等差数列前n项求和

2．3 等差数列的前n 项和

一、教学目标

1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。

2、体会等差数列与二次函数的关系。

二、基础知识

1、数列前n 项和公式：

一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321)

2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系

当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________

3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________

4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。

5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________

6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇

s s ________________。

若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇

s s ________________。

7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则

＝m m b a _____________。 三、典例分析

例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。

解析：32111=+==s a ①

)2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ②

在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等

因此???≥-==2

,121,3n n n a n 例2、}{n a 为等差数列，1a ＝30，d=－0.6

（1） 从第几项开始0

解析：（1） 1a ＝30，d=－0.6

∴6.306.0)1(6.030+-=--=n n a n

令06.306.0≤+-n 得51≥n

即从第52项起以后个项均小于0

（2）)6.0(2

)1(30-?-+=n n n S n 120

303)6303(3.02

2+--=n 当n 取接近6

303的自然数 即n=51或50时，n s 达到最大值max s ＝765

例3、等差数列{}n a 中，12,60171-=-=a a ，若12||||||n n S a a a =+++ ，求n S 解析：数列{}n a 的公差31

17)60(12=----=d ∴633)1(1-=-+=n d n a a n

由0

所以{}n a 的前20项是负数，第20项以后是正数

当20≤n 时n n n n n S n 2

12323]32)1(60[2+-=?-+--= 20>n 1260212323)3219202060(232)1(602220+-=??+?-?-?-+

-=-=n n n n n S S S n n ∴???????>+-≤+-=20,126021232

320,21232322n n n n n n S n 四、课后检测

1、 下列数列是等差数列的是（ ）.

A. 2n a n =

B. 21n S n =+

C. 221n S n =+

D. 22n S n n =-

2、等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.

A. 3

B. 4

C. 6

D. 12

3、 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.

A. 70

B. 130

C. 140

D. 170

4、 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.

A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

5、 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.

A ．5880

B ．5684

C ．4877

D ．4566

6、 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）

A. 24

B. 26

C. 27

D. 28

7、 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） A 9 B 12 C 16 D 17

8、等差数列}{n a 共有12+n 项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（ ）.

A. 28

B. 29

C. 30

D.31

9、在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ， 则1a 为（ ） A 22.5- B 21.5- C 20.5- D 20-

10、等差数列{a n }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为（ ）

A 、5

B 、6

C 、 5 或6

D 、 6或7

11、n S 等差数列}a {n 的前n 项和，已知

59355,9a S a S ==则（ ）． A ．1 B ．1- C ．2 D ．12

12、若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足

5524-+=n n B A n n ，则1313a b 的值为（ ）

（A ）5160 （B ）6051

（C ）2019 （D ）87

13、 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .

14、在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .

15、在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .

16、在等差数列中，公差d ＝12

，100145S =，则13599...a a a a ++++= . 17、数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .

18、在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.

19、等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？

20、（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和2n S n n =+

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=

，求数列{n b }的前n 项和n T .

21、（本小题满分12分） 数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =+++ ，求n S 。