高中数学-平面向量及常见题型

高中数学-平面向量及常见题型

向量知识点

☆零向量：长度为o 的向量，记为0 ,其方向是任意的， 0与任意向量平行

☆单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a 0为单位向量

I a 0 I = 1

☆平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 平行向量也称为共线向量

uuu uuu uuu

☆向量加法AB BC = AC 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： uuu LUUT

uuur uuu uuu uuu

AB BC CD L PQ

QR AR ，但这时必须“首尾相连”.

☆实数与向量的积:

①实数入与向量a 的积是一个向量，记作入a ，它的长度与方向规定如下： （】）a a ；

（n ）当 0时，入a 的方向与a 的方向相同；当 0时，入a 的方向与a 的方向相反；当 0时，a 0， 方向是任意的 ☆两个向量共线定理：

向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数

，使得b = a

☆平面向量的基本定理：

如果e i ,e 2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量

a ，有且只有一对实数

i ,

2使:

a

i0

2e 2，其中不共线的向量 e n e

2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

☆平面向量的坐标运算：

uun

⑵若 A X i , 2i , B X 2, 22

，则 AB X 2 X i ,y 2 y

⑶若 a =（x,y ），贝u a =（

x, y)

☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

ra

若

r b

y2

r b

ra

则

y2

X

y2 %

X2

X r b

ra

x i y 2 X 2 y i

r

X>, y 2，则 a//b

r b

y1

ra 若

o

2 y

卷

^1

X

ra

则

y2

X2,

r b

y2

ra

若

5)

☆两个向量的数量积:

a ?

b _ x 1x 2 y 1y 2

a l ?b

腐—y7 抚2

r r r

a 与

b 同方向时，e =00，当且仅当a 与b 反方向时e =1800，同时0与其它任何非零向

量之间不谈夹角这一问题

补充： 线段的定比分点

设P 1 x 1 , y 1 , P 2 x 2, y 2，分点P x , y ，设R 、P 2是直线I 上两点，P 点在

I 上且不同于R 、 P 2，右存在一头数 ， 使RP

PF 2，则

叫做P 分有向线

段

RP 2所成的比（

0, P 在线段P 1P 2

内，

0 , P 在 RP 2 外) ，且

X i

X 2

X

X 1 X 2

X

2

1 ,P 为RP 2中点时，

y i y

y 1 y 2 y

1

y 2

如：ABC , A X i , y i , B X 2, y 2 , C X 3, y 3

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为 I cos

叫做a 与b 的数量积（或内积）规定0 a 0

☆向量的投影：丨b

☆数量积的几何意义： R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 的长

度与b 在a 方向上的投影的乘积

☆向量的模与平方的关系:

2

|a|

☆乘法公式成立:

r 2

a

r r 2

r 2 r r a b a 2a b

r 2

r r

r a 2a b

b

☆向量的夹角：已知两个非零向量

um r ,作 O A = a , uuu r

OB = b ,则/ AOB =

(o 0

1800

）叫做向量a 与

b 的夹角

cos = COS

当且仅当两个非零向量 I

I I 2

a a

a ra

1 2 , 2

a b 2 b 2

贝y ABC 重心G 的坐标是 勺一仝一乞,X —竺一y 3

3 3

经典例题

---- ----------- -------------

!H* .^i

例1 ?已知：是 J 一'一所在平面内一点， 匸为占二边中点， 且-i ■ - - U ,那么（ ）

命题意图：本题考查能够结合图形进行向量计算的能力 解.2OA￥OB^OC^

2

刃+ 蠢+更）亠（而+

55）二

6

両二-药

.2OA + 2OD = 0,

.: AO = OD 故选 A

例2?在平行四边形中，AB^a,AD^h,AN^3NC , M 为BC 的中点，则曲7 = __________________________________ .（用広石表 示）

命题意图：本题主要考查向量的加法和减法 ，以及实数与向量的积

湎劲一（舌十丄￡）二一

1$+

】百

4

'、

2 '

4 4

例3.如图所示，D 是厶ABC 的边AB 上的中点，则向量 J 」（）

命题意图：

本题主要考查向量的加法和减法运算能力

A . AQ= 0D

E. A0=2OD c. A0 = 30D

D . 2AO=OD

由」*亠厂得1 「一「厂'

—~ - 1 —

AM = a +—b

2

五-丄扇

(B )

(C )

旋

+2

竝

（D ） 二

点评：巧妙解法巧在取

'i -，使问题简单化.本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决

可二尋+药二-丽+丄芮

解： - ，故选A.

例4.设平面向量 I 、J 、工的和■-

1

\ 】—.如果向量一丄、〔、I ,满足

且，顺时针旋转」「后与-同向，其中二，则（ ）

命题意图：本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念

^

—-IMb

-fc*

-~~

常规解法：?.?二 V 二—，.....「.「匚| . - I 故把2七（i=i,2,3），分别按顺时针旋转 30后与

S 重合，故'，；| '

- ”，应选 D.

巧妙解法：令'-~

，则r --

【，由题意知〔—■ -■，从而排除B ，C,同理排除A ，故选D.

S +扱+鸟二o

(A )

1

2

例5 .设向量 的夹角为且'

， ，

命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积

解:设心（“），由肚一归2（初）73,加0-3很厂习珂71）

得 L "-Xi

二+巧

O

一工』

y-y^二

1

叼?_工訂

所以过抛物线上 A 、B 两点的切线方程分别是 -

，

-,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问

3xH-3x2

3历

字十头沖十2丁

，故填丄

例6?已知抛物线'一「的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 丄」 ?「二 ),a A 、B 两

点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

（I ）证明丄?为定值;

"）设厶ABM 的面积为S ,写岀’ 「-的表达式，并求 S 的最小值.

命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、 和圆锥曲线方程，以及函数的导数的应用等基本知识，考查

推理和运算能力.

解:

（I ）由已知条件，得 --，■■- ■ - '■

设川心”），巩孔莎），则才=^71

由-丄

，得

（一心1一”）“（也心一1）即［1-乃i 仇一 1）⑵ 将（1）式两边平方并把

'，V

代入得I 二

(3)

解（2）（ 3）式得一

_ 1

乃二了，且有監內二_鬼宀

山二-4，

抛物线方程为

，求导得

/=

r

CQ S

1 1 3 1 1 y= — x.x-—Xi y ————JT

即.

严+吃心E）（厲+呵_［）解岀两条切线的交点M的坐标为丄- 即二

所以X」二；“」1 所以一‘亠-二为定值，其值为0.

刖门M（宁.一1）（n ）由（I ）知在△ ABM中，FM! AB,-

S = -\A￡\\FM\ 因而 -

I MF|= J（互尹尸+（_刁；「拧+斗+号+仁J

兀乜十#+4因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y = - 1的距离，

| 朋冃HF |4| 5F|= ^+7^+2=兄 +丄+2 = +所以一一二

E胡血T|M|二十韦卡

于是

JI十令王2

由' 知S>4,且当入=1时，S取得最小值4.

向量常见题型类型(一)：向量的夹角问题

1. 平面向量a,b，满足a 1,b 4且满足a.b 2，则a与b的夹角为 ______________

2. 已知非零向量a, b满足a b ,b (b 2a)，则a与b的夹角为 ________

3. 已知平面向量a,b满足(a b).(2a b) 4且a 2，b| 4且，贝U a与b的夹角为______________

4. 设非零向量a、b、c满足|a||b| |c|,a b c,则a,b _________________

5. 已知a 2,|b 3, a b J7,求a与b的夹角。

类型(二)：向量共线问题

1.已知平面向量a (2,3x)，平面向量b ( 2, 18)，若a // b，则实数x ________________

2.设向量a(2,1),b(2,3)若向量 a b与向量c (4, 7)共线，则

3.已知向量a(1,D,b(2, x)若a b与4b 2a平行，则实数x的值是( )

A. -2

B.0 C . 1 D . 2

4已知向量OA (k,12),0B (4,5),OC ( k,10)，且A，B，C三点共线，

则k ______

■—?■—b ■—I- —b- —￥

5 ?已知a= (1 , 2), b= (-3 , 2 )若k a+2 b与2 a-4 b共线，求实数k的值；

6 .已知a, c是同一平面内的两个向量，其中 a = (1, 2)若c 2丁5，且a // c，求c的坐标

类型(三)：向量的垂直问题

1 ?已知向量a (x,1),b (3,6)且a b，则实数x的值为__________

2 ?已知a= (1 , 2), b= (-

3 , 2 )若k a+2 b与2 a-

4 b垂直，求实数k的值

■—■

3 ?已知a (4,2),求与a垂直的单位向量的坐标。

4. 已知向量a ( 3,2),b ( 1,0)且向量a b与a 2b垂直，则实数的值为_________________

5. a (3,1),b (1,3),c (k,2),若(a c b,则k _____

6. a (1,2),b (2, 3),若向量c满足于(c a) / b, c (a b),则c ____________ 类型(四)投影问题