控制工程基础笔记

控制工程基础

第一章

一、自动控制：无人参与的情况下，利用外加的设备或装置（控制装置或控制口），使机器、设备或装置（控制装置或控制口），使机器、设备或生产过程（被控对象）的某个工作状态或参数（被控量）自动地按照预定的规律运行。

二、自动控制系统：将被控对象和控制装置按照一定的方式连接起来，组成一个有机总体。开环控制系统：结构简单，便宜；无反馈；稳定性强；抗干扰能力弱。

闭环控制系统：结构复杂，昂贵；有反馈；稳定性差；抗干扰能力强。

自动控制的三种控制方式：

1、开环控制：控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制过程，系统中无反馈。

2、闭环控制：系统中有反馈。

3、复合控制：按偏差控制和扰动控制相结合的控制方式。

反馈控制系统的基本组成：给定元件、测量元件、比较元件、放大元件、执行元件、校正元件。

输入信号：r(t) 输出信号：c(t) 偏差信号：e(t)

误差信号：ε(t) 扰动信号：n(t)

前向通道：信号从输入端沿箭头方向到达输入端的传输通道

主通道：前向通道可以由多个，其中有一个是主通道。

主反馈：从输出端到输入端的反馈。

反馈通道：与前向通道信号传递方向相反的通道。

局部反馈：从中间环节到输入端或从输出端到中间环节的反馈。

恒指控制系统

一、按给定信号的特征分类随动控制系统

程序控制系统

二、按系统的数学描述分类：

1》线性系统：当系统各元件输入、输出特性是线性特性，系统的状态和性能可以用线性微分方程描述。

2》线性定常系统：若描述系统的微分方程系数是不随时间而变化的常数。

3》线性时变系统：若微分方程的系数为时间的函数。

4》非线性系统：系统中只要存在一个非线性特性的元件，系统就由非线性方程来描述。

按系统传递信号的性质分类：1，连续系统2，离散系统

按系统输入与输出信号的数量分类：

a.单输入单输出系统

b.多输入多输出系统

按微分方程的性质分类：a,集中参数系统b，分布参数系统

对控制系统的性能要求：1-稳定性（首要条件）2-快速性3-准确性

第三章

传递函数定义：单输入单输出线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉式变换与其输入量的拉氏变换之比。

传递函数性质：

（1）传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。

（2）传递函数只适用于线性定常系统，因为它是由拉氏变换而来的，而拉氏变换是一种线

性变换。

（3）一个传递函数只能表示一个输入对应一个输入的函数关系，至于信号传递通道中的中间变量，传递函数无法全面反映。

（4）由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能直接反映在非零初始条件下系统或元件的运行情况。

（5）传递函数是复变量s的有理真分式函数，它的分母多项式s的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式s的最高阶次m，即n>=m.

（6）传递函数可以由量纲，也可以无量纲。

（7）物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。

（8）传递函数与单位脉冲响应函数一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。

（9）一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。

典型环节的传递函数：

1、比例环节：凡是输出量与输入量成正比，并且输出不失真也不延迟地反映输入的环节。传递函数：G(s)=C(s)/R(s)=K

2、惯性环节：输出量延缓地反映输入量的变化规律。一般包含一个储能元件和一个耗能元件。传递函数：G(s)=C(s)/R(s)=K/(Ts+1)

3、积分环节：输出量正比于输入量对时间的积分。

传递函数：G(s)=C(s)/R(s)=1/Ts

4、微分环节：理想微分环节的输出量正比与输入量对时间的微分。

传递函数：G(s)=C(s)/R(s)=τs

5、振荡环节：二阶环节，有两个储能元件，在运动的过程中能量相互转换，使环节的输出带有振荡的特性。

传递函数：G(s)=C(s)/R(s)=1/

)1

2

(2

2+

+Ts

s

Tξ

6、延时环节：输出量在时间上滞后输入量时间τ，但不失真地反映了输入量。传递函数：G(s)=C(s)/R(s)=s

eτ-

方框图的构成要素：方框单元、信号传递线、相加点、分支点。

方框图方框间的节本连接方式：串联、并联、反馈。

串联环节的等效传递函数等于所有相串联环节的传递函数的乘积。

并联环节所构成的总传递函数等于各并联环节传递函数之和。

在方框图简化过程中，可用两条检验等效的正确性：

A.前向通道中传递函数的乘积保持不变。

B.各反馈回路中传递函数的乘积保持不变。

信号流图：一种表示一组联立线性代数方程的图，由结点和支路组成的信号传递网络。

梅逊公式：??

=∑

n

n

n

t

T

第四章系统的时域响应分析

时域响应：控制系统在外加作用（输入）激励下，其输出量随时间变化的函数关系。

任一稳定系统的时域响应都是瞬态响应和稳态响应两部分组成。

瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应稳态响应：时间趋于无

穷大时，系统的输出状态。

1、延迟时间：

d

t

n

n

d t ωξ

ωξξ7.012.06.012

+≈

++=

响应曲线第一次到达其稳态值的50%所需的时间。

2、上升时间：r t

2

1ξωβπ--=

n r t

响应从其稳态值的10%上升到90%所需要的时间。

3、峰值时间:

p

t

2

1ξωπ-=

n p t 响应超过稳态值而到达地一个峰值所需要的时间。

4、调节时间：s t

n

s t ξω%)

2(4~%)5(3±±=

响应到达并不再超出稳态值的+-5%（+-2%）误差带所需要的时间。

s

t 越小表示系统动态调整的时间越短。

5、最大超调量:超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。

%

100*)

()()(∞∞-=

c c t c M p p %

10012

?--=ξξπ

e

M p

6、稳态误差：对于单位反馈系统，当时间t 趋于无穷大时，系统相应的实际值（稳态值）与期望值（输入量）之差，定义为稳态误差。

线性定常系统：系统对输入信号积分的响应等于系统对这个信号的响应积分. 当输入信号r(t)=u(t)时，系统的响应c(t)称为：单位阶跃响应 单位阶跃函数的拉氏变换为R （s ）=1/s ，则系统的输出为

()11)1(1+-=+=

Ts T s Ts s s C 输出响应为：T

e t c 1

1)(-

-=

当输入信号)()(t t r δ=时，系统的响应c(t)称为单位脉冲响应。

因为拉氏变换1)(=t δ，所以系统输出响应的拉氏变换为：

T s T t t C /1/1)()(+=

Φ=

对应的单位脉冲响应为：t

T

e T t c 1

1)(-=

常用的典型输入实验信号：单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、

正弦函数和某些随即函数。

一阶系统：凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。 二阶系统：用二阶微分方程描述的系统。

闭环特征根多项式：二阶系统闭环传递函数的分母多项式。

记作：()2

22n

s s s D n ωξω++=

闭环特征方程:闭环特征多项式等于零的代数方程。 即：

222=++n s s n ωξω

二阶系统的两个特征根：

1

22,1-±-=ξωξωn n s

（一）欠阻尼二阶系统

当10<<ξ时，d n n n j j s ωξωξωξω±-=-±-=122,1 ，

12

-=ξωωn d 称为系统的有阻尼固有频率。

（二）无阻尼二阶系统

当0=ξ时，n

j s ω±=2,1

（三）临界阻尼二阶系统

当1=ξ时，n s s ω-==21

（四）过阻尼二阶系统

当1>ξ时，122,1-±-=ξωξωn n s

求二阶系统的性能指标步骤：

（1）求闭环传递函数

)()(1)

()()()(s H s G s G s R s C s +=

=

Φ

（2）写出二阶系统传递函数的标准形式2

2

22)()

()(n n n s s s R s C s ωξωω++==Φ

（3）求出

n ωξ,

（4）根据公式求出

s

p p r t M t t ,,,

（5）判断分析如果出现1>ξ的情况，则为过阻尼二阶系统，此时峰值时间和超调量均无意义，响应速度却慢得多，过渡过程过于缓慢，这是实际系统所不希望的。

当选择的参数值

707.021

==

ξ时，上升时间和峰值时间较小，同时超调量和调节时间也

不太大，此时所对应的二阶系统常称为“最佳”系统，此时系统性能达到近似最佳状态。

系统的主导极点：如果系统中有一极点（或一对复数极点）距虚轴很近，且其附近没有闭环零点，而且其他的闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上，则此系统的响应可近似地视为由这个（或这对）极点所产生的。这是因为这种极点所决定的瞬态分量不仅持续时间最长，而且其初始幅值也打，充分体现了它在系统响应中的主导作用。

系统的稳定性：当扰动消失之后，系统能否恢复到原来平衡状态的能力。能恢复，稳定；否

则，不稳定。

线性定常系统的稳定性：若系统在初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，系统恢复到原来的平衡状态，则称该系统为稳定的；反之，系统不稳定。 由于线性定常系统的稳定性是扰动消失之后系统自身的一种恢复平衡状态的能力，是系统的固有特性，所以线性定常系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数，而与外作用及初始条件无关。

()n

n n n a s a s a s a s D ++++=--1110..... 劳斯表公式。

线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的全部根都具有负实部。 又由于系统特征方程的根就是系统的极点，所以系统稳定的充要条件：系统的全部极点都在[s]平面的左半平面。

劳斯判据指出系统稳定的充要条件：劳斯表中第一列元素全部大于零。若出现小于零的元素，系统不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。 应用劳斯判据不仅可以判断系统的稳定性，还可以检验系统稳定的程度。 控制系统的性能：动态性能和稳态性能。

系统的偏差信号()t ε是以系统的输入端+为基准来定义的。 系统的误差信号()t e 是以系统的输出端为基准来定义的。

对于单位反馈系统，误差和偏差是相等的。对于非单位反馈系统，误差不等于偏差。但由于二者之间存在着确定性的关系，故往往也把偏差作为误差的度量。 系统的稳态偏差定义：()

t t ss εε∞

→=lim

计算稳态偏差：

()()

t E s t s t ss 0

lim lim →∞

→==εε

系统的稳态误差定义：

()()

t E s t e s t ss 10

lim lim →∞

→==ε

()()()()()()

)

(1....111....11)()(2121m n s T s T s T s s s s K s H s G v n v m ≥++++++=-τττ

K 为系统的开环增益；v 为系统中含有的积分环节的个数，称为系统的型次。对应于V=0、1、2的系统分别称之为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。Ⅱ型以上系统实际上很难稳定。+

控制系统的稳态性能既取决于开环传递函数描述的系统结构，有取决于输入信号的形式。 （一）单位阶跃信号输入 在单位阶跃信号作用下，对于 0型系统

为有差系统p

ss s p K K s K K +===→11,lim

00

ε

Ⅰ型、Ⅱ型系统

为无差系统

,0,=∞=ss p K ε

（二) 单位斜坡信号输入

在单位斜坡信号作用下，对于

0型系统 ∞

==ss v K ε,0 Ⅰ型系统 K K K ss v 1,=

=ε

Ⅱ型系统

,=∞=ss v K ε

（三) 单位加速度信号输入

在单位加速度信号作用下，对于 0型和Ⅰ型系统 ∞

==ss a K ε,0

Ⅱ型系统

K K K ss a 1,=

=ε

若要是系统在匀加速度输入下不存在稳态误差，系统的类型不得低于Ⅲ型。 若系统输入信号是多种典型输入信号的代数组合，例如

2

00021

)(t a t v r t r ++=

则应用叠加原理可以得到系统的稳态偏差为

a

v p ss K a K v K r 0

001+++=

ε

静态误差系数与系统的开环传递函数有关，即与系统的结构和参数有关。

（1）系统的稳态误差不等于零，其大小随K1的增大而减小，但与K2无关。所以可通过增加K1来减小干扰作用下的稳态误差。

（2）干扰的作用点改变后，由于干扰点到系统输出端的前向通道传递函数不同，稳态误差也将不同。所以稳态误差还与干扰作用点有关。

第五章 根轨迹设计方法

根轨迹：开环系统的某一个参数从∞→0变化时，闭环系统的特征方程的根在【s 】平面上变化的轨迹。根轨迹是一种图解法，是表示特征方程的根与系统某一参数的全部数值关系的方法。根轨迹全图全面地描述了参数的变化对闭环特征根分布的影响，以及它们与系统性能的关系。

常规根轨迹：以系统的开环增益为可变参量绘制的根轨迹。 结论：

（1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增益。 （2）闭环系统的零点由前向通道的零点和反馈通道的几点构成。 （3）闭环系统的几点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。

根轨迹发的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布以及开环根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。

相角条件：π1)(2k (s)H(s)+±=∠G 幅值条件：

1

(s)H(s)=G

因此，满足幅值条件和相角条件的s 值，就是特征方程的根，也就是闭环极点。 满足相角条件的s 值，代入幅值条件方程中，总可以求得一个对应的K*值。 相角条件方程式决定闭环特征根的充要条件。

（1）根据幅值条件和相角条件，可以绘制出系统的根轨迹； （2）当K 值取定后，根轨迹图给出了一组闭环极点的分布； （3）根据系统闭环极点的情况，可大致知道系统的性能。 绘制根轨迹的基本规则：

规则一：根轨迹的分支数、连续性、对称性。

分支数：根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹的分支数就等于系统特征方程的阶数。

系统的特征方程式：

)()(1

*

1

=-+-∏∏==m

i i

n

j j

z s K

p

s

阶次为max(m,n),故分支数为max(m,n).因为n>m,所以根轨迹分支数为n 。

连续性：系统开环根轨迹增益K*与复变量s 有一一对应的关系。根轨迹是连续的曲线。 对称性：由于系统的参数都是实数，因而其特征方程式的系数也均为实数，相应的特征根或实数，或共轭复数，或两者兼有之。根轨迹对称于[s]平面。 规则二：根轨迹的始点和终点

根轨迹起于开环极点，终与开环零点。

当系统的优先开环零点数和开环极点数不相等时，说明系统有无限远零点或无限远极点。 当m=n 时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。

当m

当m>n 时，即开环零点数大于开环极点数，除有n 条根轨迹起始于开环极点外，还有m-n 条根轨迹起始于无穷远点。K* 0 规则三：实轴上的根轨迹。

实轴上的根轨迹，其右边开环零点和极点的个数之和为奇数。 相角条件：

()()()`````

2,1,0121

1

±±=+=-∠--∠∑∑==k k p s z s n

j j

m i i

π

规则四：根轨迹的渐近线

当开环有限极点数n 大于有限零点数m 时，有n-m 条根轨迹的分支沿着与实轴交角为a σ，

交点为

a

σ的一组渐近线趋于无穷远处。

()()

m

n z

p m n k m

n k n

j m

i i j a a --=

--=-+±

=∑∑==1

1

1,....,1,0,12σπφ

规则五：根轨迹的分离点

两条或两条以上根轨迹分支在[s]平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。

分离点d 的坐标满足：0

*

=ds dK

或

∑∑==-=-n j m

i j

i p d z d 111

1

以上两个公式只是必要条件，不是充分条件。

（1）在实轴上，两个相邻极点间的根轨迹必有一分离点； （2）在实轴上，两个相邻零点间的根轨迹必有一汇合点；

（3）在实轴上，两个相邻的零极点间若存在根轨迹，则该段根轨迹上一般无会合点； （4）实轴上，分离点的分离角恒为± 规则六：根轨迹的起始角与终止角

起始角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角成为起始角

1

p θ

终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角1z θ

规则7：根轨迹与虚轴的交点及临界增益值

当根轨迹与虚轴相交时，表示特征方程式有纯虚根存在，此时系统处于等幅震荡状态。 规则8：根之和。系统的闭环特征方程在n>m 的一般情况下，可以有不同形式的表示。 规则9：根之积。n>m 时，

()()

1

11a a s a a s n

n

n

i i n

n

i i

-==-∏∏==

当n-m>2时，

∏∏===n

j i

n

i i p

s 1

1

())

()(1

1

1∏∏∏===-+-=-n

i i

n

i i

n

i i

z k p s 或

())

()1()(1

1

1

∏∏∏=-==-+=n

i i

m

n n

i i

n

i i

z k p s

规则10：放大倍数，根轨迹上任意一点L s 处的放大倍数为

∏∏∏∏====--=

=n

i i

L

m

i i L

L n i i

m

i i

n

L Z S

P S k P

Z

k k 1111

1

广义根轨迹包括：参数根轨迹、正反馈回路和零度根轨迹、多回路系统的根轨迹。 正反馈回路和零度根轨迹