【研究院】[北京]二模(理)分类汇编——数列及推理与证明压轴题(教师版)

2018二模分类汇编——数列及推理证明压轴题

１．(2０18昌平二模·理)已知等比数列中,1

43527,a a a a ,则7a =

A ．

127 ? B.19 C ．1

3

Ｄ.3 1. Ａ

２．（2018朝阳二模·理)若三个非零且互不相等的实数1x ，2x ,3x 成等差数列且满足123

112

x x x +=,则称1x ，2x ,3x 成一个“β等差数列”.已知集合{}|100M x x x =∈Z ，≤,则由M 中的三个元素组成的所有数列中,“β等差数列”的个数为( ) A.25 Ｂ.50 C ．51 D ．100 2. B

3.(20１８房山二模·理）ABC ?的三个内角分别为A ,B ,C ，则“=

B 3

π

”是“A ，B ，C 成等差数列”的

（A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件 (C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3. C

4.(20１８海淀二模·理） 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是

(A ）求首项为1，公比为２的等比数列的前2017项的和 （B ）求首项为1，公比为2的等比数列的前20１８项的和 （C)求首项为１，公比为4的等比数列的前1００9项的和 (D ）求首项为1，公比为４的等比数列的前10１0项的和

{}n a

4. C

５.(20１8丰台二模·理)已知等比数列{}n a 中,11a =，2327a a =,则数列{}n a 的前5项和

5=S .

5. １２1

6.(２０18顺义二模·理）已知为等差数列，为其前项和,若35,1101=-=S a ，则20a =＿_____＿. 6. 18

７.（２０1８朝阳二模·理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >,则数列{}

n a 的通项公式可以是＿＿＿_. ７.2n -+(答案不唯一）

8.(2０１8东城二模·理）设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为S n ，则2

4

a S =_＿＿___＿．

８.152

９.（２０18顺义二模·理）(本小题满分１3分)已知数列12:,,

,n n A a a a ．如果数列

{}n a n S n

12:,,

,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+,其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“陪

伴数列”.

(Ⅰ)写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；

（Ⅱ)若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列.

（Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ,证明:1n b a =．

９.(Ⅰ)解：4:5,1,4,3B -. ………………3分 (Ⅱ）证明:对于数列n A 及其“陪伴数列”n B ,

因为 19b a =，

1212b b a a +=+, 2323b b a a +=+，

……

8989b b a a +=+，

将上述几个等式中的第2,4,6,8,这4个式子都乘以1-，

相加得

1122389122389()()()()()()n b b b b b b b a a a a a a a -+++-++=-+++-++

即9919912b a a a a a =-+=- 故9912a b a =+

所以991,,b a a 成等差数列. ………………8分

（Ⅲ)证明： 因为 1n b a =，

1212b b a a +=+, 2323b b a a +=+，

……

11n n n n b b a a --+=+，

由于n 为偶数,将上述n 个等式中的第2,4,6,

,n 这2

n

个式子都乘以1-，相加得

11223112231()()()()()()

n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++-

-+ 即1n b a -=-,1n b a =. ………………1３分

１0.（2018海淀二模·理)（本小题共１3分)

如果数列{}n a 满足“对任意正整数,i j ，i j ≠,都存在正整数k ，使得k i j a a a =”

，则称数列{}n a 具有“性质Ｐ”．已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d ．

（Ⅰ）若1

2a =，公差3d =，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由;

(Ⅱ）若数列

{}n a 具有“性质Ｐ”,求证:10a ≥且0d ≥；

（Ⅲ）若数列

{}n a 具有“性质P ”

，且存在正整数k ，使得2018k a =,这样的数列{}n a 共有多少个？并说明理由

10.（本小题1３分)

解:（Ⅰ)若12a =，公差3d =,则数列{}n a 不具有性质P ． ········ 1分

理由如下：

由题知31n a n =-,对于1a 和2a ,假设存在正整数k ,使得12k a a a =，则有

312510k -=?=,解得11

3

k =

，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠． · 3分 （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P ”，则

①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ,1(1)0n a a n d =+-?<.

设12k a a a =?，则0k a >，矛盾！?4分

②假设10a <,0d >，则存在正整数t ，使得

123120t t t a a a a a a ++<<

设111t k a a a +?=，212t k a a a +?=,313t k a a a +?=,…,1121t t k a a a ++?=，*

i k ∈N ,

1,2,

,1i t =+,则12310t k k k k a a a a +>>>>???>,但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，矛

盾！ ······························· ６分

③假设10a ≥，0d <,则存在正整数t ,使得

123120t t t a a a a a a ++>>>???>≥>>>???

设112t t k a a a ++?=，213t t k a a a ++?=，314t t k a a a ++?=，…,1122t t t k a a a +++?=，

*i k ∈N ，1,2,

,1i t =+,则12310t k k k k a a a a +<<<

盾!?８分

? 综上,10a ≥，0d ≥.

（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ,使得2018k a =.

若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立,故对任意的正整数k ,

21220182018k a a a =≠=?，

? 这与数列{}n a 具有“性质P ”矛盾,故0d ≠.

设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设 ?? ?

1()k a x x d =+,2(2)k a x x d =+

则2121()k k a a xd k k d -==-?，

因为0d ≠,所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数.

由(Ⅱ）知,10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数,且d 是正整数.

由题意知,2018d +是数列{}n a 中的项,故2018(2018)d ?+是数列中的项,设

2018(2018)m a d =?+，则

2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=?+-=?+=-?,

即(2018)20182017m k d --?=?．

? 因为2018m k --∈Z ,*d ∈N ,故d 是20182017?的约数．

? 所以,1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =???，210092017??.

当1d =时,12018(1)0a k =--≥,得1,2,...,2018,2019k =,故

12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能;

当2d =时,120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =,故

12018,2016,2014,...,4,2,0a =,共1０１0种可能；

? 当1009d =时,120181009(1)0a k =-?-≥,得1,2,3k =，故 ???12018,1009,0a =,共3种可能;

当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥,得1,2k =,故

12018,1a =，共2种可能；

当21009d =?时,120182018(1)0a k =-?-≥，得1,2k =，故 ??? 12018,0a =,共2种可能； 当22017d =?时,1201822017(1)0a k =-??-≥,得1k =,故 ?

12018a =，共１种可能;

当10092017d =?时，1201810092017(1)0a k =-??-≥,得1k =，故

12018a =，共1种可能；

当210092017d =??时,12018210092017(1)0a k =-???-≥,得1k =，故

12018a =，共1种可能.

综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=(种). 经检验,这些数列均符合题意. 13分

1１.（2018丰台二模·理）(本小题共13分)

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1=0a ,2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.

n n n n a k t S

a k t n a

k t +->??==??+

中,k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,

,1)i n =-.

(Ⅰ）若5m =,求3a ，4a ,5a 的值； (Ⅱ)若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围;

(Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围(结论不要求证明). 11.（本小题共1３分) 解:(Ⅰ)因为

1=0a ,2=5a ，

所以

12

a a <，所以

3214a a =-=． …………………1分

因为 23a a >，所以 123

4341

a a a a ++=

=-． …………………2分

因为 34a a >，所以 54+14a a ==． …………………4分 所以 34a =，43a =，54a =．

(Ⅱ）当 0m =时，30a =,40a =， …………………5分

当 0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<，

所以 123421

33

a a a m a ++-=

=．

因为 34a a =，所以 21

13m m --=

,所以 2m =． …………………7分

当 0m <时，因为 12a a >,所以 32211a a m a =+=+>,

所以 123421

33

a a a m a +++=

=

． 因为 34a a =,所以 21

13

m m ++=

,所以 2m =-. …………………9分 所以 3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-． 当2m =时，341a a ==,

因为当 3(3)n k k ≤≤>时,1n a =,都有 10211

1n n S a n n

+++++=

==,

所以当 2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题

意． …………………10分

所以m 的取值范围是 {2,0,2}-．

（Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤． …………………１3分 （若用其他方法解题，请酌情给分)

12.（20１8房山二模·理)(本小题13分）

已知集合

{}

123,,,...n A a a a a =,其中

i

N +∈，1,2

≤≤>i n n ,

()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.

(Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==，分别求()()11P Q 和；

（Ⅱ）若集合{}

2,4,8,...,2,n

A =求证:()()112

-=

n n A ；

(Ⅲ）()1A 是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

1２.解:(Ⅰ）由()246,268,2810,4610,4812,68141P =5+=+=+=+=+=+=得

由()246,2810,21618,4812,416208+16=241Q =6+=+=+=+=+=，

得 …………3分

(Ⅱ）证明: ()1i j a a i j n +≤<≤最多有()212

n n n C -=

个值，

()()11,2

n n A -∴≤

又集合{}

2,4,8,...,2,n

A =任取(),1,1,i j k l a a a a i j n k l n ++≤<≤≤<≤

当1j ≠时，不妨设111,22,j i

i j j k j a a a a a a +<+<=≤<+则

即1,i j k a a a a +≠+

当11,,i j k j i k a a a a =≠+≠+时，

∴当且仅当,1i k j ==时1=,i j k a a a a ++ 即所有()1i j a a i j n +≤<≤的值两两不同,

()()11=

,2

n n A -∴ …………9分

（Ⅲ）()1A 存在最小值，且最小值为23n -，

不妨设123...,n a a a a <<<<可得1213121......,n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+, ∴()1i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数,即()123A n ≥-,

取{}1,2,3,...,,A n =则，{}3,4,5,...,21,i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个， 故()1A 的最小值为23n -. …………13分

13．（本小题满分１3分)

数列n A ：12,,

,(2)n a a a n ≥的各项均为整数,满足:1(1,2,

,)i a i n -=≥,且

123123122220n n n n n a a a a a ----?+?+?++?+=，其中10a ≠．

(Ⅰ)若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ)求1a 的值；

（Ⅲ）证明:120n a a a +++>.

１３．(本小题满分13分)

解:（Ⅰ)满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-;1,1,2-；1,2,0-． (3)

分 (Ⅱ）11a =-． ……………… 4分

否则,假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -≥，因此有

12312312222n n n n n a a a a a ----?+?+?++?+

1

232

(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-?+-?+

+-?+-≥

123222211n n n ---=-----=,

这与123123122220n n n n n a a a a a ----?+?+?+

+?+=矛盾!

所以11a =-． ……………… ８分

(Ⅲ)先证明如下结论：{1,2,

,1}k n ?∈-，必有12122220n n n k k a a a ---?+?++?≤.

否则,令 12122220n n n k k a a a ---?+?+

+?>，

注意左式是2n k -的整数倍,因此 12122222n n n k n k k a a a ----?+?++?≥.

所以有：

12312312222n n n n n

a a a a a ----?+?+?+

+?+

122

(1)2(1)2(1)2(1)n k

n k n k -----+-?+-?+

+-?+-≥

1222221n k n k n k -----=-----

1=，

这与123123122220n n n n n a a a a a ----?+?+?++?+=矛盾！

所

以

12122220n n n k k a a a ---?+?+

+?≤. ………………1０分

因此有:

112123121212312210,20,420,

2220,2220.

k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------

+?+≤≤≤≤

将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---?-+?-++?-<，?①

?? 又 123123122220n n n n n a a a a a ----?+?+?+

+?+=

,?? ② 两

式相

减

即

得

120n a a a ++

+>． (3)

１４.（２018朝阳二模·理） 若无穷数列{}a 满足：存在p q a a =（p ，*q ∈Ν,p q >),并且只要p q a a =,就有p i q I a ta ++=(t 为常数，123i =，，，）,则成{}n a 具有性质T . (1)若{}n a 具有性质T ，且3t =，14a =，25a =，41a =，55a =，78936a a a ++=,求3a ； (2）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n n S b =+(b ∈R ),证明存在无穷多个b 的不同取值，使得数列{}n a 具有性质T ;

（3)设{}n b 是一个无穷数列,数列{}n a 中存在p q a a =（p ,*q ∈N ,p q >)，且1cos n n n a b a +=（*n ∈N )，求证:“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ，{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件. 14.【解析】 (Ⅰ)因为{}n

a 具有性质T ,且255,a a ==

所以6

374859633,33,315,39,a a a a a a a a a =======

由7

8936a a a ++=,得3315936a ++=,所以32a =,经检验符合题意.

(Ⅱ)因为无穷数列{}n a

的前n 项和为n S ,且=2()n n

S b b +∈R , 所以1=2,a b +当2n ≥时,11=222n

n n n a ---=,

若存在(),p q a a p q =>则1q =,

取1

22p b -=-（,p ∈N 且2,p p ≥为常数)，

则12p p

q a a -==，对1

2

p t -=，有11+1122(1,2,3)p i p p i

i i a a ta i +--++====

所以数列{}n a 有性质T ,且b 的不同取值有无穷多个.