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，i 、j 唯一确定的数量。 ⑤向量运算运算律： 2 2 || a a a a ?==； ()()2 2 2 2 a b a b a b a b +?-=-=-； ()()() ()a b a b a b R λλλλ?=?=?∈ () 2 2 2 2a b a a b b ±=±?+2 2 2a a b b =±?+ ； ()a b c a c b c ±?=?±?()c a b =?± 4、平面向量的数量积： （1） “投影”的概念：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影 （2）() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤；规定00a ?=； 几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积 （3）设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时， a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2 2a a a a ?==或a a a =?．③a b a b ?≤．
向量的加减乘除运算
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. 向量的加法OB+OA=OC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 向量的减法 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被 向量的减法减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 向量的数乘 当λ＜0时,λa与a反方向； 向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 4、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos 〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方.