(完整版)高中数学试题三角函数单元测试题

三角函数单元测试题

姓名： 班级： 考场： 座位号：

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）

A.y ＝sin2x

B.y ＝cos x

2

C.y ＝sin2x ＋cos2x

D.y ＝1－tan 2x 1＋tan 2x

2．设函数y ＝cos(sin x )，则 （ ）

A.它的定义域是［－1，1］

B.它是偶函数

C.它的值域是［－cos1，cos1］

D.它不是周期函数 3．把函数y ＝cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移π

4 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 （ ）

A.y ＝2sin2x

B.y ＝－2sin2x

C.y ＝2cos(2x ＋π

4

)

D.y ＝2cos(x 2 ＋π

4

)

4．函数y ＝2sin(3x －π

4

)图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）

A. π3

B.

2π

3

C.π

D.

4π

3

5．若sin α＋cos α＝m ，且－ 2 ≤m ＜－1，则α角所在象限是 （ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 6．函数y ＝|cot x |·sin x （0＜x ≤3π2

且x ≠π）的图象是 （ ）

7．设y ＝cos 2x

1＋sin x

，则下列结论中正确的是 （ ）

A.y 有最大值也有最小值

B.y 有最大值但无最小值

C.y 有最小值但无最大值

D.y 既无最大值又无最小值 8．函数y ＝sin （π

4

－2x )的单调增区间是 （ ）

C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z )

D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π

8 ］(k ∈Z )

9．已知0≤x ≤π，且－1

2

＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ）

A.2a ＋1

B.2a －1

C.－2a －1

D.2a

10．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π

4 ］上是增函数的θ的一个

值为 （ ） A. 5π

3

B.

4π3 C. 2π

3

D. π

3

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．函数y ＝cos x

1＋2cos x 的值域是_____________.

12．函数y ＝cos x

lg （1＋tan x ）

的定义域是_____________.

13．如果x ，y ∈［0，π］，且满足|sin x |＝2cos y －2，则x ＝___________，y ＝___________. 14．已知函数y ＝2cos x ，x ∈［0，2π］和y ＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________

15．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin2x 的值域是_____________. 16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π

3

)(x ∈R )有下列命题：

①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改为y ＝4cos(2x －π

6 )；

③y ＝f (x )的图象关于点（－π

6 ，0)对称；

④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π

6

对称.

其中正确的命题的序号是_____________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x .(x ∈R )

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合.

(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

19．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2

1log (sin x －cos x )

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.

20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m ，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

21． (本小题满分15分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4 ，0)对称，且在区间［0，π

2 ］上是单调函数，求φ和ω的值.

三角函数单元测试题答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．（－∞，13 ］∪［1，+∞) 12．{x |－π4 ＋2kπ＜x ＜2kπ或2kπ＜x ＜π

2 ＋2kπ(k ∈Z )}

13．x ＝0或π，y ＝0 14．4π 15．{y ｜－5

4

≤y ≤1＋ 2 } 16．②③

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.

【解】 由图可得：A ＝ 3 ，T ＝2｜MN ｜＝π. 从而ω＝2π

T ＝2，故y ＝ 3 sin(2x ＋φ)

将M （π3 ，0）代入得sin(2π

3 ＋φ)＝0

取φ＝－2π3 得y ＝ 3 sin(2x －2π

3

)

【评注】 本题若将N （5π

6

，0）代入y ＝ 3 sin(2x +φ)

则可得：sin(5π3 ＋φ)＝0.若取φ＝－5π3 ，则y ＝ 3 sin(2x －5π3 )＝－ 3 sin(2x －2π

3 )，

它与y ＝ 3 sin(2x －π

3 )的图象关于x 轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数y ＝ 3

sin(2x ＋φ)后，如何确定φ，要看该点在曲线上的位置.如：M 在上升的曲线上，就相当于“五点法”作图中的第一个点，故2π

3 ＋φ＝0；而N 点在下降的曲线上，因此相当于“五点法”作图

中的第三个点，故5π3 ＋φ＝π，由上可得φ的值均为－2π

3

.

18．（本小题满分14分）已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x .(x ∈R )

(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合.

(2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

【解】 y ＝1＋sin2x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝ 2 sin(2x ＋π

4 )＋2.

(1)要使y 取得最大值，则sin(2x ＋π

4 )＝1.

即：2x ＋π4 ＝2kπ＋π2 x ＝kπ＋π

8 (k ∈Z )

(2)变换的步骤是：

①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π4 个单位，得到函数y ＝sin(x +π

4

)的图象；

②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的12 倍（纵坐标不变），得函数y ＝sin(2x ＋π

4 ）

的图象；

③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得函数 y ＝ 2 sin(2x ＋π

4

)的图象；

④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到 y ＝ 2 sin(2x ＋π

4 )+2的图象.

【说明】 以上变换步骤不唯一！

19．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝2

1log (sin x －cos x )

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；

（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系.

【解】 （1）由题意得sin x －cos x ＞0，即 2 sin(x －π

4

)＞0

从而得2kπ＜x －π4 ＜2kπ＋π，所以函数的定义域为（2kπ＋π4 ，2kπ＋5π

4 ）(k ∈Z )

∵0＜sin(x －π

4 )≤1，∴0＜sin x －cos x ≤ 2

即有2

1log (sin x －cos x )≥2

1

log 2 ＝－12 .故函数的值域是［－1

2

，+∞).

（2）∵sin x －cos x ＝ 2 sin （x －π4 )在f (x )的定义域上的单调递增区间为（2kπ＋π

4 ，2kπ

＋

3π4 ）(k ∈Z )，函数f (x )的递减区间为（2kπ＋π4 ，2kπ＋3π

4 ）(k ∈Z ). (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， ∴函数f (x ）是非奇非偶函数.

（4）f (x ＋2π)＝2

1log ［sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)］＝2

1log （sin x －cos x )＝f (x ).

∴函数f (x )是周期函数，2π是它的一个周期. 20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m ，渠深3米，则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？

成本最低，而水与水渠壁的接触面最小，实际上是使水渠横断 面的周长最小.

【解】 设水渠横断面的周长为y ，则：

(y －2×3sin α )×3＋2×12 ·3×3

2tan α ＝m

即：y ＝m

3 ＋3·2－cos αsin α

(0°＜α＜90°).

欲减少水与水渠壁的接触面，只要使水渠横断面周长y 最小，即要使t ＝2－cos α

sin α

(0°＜α＜90°)最小，

∵t sin α＋cos α＝2.

∴sin(α＋φ)＝2t 2＋1

，(其中φ由tan φ＝1

t ，φ∈(0°，90°))

由2

t 2＋1

≤1得：t 2≥3?t ≥ 3

当且仅当t ＝ 3 ，即tan φ＝

3

3

，即φ＝30°时，不等式取等号，此时sin(α＋30°)＝1?α＝60°.

【答】 水渠侧壁的倾斜角α＝60°时，修建成本最低.

21． (本小题满分15分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4 ，0)对称，且在区间［0，π

2 ］上是单调函数，求φ和ω的值.

【解】 由f (x )是偶函数，得f (x )＝f (－x )

即sin(ωx ＋φ)＝sin(－ωx ＋φ)

∴－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立. 且ω＞0，∴cos φ＝0，依题设0≤φ≤π，∴φ＝π

2

由f (x )的图象关于点M （3π

4 ，0）对称，得，

取x ＝0，得f (3π4 )＝－f (3π4 )，∴f (3π

4 )＝0

∴f (3π4 )＝sin(3ωπ4 ＋π2 )＝cos 3ωπ

4 ＝0，又ω＞0

∴

3ωπ4 ＝π2 ＋kπ，k ＝0，1，2，…，ω＝2

3

(2k ＋1)，k ＝0，1，2，… 当k ＝0时，ω＝23 ，f (x )＝sin(23 x ＋π2 )在区间［0，π

2 ］上是减函数；

当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2 )在区间［0，π

2 ］上是减函数；

2

所以，ω＝

3或ω＝2.