复变函数课后习题答案--西安交大第四版(海滨学院专用)
复变函数课后习题答案（海滨专用）
第一章：
第二章：
第三章：
解：
第四章：
解：
第六章：
复变函数课后习题答案(全)69272
习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1-+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤
解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+-
西安交通大学复变函数考试题及解答3
一. 填空（每题3分，共30分） 1． i 3＝ 2． 0z ＝0是函数5 1cos )(z z z f -= 的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝ 4. =]0,sin 1 [Re z z s 5. 函数sin w z =在4 z π = 处的转动角为 6. 幂级数∑∞ =0 )(cos n n z in 的收敛半径为R =____________ 7. =?dz z z 1 sin 8．设C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则=? dz z e C z 2 1 9．函数()1 4 -=z z z f 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． =++? = 2 3||22 ) 4)(1(z z z dz 二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z z f =)(在0=z 解析。【 】 2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞ =0 n n c 收敛，而||0 ∑∞ =n n c 发散，则∑∞ =0 n n n z c 的收敛半径为1。【 】 6． 1 tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 西安交通大学考试题复变函数 (A 卷) 一、填空题（每题4分，共20分） 1 12i +=______________ 2 |z|=2 1d ()(4) z z i z = +-? 3 幂级数1 n n nz ∞ =∑的收敛半径R=______________ 4 1 R e [,]sin s z z π= ____________________ 5 函数1 z ω=将z 平面上的曲线1x =变为ω平面上的 （,z x iy u iv ω=+=+） 二、单项选择题（每题4分，共20分）. 1 设1 ()sin(1)f z z =-，则0z =是()f z 的 【 】 A ．可去奇点 B ．本性奇点 C ．极点 D ．非孤立奇点. 2 设1n > 为正整数，则 ||2 1d 1 n z z z =-? 为 【 】 A ．0 B ． 2i π C. i π D. 2n i π 3 级数1 n n z n ∞ =∑ 在||1z =上 【 】 A ．收敛 B ．发散 C ．既有收敛点也有发散点 D ．不确定 4 0 cos lim sin x z z z z z →-= - 【 】 A ．3- B. ∞ C. 0 D. 3 5 设13 2 8 ()(1)(1) z f z z z = -+， 则()f z 在复平面上所有有限奇点处的留数之和等 于 【 】 A ． 1- B. 1 C. 10 D. 0 三 (10分) 讨论函数2()f z x iy =-的可微性与解析性。 四 (10分) 设()f z 在||(1)z R R <>内解析，且(0)1f =，(0)2f '=，试计算积分 并由此得出22 cos ()2 i f e d πθ θ θ ? 之值。 五 (10分) 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+。求共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+。 2 2 ||1 ()(1) d z f z z z z =+? 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2 z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 22 2 ≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． . .. . . 资料. 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1）1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 解：（1）1323213i z i -== +， 因此：32 Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310 i i i z i i i -+=== ---， 因此，31 Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122 i i i z i i i --=-=-+= -， 因此，35 Re , Im 32z z ==-， （4）821 41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+（3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ .. .. 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5 = （6 ） =4． 设12 ,z z i = =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1 ）z i +=由此 25 k i z i e i π=-=-，(0,1,2,3,4)k = （2 ）z == 西安交通大学现代远程教育考试卷及答案 课 程：复变函数（A ） 专业班号 考试日期 年 月 日 姓 名 学号 期中 期末 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ） A ．在有限个点可导 B ．存在任意阶导数 C ．在无穷多个点可导 D ．存在有限个点不可导 2、设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z →=，那么 ()()Re ,0s f z =（ ） A ．2i π B ．2i π- C ．1 D ．-1 3、函数()()()411 ++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、下列命题正确的是（ ） A ．i i 2< B ．零的辐角是零 C ．仅存在一个数z,使得z z -=1 D ．iz z i =1 5、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ．()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ．()∑∞=+-01 221n n n n z （z <1） C ．()∑∞=++-012121n n n n z （z <1） D ．()∑∞=-0221n n n n z （z <1） 6、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ） A ．()21z e z f z -= B ．()z z z z f 1sin -= C ．()z z z z f cos sin += D ．()z e z f z 111--= 7、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-?dz i a z z C 2cos （ ） A ．0 B ． 2i e π C ．2ie π D ．icosi 8、下列函数是解析函数的为（ ） A ．xyi y x 222-- B ．xyi x +2 C ．)2()1(222x x y i y x +-+- D ．33iy x + 9、下列命题中，不正确的是（ ） A ．如果无穷远点∞是()f z 的可去奇点，那么()() Re ,0s f z ∞= B ．若()f z 在区域D 内任一点0z 的邻域内展开成泰勒级数，则()f z 在D 内解析 C ．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数 D ．函数22e i e i ω-=+将带形域()0Im z π<<映射为单位圆1ω< 10、函数()()() 2222f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 A ．全平面 B ．2x = C ．2y = D ．处处不可导 二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×） 1、对任意的z ，() ()2Ln z 2Ln z =.（ ） 2、在柯西积分公式中，如果D a ?，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-?dz a z z f i C π210，()D z ∈.（ ） 3、区域()0Im z ＞是无界的单连通的闭区域。（ ） 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1-=n n nz z '（n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→ 2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=??????++-+= n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2000111111z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则32x u =，33y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2296y x =，即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2xy u =，y x v 2= 习题一答案 1．求下列复数得实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式与指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1 -+ 2 3 22 2(cos sin)2 33 i i eπ ππ =+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式得值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ） (1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33 )sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- (1) ( J3-i) 解:J3-i=2[cos( -30 °+isi n(-30 °] =2[cos30 ° is in 30 ° (x 3 -i) 5=25[cos(30 5)-isin(30 5)] =2 5(- j3/2-i/2) =-16 y 3-16i (2) (1+i) 6 解：令z=1+i 则x=Re (z) =1, y=Im (z) =1 r= z =$x2y2 =72 tan : = y=1 x x>0,y>0 属于第一象限角 -- 4 1+i= 2 (cos—+isin - 4 4 (1+i) 6=( 2) 6(cos — +isin —) 4 4 =8 ( 0-i) =-8i 1.2求下式的值 因为 -1= (cos +sin 所以 习题一 1 1.2 (4)求(1-i) 3 的值 6 1 =[cos( 2k /6)+s in( 2k /6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 1 1 解：(1-i) 3二[2 (cos- +isin- )] 3 4 4 = 6 2 [cos( )+isin( ■(8^ )] 12 12 (k=0,1,2) 1.3求方程z3+8=0的所有根。解：所求方程的根就是W=3 8 因为-8=8 (cos +isin ) 所以3 8= [cos( +2k )/3+isin( +2k )/3] k=0,1,2 其中=1r =3 8=2 即 w1=2[cos /3+isi n /3]=1 —3i W2=2[cos( +2 )/3+isin( +2 )/3]=-2 W3=2[COS(+4 )/3+isin( +4 )/3]= 1 习题二 1.5描出下列不等式所确定的区域或者闭区域, 无 并指明它是有界还是界的，单连通还是多连通的。 (1) lm(z)>0 解：设z=x+iy 精心整理 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （ 1） 1 （2） i 2i 1)(i 2) 3 (i （3） 1 3i （4） i 8 4i 21 i i 1 i 解：（ 1） z 1 3 2i ， 3 2i 13 因此： Re z 3 , Im z 2 ， 13 13 （ 2） z i i 3 i ， (i 1)(i 2) 1 3i 10 因此， Re z 3 , Im z 1 ， 10 10 （ 3） z 1 3i i i 3 3i 3 5i ， i 1 2 2 因此， Re z 3 , Im z 5 ， 3 2 （ 4） z i 8 4i 21 i 1 4i i 1 3i 因此， Re z 1, Im z 3， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （ ） （ ） 1 3i （ ） r (sin i cos ) 1 i 2 3 （ 4） r (cos i sin ) （5）1 cos i sin (0 2 ) 解：（ 1） i cos i sin i e 2 2 2 2 2 2 （2） 1 3i i 2(cos i sin ) 2e 3 3 3 （ 3） r (sin i cos ) r[cos( ) i sin( )] ( ) i 2 re 2 2 （ 4） r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )] re i （5）1 cos i sin 2sin 2 2 2i sin cos 2 2 页脚内容 .. 3． 求下列各式的值： （1）( 3 i)5 （ 2） (1 i )100 (1 i)100 （3） (1 3i )(cos i sin ) （4） (cos5 i sin 5 )2 (1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3 )3 （5） 3 i （ ） 1 i 6 解：（ 1） ( 3 i )5 [2(cos( ) i sin( ))] 5 6 6 （2） (1 i )100 (1 i)100 (2i ) 50 ( 2i ) 50 2(2) 50 251 （3） (1 3i )(cos i sin ) (1 i )(cos i sin ) (cos5 i sin 5 ) 2 （4） i sin 3 )3 (cos3 （5） 3 i 3 cos i sin 2 2 （6） 1 i 2(cos i sin ) 4 4 4． 设 z 1 1 i , z 2 3 i, 试用三角形式表示 z z 与 z 1 2 1 2 z 2 解： z cos i sin , z 2 2[cos( ) i sin( )] ，所以 1 4 4 6 6 z 1z 2 2[cos( ) i sin( 4 6 )] 2(cos 12 i sin ) ， 4 6 12 5． 解下列方程： （1） (z i )5 1（ 2） z 4 a 4 0 ( a 0) 解：（ 1） z i 5 1,由此 z 5 1 i 2 k i i ， (k 0,1,2,3,4) e 5 （2） z 4 a 4 4 a 4 (cos i sin ) .. 224 z z ++ 幂级数 1n n n = ∑ 2 Re[(1)sin s z- 6 ()(1)( z i z +- ? 为确定的自然数, 则积分 D.0 ，则下列公式不正确的是 () ω 2 d 1 z+ 共 4 页第3 页 共 4 页第 4 页 一、填空题（每题4分，共20分） 1. 45((21)arctan )3ln i k π+++ 2. 0 3. e 4. 5 6 5. 00()()2 F F ωωωω++- 二、单项选择题（每题4分，共20分）. 1. D 2. C 3. A 4. C 5. A 三 (1) 解: 设C: ,02i z e θ θπ=≤≤, 1cos 1sin z i θθ-=-+(1分)故 |1|2|sin |2 z θ -=(2 分) 故 202sin (cos sin )2 I i i d π θ θθθ=+?(6 分)83 i π=-(7分) (2) 解: (a) 若1r <, 此时圆周内只有一个奇点10z =,(1分) 且 1 23411111....23!4!z e z z z z =+++++246810 2 11....1z z z z z z =-+-+-++(3分) 故1z -对应的系数:111111...3!5!7!9!11! - +-+-+ =sin1故 2sin1I i π=…(5分) (b) 若1r >, 此时圆周内有三个奇点: 1230,.z z i z i ===-(6分)此时 1 122 2sin12Re [,]2Re [,]11z z e e I i i s i i s i z z πππ=++-++=2sin1i i i e e πππ-++(8分) 四 解: (1) ()212(2)(1)f z z z = --+(1分)=2 2 1121 ()121(1) 2z z z ---+(2分) =2200121()()()22n n n n z z z ∞∞==---∑∑=122100(1)22 n n n n n n z z +∞ ∞++==--∑∑(4分) (2) ()111 ()(2)f z i z z i z i = ---+- 第五章习题 1．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1） 211)(+z z ； 2）3 z z sin ； 3）1123+--z z z ； 4）z z )ln(1+； 5）))((z e z z π++112； 6）1 1 -z e ； 7）) (112-z e z 解 1） 211)(+z z =2 21 )()(i z i z z +-，所以0=z 为一级极点，i z ±=为二级极点． 2）显然0=z 是 3 z z sin 的奇点，又在0=z 的去心邻域内的洛朗展开式为 3 z z sin = -+-!!531 22z z z ，+∞<<||z 0 所以0=z 为二级极点． 3） 11 2 3+--z z z = 2111 ) )((-+z z 所以1-=z 为一级极点，2=z 为二级极点． 4）显然0=z 是 z z ) ln(1+的孤立奇点． 又 110 =+→z z z ) ln(lim ， 所以0=z 为可去奇点． 5）令0112 =++))((z e z π，解之得),,,()( 21012±±=+=k i k z k ， 因为),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是z e z z ) )((π++112的零点，所以 ),,,()( 21012±±=+=k i k z k 是 ) )((z e z z π++112的极点，又 10 0112≠' ? ? ????++=k z z z z e z ))((π，),,,( 321±±=k 所以),,,()( 32112±±=+=k i k z k 为z e z z ) )((π++112的一级零点，从而为复变函数论第三版课后习题答案
复变函数习题答案第3章习题详解
西安交通大学复变函数考试题及解答1
复变函数习题及解答
西安交通大学复变函数习题
复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数课后习题答案全
西交大复变函数考查课习题及答案
复变函数习题答案第2章习题详解
复变函数课后习题答案(全)
复变函数课后部分习题解答
复变函数课后习题答案(全)
西安交通大学复变函数与积分变换试卷与答案2007-2008第一学期A卷
《复变函数》(西安交大)习题解答--第5章习题