微专题[球与几何体的内切与外接
球与几何体的外接与内切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
98，底面周长为３，则这个球的体积为 .答： 43
V π∴=球 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.
∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
三、补形法:补成长方体，正方体
例3
，则其外接球的表面积是 . 答： 249S R ππ==.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是
长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接
球的半径为R
，则有2R =
变式1：如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥BC ，DA=AB=BC=2，则球O 的体积等于 . 2
3 变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ B ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π
变式3：棱长为2的正四面体的外接球的表面积为 . π3 内切球的表面积 .3
π 变式4：四面体BCD A -中6==CD AB ,5====BC AD BD AC ,
求其外接球的表面积. π43
变式5：边长为2的正三角形ABC ?,沿高AD 翻折使B 和C 距离1，求四面体ABCD 的外接球的表面积。3
13π A O D B 图4
变式6：表面积为32的正八面体的外接球的体积为 .
π32
四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 答：43V π=球 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。答：
π22
3a 变式2：正三棱锥的高为 1
，底面边长为。求棱锥的内切球的表面积。2
3π 变式3：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为
332π， 则该三棱柱的体积为。 33
五、确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折
成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
1256
π 变式1：三棱锥P ABC -中，底面ABC ?是边长为2的正三角形，
ABC ，
且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ） ：如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，
两球体积之和最小．（1）2331
33
-=+=+r R （2）433-==r R 变式3：把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 答：3
622+．
C D
A B S O 1图3
图
球的专题训练
1．过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°则该截面的面积是( ) A ．π B . 2π C. 3π D . π32
2．ABC Rt △的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC 的距离是（ ）Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．12
3.用与球心距离为1的平面去截球所得截面面积为π，则球的体积为（ ）
A.323π
B.83π
C. 4.设M 是球心O 的半径OP 的中点，分别过,M O 作垂直于OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：( )A ．41 Ｂ．12 C ．23 D ．34
5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A ．16π
B ．20π
C ．24π
D ．32π
6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）
A ．1∶3 Ｂ．1∶3 C ．1∶33 D ．1∶9
7. 如图，正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同
一个大圆上，点P 在球面上，如果163
P ABCD V -=,则求O 的表面积为（ ）A ．4π Ｂ．8π C ．12π D ．16π
8.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，
BC =O 表面积等于( )A ．4π Ｂ．3π C ．2π D ．π
9．正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为,62则此球的表面积为（ ）A ．36π Ｂ．48π C ．50π D ．18π
10．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球
O 的表面上，E F ，分别是棱
1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．2
B ．1
C ．12+
D 11．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大
圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．4 B ．3 C ．4 D ．12
12．一个四面体A ﹣BCD 中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π50 B ．π25 C ．325π D ．3
50π 13．如图，平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，
，将其沿对角线BD 折成四面体
A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体
A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A ．π23
B ．π3
C ．π32
D ．π2
14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，
AA 1=12，则球O 的半径为（ ）A ．2173 B ．102 C ．2
13 D ．103 15．四个顶点都在球O 上的四面体ABCD 所有棱长都为12，点E 、F 分别为棱AB 、AC 的中点，则球O 截直线EF 所得弦长为（ ）A ．56 B ．12 C ．36 D ．26
16．三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA=2AB=6，则该球的体积为（ ）A ．π316 B ．π332 C ．π48 D ．π364
17．已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中
的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）A ．10 B ．11 C ．32 D ．13
18．将长宽分别为3和4的长方形ABCD 沿对角线AC 折起直二面角，得到四面体A ﹣BCD ，则四面体A ﹣BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．π25 B ．π50 C ．π5 D ．π10
19.已知球O 表面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于 。
20.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 21．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足AB ⊥AC ，AD ⊥AC ，AB ⊥AD ，则S △ABC +S △ABD +S △ACD 的最大值是 ．
22．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC 的距离为 ；
（2）过A ，B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为 ．
23．正三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若
正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是
24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四
面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= ．
25．设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入
水，并浸入半径为r 的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出
球后水面高为多少？
1-6ADDDCC 7-12 DAA DBB 13-18 ACAB D A
19. 29π 20. 34π 21.8 22. 12,3 23. 3 24. 25.
高中语文 处理球的 内切 外接 问题新人教版
高中语文 处理球的 内切 外接 问题新人教版 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题 例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。 解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的 对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积223434a a S =?=表． 正四面体的体积222212 34331BE AB a AE a V BCD A -=??=- 322212 233123a a a a =???? ??-= BCD A V r S -=?表31 ，a a a S V r BCD A 12631223323=?==∴-表 在BEO Rt ?中，222EO BE BO +=，即22233r a R +??? ? ??=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4 3h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。 例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ?的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ， 由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥ 设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2， 得截面图MEF ?及内切圆O 不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ?的内心. 设球O 的半径为r ，则MF EM EF S r MEF ++=?2，设a EF AD ==,1=?AMD S . 图2 图1
空间几何体的外接球和内切球问题说课材料
空间几何体的外接球和内切球问题
空间几何体的外接球和内切球问题 类型1 外接球的问题 1.必备知识： (1)简单多面体外接球的球心的结论. 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. (2)构造正方体或长方体确定球心. (3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法 1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径 例1-2、四面体中，， 求此四面体外接球的表面积 例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.25π B.26π C.32π D.36π 训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2 ，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π 例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773 π B.2873π C.19193π D.76193 π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.23π B.234π C.64π D.643π 类型2 内切球问题 1.必备知识： (1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等. (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.
高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习
高考文科数学中的内切球 和外接球问题专题练习Newly compiled on November 23, 2020
内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角 线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的1414π. 例4、（2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,38x x x h h =?? =?? ∴?? =??=??． ∴正六棱柱的底面圆的半径 1 2r = ，球心到底面的距离 3d = .∴外接球的半径221R r d =+=.43V π ∴= 球. 小结 本题是运用公式222 R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两 3_______________. 解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后 再
难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
*创作编号：GB8878185555334563BT9125XW* 创作者：凤呜大王* 2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222 R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各 个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球 包 直 柱 球径公式： 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? ，球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱
四 棱 锥 r 速 算 模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥 例：1．（2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径 为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．πB． 3 4 π C． 2 π D． 4 π 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1 h=，1 R=，底 面半径为r，则由 2 2 2 h R r ?? =+ ? ?? 2 222 13 1 24 r r ?? =+?= ? ?? ，2 3 4 V r h π π ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
内切球和外接球问题专题复习
内切球和外接球问题 一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径. 故表面积为27π. 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线， 23所以球的半径为3.因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是 43π. 故该球的体积为 2、求长方体的外接球的有关问题 例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 1,2,3，则此球的表面积为. 条棱长分别为 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及 高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、 宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱
微专题2 与球有关的内切、外接问题
微专题2 与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 一、直接法(公式法) 例1 (1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为________. 答案 14π 解析 因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. (2)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9 8，底面周长为3，则这个球的体积为________. 答案 4π3 解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ， 则有????? 6x ＝3，98＝6×34x 2 h ，∴????? x ＝12， h ＝ 3. ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝1 2， 球心到底面的距离d ＝ 32 . ∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π 3 . 反思感悟 本题运用公式R 2＝r 2＋d 2求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1.构造正方体 例2－1 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C.33π D.6π 答案 A 解析 联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，则正方体的面对角线即为四面体的棱长，求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，
与内切球外接球半径相关的问题
与内切球外接球半径相关的问题 有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。 我们就这部分问题，尽量总结全面。 1． 内切球和外接球的基本定义; 立体图形的内切球是指：与该立体图形的所有面都相切的球，注意是与所有面都相切，因此，很多立体图形是不存在内切球的。 基本性质是：球心到所有面的距离相等，且为内切球半径。 立体图形的外接球是指：立体图形的所有顶点都在球面上。 基本性质是：球心到所有顶点的距离相等，且为外接球半径。 2.长方体的外接球： 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为2 22c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2，长方体体对角线长l ，则2 2 22c b a R ++= 3.正方体的外接球： 正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为a 3，其外接球的直径R 2为a 3。 4.正四面体的内切球、外接球 （1）正四面体的内切球球心和外接球球心是重合的，并且都在正四面体的高线上。 （2）正四面体的高若为h ，则外接球半径34R h =，内切球半径14 r h = 5. 直棱柱的外接球： 直棱柱外接球半径的思想是：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 （1） 直棱柱的体对角线长就是外接球的直径，这是核心。 （2） 直棱柱的体对角线2=底面图形的外接圆直径2+侧棱（即高）2 6.正棱锥的外接球： 正棱锥外接球半径的思想是：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是外接球半径，列出关于半径的方程。 我们需要考虑将“球心”“底面正多边形的中心”“底面上任一个顶点”这三个点连接起来，构成一个直角三角形，利用勾股定理，列出关于半径的方程。 一般来说这个方程是：222()h R a R -+=或222 ()R h a R -+=，这里的h 是指正棱锥的高，a 是指底面正多边形的对角线长的一半，若底面为正三角形时，a 是指正三角形中线长的23 ，考生可以划出一个图形，印证一下这些内容。 7.补体法： （1）补体法是用于求锥体的外接球半径的一种简洁方法，而且如果不使用该方法，会使问题变得非常难于解决。 （2）使用条件：一是由三条两两垂直的棱构成的锥体，可以使用补体法，这时候往往会补
(完整版)高考数学中的内切球和外接球问题.
高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ?? ???? ==h x x 24368936 ?? ???= =213 x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1 =r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
外接球内切球问题标准答案
1 球与柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体 发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ． 22 B ．1 C ．212 + D ．2 1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的 棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正 方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222 2l a b c R ++== 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π 3 B.4π C.8π3 D.7π3
1.3 球与正棱柱 例3 正四棱柱1111ABCD A B C D 的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体
空间几何体的内切球和外接球问题
空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外 接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2 ＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π C ．6π [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1 ＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为 r 2，则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×? ????323＝92π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23， 将其沿对角线BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________． 答案：2053π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余 弦定理得(23)2 ＝42 ＋AB 2 －2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四 个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42 ＝25， 所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3， 所以SH ＝ ? ????2332－? ?? ??332 ＝1，
空间几何体的内切球和外接球问题
空间几何体的内切球与外接球问题 1.[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B 、32 3π C.8π D.4π [解析]A 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为23,所以正方体的外接球的 半径为3,所以球的表面积为4π·(3)2 ＝12π、 2.[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,AA 1＝3,则V 的最大值就是( ) A.4π B 、9π2 C.6π D 、32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时,设球的半径为r 1,∵AB ⊥BC ,AB ＝6,BC ＝8,∴8－r 1＋6－r 1＝10,解得r 1＝2,不合题意;当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为r 2,则2r 2＝3, 即r 2＝32、∴球的最大半径为32,故V 的最大值为43π×? ????323＝92π、 3、[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中,∠CBA＝120°,AD ＝4,对角线BD ＝23,将其沿 对角线BD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD 的顶点在同一球面上,则该球的体积为________. 答案: 205 3 π;解析:因为∠CBA ＝120°,所以∠DAB ＝60°,在三角形ABD 中,由余弦定理得(23)2 ＝42 ＋AB 2 －2×4·AB ·cos 60°,解得AB ＝2,所以AB ⊥BD 、折起后平面ABD ⊥平面BCD ,即有AB ⊥平面BCD ,如图所示,可知A ,B ,C ,D 可瞧作一个长方体中的四个顶点,长方体的 体对角线AC 就就是四面体ABCD 外接球的直径,易知AC ＝22＋42 ＝25, 所以球的体积为205 3 π、 4、[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C 四点共面,△ABC 就是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S -ABC 的体积的最大值为( ) A 、 3 3 B 、 3 C .2 3 D .4 选A;[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ,所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上,根据球的对称性可知,当S 在“最高点”,即H 为AB 的中点时,SH 最大,此时棱锥S -ABC 的体积最大. 因为△ABC 就是边长为2的正三角形,所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 、 在Rt △SHO 中,OH ＝12OC ＝3 3, 所以SH ＝ ? ????2332－? ?? ??332 ＝1, 故所求体积的最大值为13×34×22 ×1＝33 、
高中数学：球的内切 外接问题
图1 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题 例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径4 3h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。 例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ?的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. （满足条件的球最大半径为12-.） 练习：一个正四面体内切球的表面积为π3，求正四面体的棱长。（答案为：2） 【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。 二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相 切，切点为每个面的中心，显然 球心为正方体的中心。设正方体 的棱长为a ，球半径为R 。 如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 图3 图4 图 5
3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。 例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______. 练习：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为()332 6243 a a V ==） 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。 例4.已知三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求 球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 （1:5::2 22121==∴R R S S ，1:55:21=V V ） 练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：224R ） 【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。
内切球、外接球问题--原创
处理球的“内切”“外接”问题 一、球与棱柱的组合体问题： 1正方体的内切球： 设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 （3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为 矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31= =。 2.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,求这个球的表面积是______. 【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题 正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】 3.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。 分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。 解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 6 32=，正三棱柱的高为a R h 3 322==，由O D A Rt 11?中，得 图3 图4 图 5 图6
22 222221125633333a a a R a R =???? ??+???? ??=+???? ??=，a R 1251=∴ 1:5::2 22121==∴R R S S ，1:55:21=V V 二 棱锥的内切、外接球问题 4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系 解之。 解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的 对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 在BEO Rt ?中，222EO BE BO +=，即22233r a R +??? ? ??=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径 4 3h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ?建立棱长与半径之间的关系。 5.正三棱锥S ABC -，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少 6. 正四棱锥S ABCD -，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少 练习： 1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1， 2，3，则此球的表面积为 。 3．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 .4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC SAB ⊥侧面，侧棱2SC =， 则此正三棱锥的外接球的表面积为 5.（球内接棱柱问题） 则此球的体积为 ． 6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与外接球表面积之比为 。 7.（球内接正四棱锥问题）半径为R 的球内接一个各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积为 ． 8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的高为3， 底面边长为正三棱锥内有一个球与其四个面相切． 则图 1
高中数学中的内切球和外接球问题
高中数学中立体几何的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9 ，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ??????==h x x 24368 936 ?????==213x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1= r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径2 2d r R +=. 体积： 3 3 4R V π= . 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 _______________. 练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为 ππ1642==R S 例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. π3 B. π4 C. π33 D. π6
难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
2019届高三数学第一轮复习教学案 18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆. 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大） ；小圆：截面不过球心. 球心和截面圆心的连线垂直于截面. 2 2 2 球心到截面的距离 d 与球半径R 及截面圆半径r 的 关系：R =d +r . 几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切. 二、多面体的外接球（球包体） 模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 1. 2. 3. 4. 球 包 直 柱 球包正方体 球 包 直 锥 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 球径公式：R =」（m +r 2 杠2丿 （r 为底面外接圆半径） 模型2: “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程：（h -R ）2 +r 2 = R 2 = h 2-2hR + r 2=0二 R =4 2h （h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径） 特别地， （1） 边长为a 正四面体的外接球半径： （2） 底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径： R = （3） 底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径： R = 例：1. （2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为 兀 C. 2 —二 ....... X y : r = ------- CJ r = ------ 3 ■沁- 2/工4买￡ f"' I ?
内切球与外接球求法(经典习题)
一、球与棱柱的组合体问题 1. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π 2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 3.已知正方体外接球的体积是π3 32，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3 34 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233 ，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 答案C 5.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案 3 4π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形 ABCD 是边长为形 .若则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 9.（2006辽宁）如图，半径为2的半 球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________． 答案 F
难点突破：立体图形的外接球与内切球问题
立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 三棱锥 四棱锥 柱的体积为
A ． B ． C ． D ． 【解析】模式辨识：“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，1h =，1R =，底面半径为r ， 则由R =得：2 22213124r r ??=+?= ??? ，2 34V r h ππ==． 2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为 A ． B ． C ． D ． 【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，h a = ，r =，2 22222 724312h a a a R r ??=+=+= ??? ， 所以该球的表面积22 2 7744123 a a S R ππ==?=．答案B ． 3．（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积 为 A ． B ． C ． D ． 【解析】模式辨识：“球包体”中的“顶点连心锥”，4h = ，2 r ==221629284h r R h ++= ==， 所以2 818144164 S R π ππ==? =，答案：A ． 4．（2013年全国卷I 第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球 放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm π D ．320483cm π 【解析】设水面与球的接触点（切点）为P ，球心为O ，则PO 垂直于正方体的上表面，依题意P 到正方体上表面的距离为2h =，球与正方体上表面相交圆的半径4r =，有：()2 22 2R r R -+=， 2454 r R +?==，所以球的体积3450033V R ππ ==． 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上． 两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心． π34 π2 π4 πa 2 a π2 73 a π2 113 a π2 5a π814 π 16π9π274 π
内切球与外接球常见解法
内切与外接 1 球与柱体 1.1 球与正方体 例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球 的表面上，分别是棱，的中点，则直线 被球截得的线段长为（ ） A ． B ． C ． D 1.2 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体 的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其 外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径 例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3 1.3 球与正棱柱 1111ABCD A BC D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 22 l R ==
例3 正四棱柱的各顶点都在半径为 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 . 2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外 接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体解得： 例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最 小值为 ( ) 1111ABCD A BC D -R 2222233a R r a R r CE +=-=，=，66,.R r ==
A. D. 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 例5 在正三棱锥中， 分别是棱的中点，且,若侧棱 , 则正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是______ 2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点 在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ． B. C. 4 D. 接球的球心,则. 例7 矩形中，沿将矩形折成一个直二面角 S ABC -M N 、SC BC 、AM MN ⊥SA =R π3 ππ43π2SC R = ABCD 4,3,AB BC ==AC ABCD