第1节曲线运动 运动的合成与分解

考点一曲线运动的条件及轨迹

1．曲线运动

(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．

(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．

(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．

2．合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．

3．速率变化情况判断

(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；

(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；

(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．

[思维深化]

判断下列说法是否正确．

(1)变速运动一定是曲线运动．(×)

(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化．(×)

(3)做曲线运动的物体加速度可以为零．(×)

(4)做曲线运动的物体加速度可以不变．(√)

(5)曲线运动可能是匀变速运动．(√)

1．[对曲线运动的理解](多选)关于曲线运动的性质，以下说法正确的是( )

A ．曲线运动一定是变速运动

B ．曲线运动一定是变加速运动

C ．变速运动不一定是曲线运动

D ．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动

答案 AC

解析 曲线运动的速度方向是时刻发生变化的，因此是变速运动，A 正确；加速度是否发生变化要看合外力是否发生变化，斜向上抛到空中的物体做曲线运动，但加速度大小不变，B 错误；变速运动也可能是只有速度的大小发生变化，它就不是曲线运动，C 正确；由匀速圆周运动知D 错误．

2．[曲线运动的判断](多选)在地面上观察下列物体的运动，其中物体做曲线运动的是( )

A ．正在竖直下落的雨滴突然遭遇一阵北风

B ．向东运动的质点受到一个向西的力的作用

C ．河水匀速流动，正在河里匀加速驶向对岸的汽艇

D ．在以速度v 前进的列车尾部，以相对列车的速度v 水平向后抛出的小球

答案 AC

3．[曲线运动的条件]一个质点受两个互成锐角的恒力F 1和F 2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F 1突然增大到F 1＋ΔF ，则质点以后( )

A ．继续做匀变速直线运动

B ．在相等时间内速度的变化一定相等

C ．可能做匀速直线运动

D ．可能做变加速曲线运动

答案 B

解析 F 1、F 2为恒力，物体从静止开始做匀加速直线运动，F 1突变后仍为恒力，合力仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，所以物体将做匀变速曲线运动，故A 错．由加

速度的定义式a ＝Δv Δt

知，在相等时间Δt 内Δv ＝a Δt 必相等，故B 对．做匀速直线运动的条件是F 合＝0，所以物体不可能做匀速直线运动，故C 错．由于F 1突变后，F 1＋ΔF 和F 2的合力仍为恒力，故加速度不可能变化，故D 错．

4．[运动轨迹的分析](2014·四川·8(1))小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v 0运动，得到不同轨迹．图1中a 、b 、c 、d 为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A 时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B 时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或

“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．

图1

答案b c不在

解析因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，引力指向曲线的凹侧，运动轨迹为c.当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．

合力、速度、轨迹之间的关系

做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：

(1)已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间(凹侧)，如图2所示．在电场中，经常根据这一规律确定带电粒子所受的电场力方向，进而分析粒子的电性或场强方向．

图2

(2)运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向．

(3)根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件．

考点二运动的合成及运动性质分析

1．遵循的法则

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．

2．合运动与分运动的关系

(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．

(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．

(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．

3．合运动的性质判断

??? 加速度(或合外力)????? 变化：非匀变速运动不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向????? 共线：直线运动不共线：曲线运动

4．两个直线运动的合运动性质的判断

标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.

[思维深化]

判断下列说法是否正确．

(1)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等．(√)

(2)合运动的速度一定比分运动的速度大．

(×)

(3)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动．(×)

(4)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则．(√)

(5)合运动不一定是物体的实际运动．(×)

5．[运动性质的分析](多选)物体受到几个力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做( )

A ．匀速直线运动或静止

B ．匀变速直线运动

C ．非匀变速曲线运动

D ．匀变速曲线运动

答案 BD

解析 物体处于平衡状态，则原来几个力的合力一定为零，现受到另一恒力作用，物体一定做变速运动，A 错误．若物体原来做匀速直线运动，且速度方向与恒力方向共线，则物体做匀变速直线运动，B 正确．若速度方向与恒力方向不在同一直线上，则物体做曲线运动．因施加的力是恒力，物体的加速度也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动，C 错误，D 正确．

6.[运动的合成的实例分析](2015·广东理综·14)如图3所示，帆板在海面上以速度v 朝正西方向运动，帆船以速度v 朝正北方向航行，以帆板为参照物( )

图3 A ．帆船朝正东方向航行，速度大小为v B ．帆船朝正西方向航行，速度大小为v

C ．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2v

D ．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v

答案 D

解析 以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v 和正北方向的速度v ，

所以帆船相对帆板的速度v 相对＝2v ，方向为北偏东45°，D 正确．

7．[运动的合成](多选)质量为0.2 kg 的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图线分别如图4甲、乙所示，由图可知( )

图4

A ．最初4 s 内物体的位移为8 2 m

B ．从开始至6 s 末物体都做曲线运动

C ．最初4 s 内物体做曲线运动，接下来的2 s 内物体做直线运动

D ．最初4 s 内物体做直线运动，接下来的2 s 内物体做曲线运动

答案 AC

解析 由运动的独立性并结合v －t 图象可得，在最初4 s 内y 轴方向的位移y ＝8 m ，x 轴方向的位移x ＝8 m ，由运动的合成得物体的位移s ＝x 2＋y 2＝8 2 m ，A 正确．在0～4 s 内，物体的加速度a ＝a y ＝1 m /s 2，初速度v 0＝v x 0＝2 m/s ，即物体的加速度与速度不共线，

物体做曲线运动.4 s 末物体的速度与x 轴正方向夹角的正切tan α＝v y v x ＝42

＝2，在4～6 s 内，加速度与x 轴正方向夹角的正切tan β＝a y a x ＝－2－1

＝2，初速度与加速度共线，物体做直线运动，C 正确，B 、D 错误．

“化曲为直”思想在运动合成与分解中的应用

1．分析运动的合成与分解问题时，要注意运动的分解方向，一般情况下按运动效果进行分解，切记不可按分解力的思路来分解运动．

2．要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解．

3．两个分方向上的运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点．

考点三 小船渡河模型

小船渡河问题分析

(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

(2)三种速度：v 1(船在静水中的速度)、v 2(水流速度)、v (船的实际速度)．

(3)三种情景

①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝d v 1

(d 为河宽)． ②过河路径最短(v 2

角为α，cos α＝v 2v 1

. ③过河路径最短(v 2>v 1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5所示，以v 2矢量末端为圆心，以v 1矢量的大小为半径画弧，从v 2矢量的始端向圆弧作

切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v 1v 2，最短航程：s 短＝d cos α＝v 2v 1

d .

图5

[思维深化]

分析小船渡河问题时主要是利用了合运动与分运动的哪些关系？

答案 等效性、等时性和分运动独立性．

8．[小船渡河的轨迹分析](多选)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图6所示，则( )

图6

A．越接近河岸水流速度越小

B．越接近河岸水流速度越大

C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短

D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响

答案AC

解析从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，小船后具有向上游的加速度，故水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A正确，B错误；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故C正确，D 错误．

9．[小船渡河情景分析]船在静水中的速度为3.0 m/s，它要渡过宽度为30 m的河，河水的流速为2.0 m/s，则下列说法中正确的是()

A．船不能渡过河

B．船渡河的速度一定为5.0 m/s

C．船不能垂直到达对岸

D．船到达对岸所需的最短时间为10 s

答案 D

10．[运动情景综合分析](2014·四川·4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()

A.k v

k2－1

B.

v

1－k2

C.

k v

1－k2

D.

v

k2－1

答案 B

解析设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝d

v0，回程渡河

所用时间t2＝

d

v20－v2

.由题知

t1

t2＝k，联立以上各式得v0＝

v

1－k2

，选项B正确，选项A、C、

D错误．

求解小船渡河问题的方法

求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移，无论哪类都必须明确以下四点：

(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．

(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．

(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．

(4)求最短渡河位移时，根据船速v 船与水流速度v 水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理．

考点四 绳(杆)端速度分解模型

1．模型特点

沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．

2．思路与方法

合速度→绳拉物体的实际运动速度v

分速度→?????

其一：沿绳(或杆)的速度v 1其二：与绳(或杆)垂直的分速度v 2 方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则．

3．解题的原则

把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图7所示．

图7

11．[绳牵连物体运动问题]如图8所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球()

图8

A．竖直方向速度大小为v cos θ

B．竖直方向速度大小为v sin θ

C．竖直方向速度大小为v tan θ

D．相对于地面速度大小为v

答案 B

解析光盘的速度是水平向右的，将该速度沿绳和垂直于绳的方向分解，

如图所示，沿绳方向的分量v′＝v sin θ，这就是桌面以上绳子变长的速

度，也等于铁球上升的速度，B正确；由题意可知铁球在水平方向上速度

与光盘相同，竖直方向速度为v sin θ，可得铁球相对于地面速度大小为

v1＋sin2θ，D错误．

12．[杆牵连物体运动问题]两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连，如图9所示．当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求两小球实际速度大小之比．

图9

答案tan θ

解析根据速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示．由图

中几何关系可得，a、b沿杆方向的分速度分别为v a cos θ和v b sin θ，根

据“关联速度”的特点可知，两小球沿杆的分速度大小相等，即有v a cos

θ＝v b sin θ，解得：v a v b

＝tan θ.

绳(杆)牵连物体的分析技巧

1．解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键．

2．基本思路：

(1)先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．

(2)分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动．

(3)确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同．

1．篮球是深受广大人民群众喜爱的体育运动，某电视台为宣传全民健身运动，举办了一期趣味投篮比赛，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果运动员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)( )

答案 C

解析 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿篮筐方向，球就会被投入篮筐，故C 正确，A 、B 、D 错误．

2.(多选)如图10所示，A 、B 两球分别套在两光滑的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑轮相连，现在将A 球以速度v 向左匀速移动，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，下列说法正确的是( )

图10

A ．此时

B 球的速度为cos αcos β

v B ．此时B 球的速度为sin αsin β

v

C ．在β增大到90°的过程中，B 球做匀速运动

D ．在β增大到90°的过程中，B 球做加速运动

答案 AD

解析 由于绳连接体沿绳方向的速度大小一定，因此v cos α＝v B cos β，解得v B ＝cos αcos β

v ，A 项正确，B 项错误；在β增大到90°的过程中，α在减小，因此B 球的速度在增大，B 球在做加速运动，C 项错误，D 项正确．

3．(多选)如图11所示，有一个沿水平方向做匀速直线运动的半径为R 的半圆柱体，半圆柱面上搁着一个只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未达到半圆柱体的最高点之前( )

图11

A ．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做匀减速直线运动

B ．半圆柱体向右匀速运动时，竖直杆向上做减速直线运动

C ．半圆柱体以速度v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为v tan θ

D ．半圆柱体以速度v 向右匀速运动，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆向上的运动速度为v sin θ

答案 BC

解析 O 点向右运动，O 点的运动使杆OA 绕A 点(定点)逆时针转动的同时，沿杆OA 方向向上推动A 点；竖直杆的实际速度(A 点的速度)方向竖直向上，使A 点绕O 点(重新定义定点)逆时针转动的同时，沿OA 方向(弹力方向)与OA 具有相同速度．速度分解如图乙所示，

对于O 点，v 1＝v sin θ，对于A 点，v A ＝v 1cos θ

，解得v A ＝v tan θ.O 点(半圆柱体)向右匀速运动时，杆向上运动，θ角减小，tan θ减小，v A 减小，但杆不做匀减速直线运动，A 错误，B 正确；由v A ＝v tan θ可知C 正确，D 错误．

4.如图12所示，一艘轮船正在以4 m /s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v 1＝3 m/s ，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同．某

时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化．求：

图12

(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；

(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值．

答案(1)5 m/s(2)2.4 m/s

解析(1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，

如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小：v2＝v2＋v21＝

42＋32m/s＝5 m/s，设v与v2的夹角为θ，则cos θ＝v

v2＝0.8.(2)熄火

前，船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2与v1的矢量和与v2垂直时，轮船的合速度最小，则v min＝v1cos θ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s.