微积分试卷及答案
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号
一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）
1.2
ln()d x x x =? . 2.cos d d x
x =? .
3. 3
1
2d x x --=
? .
4.函数2
2
x y z e
+=的全微分d z = .
5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 .
二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分）
1.设
()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C +
(C) 2
2x x C
++ (D) ln x x x C -+
2.设
2
d 11x
k x +∞=+?
，则k = ( ).
(A) 2π
(B) 22π
(C) (D) 2
4π
3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）.
(A) z z a
b x y ??=?? (B)
z z x y ??=
?? (C) z z
b
a
x
y ??=?? (D) z z x y ??=-?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0
y f x y '=成立，则（ ）
(A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）．
(A) 211(1)n
n n ∞
=-∑
(B) 1
(1)n n ∞
=-∑ (C) 13(1)2n n
n n ∞
=-∑ (D) 1
1(1)n n n ∞=-∑
三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.
2d x x e x ?
2.4
?
四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
1.设
arctan
y z x =，求2,.z z z x y x y ???????，
2.设函数v z u =，而222,23u x y v x y =+=+，求
,z z x y ????. 3.
设方程xyz =(,)z f x y =，求,.z z
x y ????
五、计算二重积分
sin d d D
x
x y x ??其中D 是由三条直线0,,1y y x x ===所围成的闭
区域.
(本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分）
1.判别正项级数12n
n n
∞
=∑的收敛性．
2. 求幂级数1(1)2n n
n x n ∞
=-?∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.
七、求抛物线2
2y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积（本题10分）
八、设102()10
1x x x f x x e ?≥??+=?
?
(1)d f x x
-?
.（本题6分）
徐州工程学院试卷
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B
试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟
命 题 人 杨淑娥 2010 年 6 月10日 使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号
一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）
1.
2cos d 2x x ? . 2.22d dt d x t
x e x =? .
3. 21
2d x x -=
?
.
4.
函数z =的全微分d z = .
5.微分方程11
d d 0
x y y x +=的通解为 .
二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设(ln )1f x x '=+，则()f x = ( ).
(A) x
x e C ++ (B)
2
12x e x C +
+
(C) 21ln (ln )2x x C ++ (D) 212x x e e C
++
2.下列广义积分发散的是 ( ).
(A)
1
+∞
?
(B) 1d x
x +∞? (C)
2
1
d x x +∞
?
(D)
1
+∞
?
3. 设22
()z f x y =+，且f 可微，则z z
y
x x
y ??-=?? . (A) 2z (B) z (C) x y + (D) 0
4.函数
32
(,)6121f x y y x x y =-+-+的极大值点为（ ） (A) (1,2) (B) (2,1) (C) (3,2)- (D) (3,2)-- 5.下列级数绝对收敛的是（ ）． (A) 1
(1)
n
n ∞
=-∑ (B) 1
1
(1)n
n n ∞
=-∑
(C) 1
(1)n
n n
∞
=-∑ (D) 31
1(1)n
n n ∞
=-∑
三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.sin d x x x
?
2.0
x
?
四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
1.
设z =，求2,.z z z x y x y ???????，
2. 设函数2ln z u v =，而,32u xy v x y ==-，求
,z z x y ????. 3.设方程222
20x y z xyz ++-=确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z
x y ????
五、计算二重积分
2
d d D
x
y x y
??，其中D 是由三条直线0,0x y ==与22
1x y +=所
围成的位于第一象限的图形.(本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分）
1. 判别正项级数11
(21)!n n ∞
=+∑
的收敛性．
2. 求幂级数2
1(2)n n x n ∞
=-∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.
七、求由曲线y x =与2
y x =所围成的平面图形的面积. （本题10分）
八、设
2
10()0x
x x f x e x ?+<=?≥?，求3
1(2)d f x x -?.（本题6分）
徐州工程学院试卷
2010 — 2011 学年第 二 学期 课程名称 微积分 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 张娅 2011 年 5 月 20日 使用班级
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号
一、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共计15 分）
1. 函数
(
)ln z y x =-+
的定义域
为 。
2.
20
arctan lim
x
x tdt
x →=
?
。
3. 函数arctan()
=z xy 的全微分
=dz 。 4.
221
--=
?
x x dx
。 5. 幂
级
数
1n
n x n
∞
=∑的收敛域
为 。 二、选择题（共 5 小题，每题 3 分，共计 15分）
1.()()ln 1,( )f x x f
x '
=+=则
（A ）
()2
1ln ln 2x x c
+
+ （B ）212x x e c ++
（C ）x
x e c ++ （D ）212x x
e e c ++ 2.下列广义积分发散的是（ ） （A ）
1
dx
x +∞? （B
）1+∞?
（C ）
21
dx
x +∞?
（D
）1+∞?
3.关于级数
()
1
1
1n p
n n -∞
=-∑
收敛性的下述结论中，正确的是（ ）
（A ）01p <≤时绝对收敛 （B ）01p <≤时条件收敛 （C ）1p >时条件收敛 （D ）01p <≤时发散 4.微分方程ln ln 0y xdx x ydy +=满足初始条件x e
y
e ==的特解是（ ）
（A ）22ln ln 0x y += （B ）22ln ln 2x y += （C ）22ln ln 0x y += （D ）22
ln ln 2x y +=
5. ()f x 在[],a a -上连续，则下列各式中一定正确的是（ ） （A ）()0
a
a f x dx -=? （B ）()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=??
（C ）()()()0a a
a
f x dx f x f x dx -??=+-?
??? （D ）()()()0a a
a
f x dx f x f x dx -??=--???? 三、求下列不定积分和定积分（共 2 小题，每题 5 分，共计 10 分）
1. 2x
x e
dx
-? 2.
?
四、计算下列函数的偏导数（共 3小题，每题5分，共计15分）
1. 设()ln z x x y =+ ，求2,,
z z z x y x y ???????
2.
sin ,,.u z z
z e v u xy v x y x y ??===+??而求
，
3.
设方程2x y z ++=(,)z f x y =，求,.
z z x y ????
五、计算二重积分,
D
σ?? 其中D
由两条抛物线2
围成的闭区域
（本题8 分）
六、 求函数3322
(,)=339x f x y x y x y -++-的极值。（本题 8 分）
七、判别级数213n
n n ∞
=∑的敛散性。（本题 8 分）
八、求微分方程()
3
211dy y x dx x -=++的通解。（本题 8 分）
九、求由曲线1
y x =
与直线y x =，2x =所围成的封闭图形的面积。 （本题 8
分） 十、求证：()
()()()
a
y
a
m a x m a x dy e
f x dx a x e
dx
--=-???（本题 5分）
徐州工程学院试卷
2010 — 2011 学年第 二 学期 课程名称 微积分 试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 张娅 2011 年 5 月 20 日 使用班级
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号
一、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共计15 分）
6.
函数
=z 的定义域为 。
7.
32
2-=
?
x dx 。
8.
20
=?x d dx 。 9. 函数xy
z e =的全微分=dz
10. 幂级数()
1
1
1n
n n x n ∞
-=-∑的收敛域为 。
二、选择题（共 5 小题，每题 3 分，共计 15分）
1.
()()
ln ( )x
f x f
x e
x -'==?
,则
（A ）
1c x -
+ （B ）ln x c -+
（C ）1c
x + （D ）ln x c + 2.下列反常积分收敛的是（ ）
（A ）1
0dx
x ? （B
）1?
（C
）
1?
（D ）1
30dx
x ?
3.微分方程01+1+x y dx dy y x -=满足初始条件0
1x y
==的特解是（ ）
（A ）323223235y y x x ---= （B ）3232
23230y y x x +--= （C ）323223230y y x x ---= （D ）3232
23235y y x x +--=
4.下列各级数绝对收敛的是（ ）
（A ）()
1
1
121n n n n ∞
-=--∑ （B ）()()121
!13n n n n n +∞
=-∑ （C ）()
31
1
15n n n n ∞
-=-∑ （D ）(
)1
1
1n n ∞
-=-∑ 5. ()f x 在[],a a -上连续，则下列各式中一定正确的是（ ） （A ）()0
a
a f x dx -=? （B ）()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=??
（C ）()()()0a a
a
f x dx f x f x dx -??=+-???? （D ）()()()0a a
a
f x dx f x f x dx -??=--?
??? 三、求下列不定积分和定积分（共 2 小题，每题 5 分，共计 10 分） 3.
()2
ln 1x dx +?
4.
()
2
1
2
2
1x dx
x +?
四、计算下列函数的偏导数（共 3小题，每题5分，共计15分）
4. 设()1y
z xy =+ ，求2,,z z z x y x y ???????
5.
cos ,,.u z z
z e v u xy v x y x y ??===+??而求
，
6. 设方程()2sin 2323x y z x y z +-=+-确定的隐函数(,)z f x y =，求,.
z z x y ????
五、计算二重积分2
,
D
xy d σ?? 其中D 由圆周
22
4x y =+及y 轴所围成的右半闭区域
（本题 8 分）
六、求函数()22
(,)=4f x y x y x y ---的极值。（本题 8 分）
七、判别级数1212n
n n ∞
=-∑的敛散性。（本题 8 分）
八、求微分方程2
2x dy xy xe dx --=的通解。（本题 8 分）
九、求由曲线2y x =与直线,2y x y x ==所围成的封闭图形的面积（本题 8 分）
十、 求证：(
)(
)()2
1
1
y x
dy f x dx e e f x dx =-??（本题 5分）
徐州工程学院试卷
2011 — 2012 学年第 一 学期 课程名称 微积分B
试卷类型 期末A 卷 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 戴振祥 2012 年 6月 12 日 使用班级 11级各班
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号
一、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 1、过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程为
2、sin x 为()f x 的一个原函数，则()f x '
=
3、广义积分
20
1dx
x +∞
+?
=
4、级数
11111...24816-
+-+-的通项是
5、220
x t d e dt dx ?????
??= 二、选择题（共5小题，每题2分，共计10分）
1、下列关系式正确的是（ ） A 、
()()
d f x dx f x =? B 、()()
f x dx f x '=?
C 、()()d f x dx f x dx =?
D 、()()d
f x dx f x C dx =+?
2、下列级数收敛的有（ ）
A 、11n n ∞
=∑ B 、115n n ∞=∑ C 、1
1n n aq ∞-=∑（a ≠0，1
q <） D 、1n n ∞=∑
3、如果()f x 为偶函数，则下面正确的为（ ） A 、()0a
a f x dx -=? C 、()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=?? B 、()1
a
a
f x dx -=? D 、()()0
a
a
f x dx f x dx
-=-??
4、交换积分次序1
10
(,)x dx f x y dy
-??
=（ ）
A 、1100
(,)x
dy f x y dx
-?? B 、 1
10
(,)x
dy f x y dx
-??
C 、1
10
(,)dy f x y dx
?? D 、1
10
(,)y
dy f x y dx
-??
5、微分方程0dx dy
y x +=满足初始条件3
4x y
==的特解是（ ）
A 、22x y C +=
B 、22
0x y +=
C 、222x y C +=
D 、22
25x y +=
三、计算题（共9小题，每题5分，共计45分） 求下列积分
1、2
ln x xdx
?
2、221
dx a x -? （a >0）
3
、0?（a >0）
4、3
1
|2|x dx
--?
5、计算
(2)D
x y dxdy
-??,其中D 是由直线1,230,30y x y x y =-+=+-=所围成的
区域
求下列导数
6、设
2u z v =
，其中2u x y =+，2v x y =-，求z
x ??，z y ??。 7、求函数y
z x =的所有二阶偏导数。
8、若函数
43251z x y x y =+-+，求该函数的全微分dz 。 9、求方程222
2221x y z a b c ++=所确定的函数(,)z f x y =的偏导数。
四、解答题（共3小题，每题6分，共计18分）
1、求微分方程2
1
dy y x dx x -=的通解
2、判别级数121
2n
n n ∞
=-∑的敛散性
3、求幂级数1
1
(1)
n
n n x n ∞
+=-∑的收敛半径和收敛域
五、应用题（共2小题，共计10717+=分）
1
、已知一平面图形由曲线y =与直线1,4,0x x y ===所围图形,
（1）求此平面图形的面积；
（2）求此平面图形饶x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
2、某加工厂用铁板造一个体积为83
m 的有盖长方体的箱子，问当长、宽、高各取多少时，可以使用料最省？
徐州工程学院试卷
2011 — 2012 学年第 一 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期终B 卷 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 戴振祥 2012 年 6月 12 日 使用班级 11级各班
教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日
姓 名 班 级 学 号
一、填空题（共5小题，每题2分，共计10分）
1、过点(2,5)且切线斜率为2x 的曲线方程为
2、cos x 为()f x 的一个原函数，则()f x '
= 。
3、广义积分21dx x +∞
-∞+?=
4、级数2345
...1234-+-+的通项是
5、20
sin x d tdt dx ???????= 二、选择题（共5小题，每题2分，共计10分）
1、设()f x 为连续函数，则()f x dx
'?等于（ ）
A 、()f x '
B 、()f x
C '+ C 、()f x
D 、()f x C +
2、若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则下列级数不收敛的是（ ）
A 、1
2n
n u
∞
=∑ B 、n
n k
u
∞
=∑ C 、1
(2)
n
n u
∞
=+∑ D 、
1
2n
n u ∞
=+∑
3、交换积分次序1
10
(,)x
dx f x y dy
-??
=（ ）
A 、1100
(,)x
dy f x y dx
-?? B 、 1
10
(,)x
dy f x y dx
-??
C 、1
10
(,)dy f x y dx
?? D 、1
10
(,)y
dy f x y dx
-??
4、如果()f x 为奇函数，则下面正确的为（ ） A 、()()0
a
a f x dx f x dx
-=-?? B 、
()()0
2a
a
a
f x dx f x dx
-=?
?
C 、()1
a a
f x dx -=? D 、()0
a
f x dx =?
5、微分方程ln ln 0y xdx x ydy +=满足初始条件x e
y e ==的特解是（ ）
A 、22ln ln 0x y +=
B 、22
ln ln 2x y += C 、22ln ln 0x y += D 、
22ln ln 2x y += 三、计算题（共9小题，每题5分，共计45分）
求下列积分 1、
2x x e dx
?
2、221
dx a x +? （a >0）
3
、0?
（a >0）
4、20sin xdx
π
?
5、计算
(2)D
x y dxdy
-??,其中D 是由直线1,230,30y x y x y =-+=+-=所围成
的区域
求下列导数
6、设2
ln z u v =而
,32x u v x y y =
=-，求z x ??，z y ??。
7、求函数332
3z x y xy =+-的所有二阶偏导数。 8、若函数为
2
sin z y x =，求该函数的全微分dz 。 9、求方程
0y y xe x -+=所确定的函数()y f x =的导数。 四、解答题（共3小题，每题6分，共计18分） 1、求微分方程
3
2
(1)1y y x x '-
=++的通解
2、判别级数11
(21)!n n ∞
=-∑
的敛散性
3、求幂级数1
1
1
(1)
n n n x ∞
--=-∑的收敛半径和收敛域
五、应用题（共2小题，共计10717+=分）
1、已知一平面图形由曲线cos y x =
()
2
2x π
π
-
≤≤
和x 轴所围,求
(1)该图形的面积
(2)以及该图形绕x 旋转所得立体的体积。
2、某加工厂用铁板造一个体积为273
m 的有盖长方体的箱子，问当长、宽、高各取
多少时，可以使用料最省？
2009-2010（2）微积分期终考试试卷A 答案
一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）
1. 2
ln x C +
2. sin -
3. 5
4. 2
2
2
2
d 2d 2d x
y x
y z xe
x ye y ++=+
5.2
2
ln ln x y C += 或 2211
ln ln 22x y C
+=
二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分）
1. B
2. D
3. C
4. D
5. A
三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）
1.
2d x x e x ?
解
22
d d
x x
x e x x e
=
??22d
x x
x e xe x
=-?………………2分22d
x x
x e x e
=-?
22(d)
x x x
x e xe e x
=--?………………2分
22()
x x x
x e xe e
=--
2
(22) C.
x
x x e
=-++………………1分
2.
4 0?
解
令t=2,d2d,
x t x t t
==
当0042
x t x t
====
时，；时，.………………1分
42
00
2td
1
t
t
=
+
??2
11
2d
1
t
t
t
+-
=
+
?
2
1
2(1)d
1
t
t
=-
+
?
………………2分
2
2[ln(1)]
t t
=-+
………………1分
2(2ln3).
=-………………1分
四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
1.设
arctan
y
z
x
=
，求
2
,.
z z z
x y x y
???
????
，
解
2
1
()
1()
x
z y
y
x x
x
?
'
=
?+2
2
1
()
1()
y
y x
x
=-
+22
y
x y
=-
+………………2分2
1
()
1()
y
z y
y
y x
x
?
'
=
?+2
11
1()
y x
x
=?
+22
x
x y
=
+………………2分
22222222
2()()z y x y y y
x y y x y x y ??+-?=-=-???++ 22222.()y x x y -=+………………2分 2.设函数v
z u =，而222,23u x y v x y =+=+，求,z z
x y ????. 解 x z ??=z u z v
u x v x ????+????=
1(4)ln 2v v
vu x u u -+? 222312223224(23)(2)2(2)ln(2)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++ (3)
分
z z u z v
y u y v y ?????=+?????1(2)ln 3v v
vu y u u -=+? 222312223222(23)(2)3(2)ln(2)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++ (3)
分
3.
设方程xyz =(,)z f x y =，求,.z z
x y ????
解
(,,)F x y z xyz =
x F yz '=+=
y F '=
，z F '=
2分
x z F z
x F '?=-='?………………2分
y z F z y F '?=-='?2分
五、计算二重积分sin d d D
x
x y x ??其中D 是由三条直线0,,1y y x x ===所围成的闭
区域.
(本题10分)
解 100sin sin d d d d x D x
x x y x y x x =????………………4分
1
100sin d sin d x
x x x x x =?=?
?………………2分 1
(cos )
x =-………………3分
1cos1=-………………1分 六、（共2小题，每题8分，共计16分）
1.判别正项级数12n
n n
∞
=∑的收敛性．
解
1112lim lim 2n
n n n n n u n u n ++→∞→∞+=?………………3分 11
lim
22n n n →∞+==
………………3分
由比值判别法该级数收敛. ………………2分
2. 求幂级数1(1)2n n
n x n ∞
=-?∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.
解 令1t x =- 级数化为12n
n
n t n ∞
=?∑………………2分
1112lim lim (1)21n
n n n n n
a n a n ++→∞→∞?=?+?………………2分 1
lim
2(1)2n n n →∞==
+………………2分
收敛半径 2R =，
由 212x -<-<，得 13x -<<， 收敛区间(2,2).-………………2分
七、求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积（本题10分）
解 作图
解方程 ??
?-==422x y x y , 得交点：)2,2(- 和 )4,8(.………………3分 若选取y 为积分变量，则 42≤≤-y
4
2
2
1(4)d 2S y y y -=+-
? ………………4分
4
23
2
(4)1826y y y -=+-= ………………3分
八、设
102()10
1x x x f x x e ?≥??+=?
?
(1)d f x x
-?
.（本题6分）
解 令 1t x =-，则1d d ,x t x t =+=
当0121x t x t ==-==时，；时，.………………2分
211
1
1
(1)d ()d ()d f x x f t t f x x
---==?
??
1101
1d d 12x x x e x -=+++?
? 0
101(1)d ln(2)1x
x e x x e -=-+++?………………2分
1
1ln(1)ln3ln 2
x e -=-++-
3
ln(1)ln
4e =++………………2分
2009-2010（2）微积分期终考试试卷B 答案
一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）
1. 1
sin )2x x C ++（ 2.
2
222x x xe e - 3. 5
4.
d z =+ 5.22x y C +=或22
1122x y C
+=
二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.A,2.B,3.D,4.C,5.D.
三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.sin d x x x
?
解 sin d dcos cos cos d x x x x x x x x x
=-=-+???………………3分
cos sin x x x C =-++………………2分
2.0
x
?
解 令sin ,x a t =则d cos d x a t t =， 当0,0;,.
2x t x a t π
====
时时 (2)
分
2
2
2
cos d x a
t t π
=?
?
2
2
(1cos 2)d 2
a t t
π
=
+?
………………2分
2
20
11
(sin 2)22
a t t π
=
+21
4a π=………………1分
四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）
1.
设z =，求2,.z z z
x y x y ???????，
解
z x
?=?………………2分
z x
?=?………………2分