二次函数和二次方程

二次函数与二次方程、二次不等式的关系

二次函数与二次方程、二次不等式的关系 一、知识梳理 知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y ≠0时，就是二次不等式。 知识点2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函 数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。 知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示： 二、精典题型剖析 例1、已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图 （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ， 求当PQ 最短时△MPQ 的面积． 变式训练：1、函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a ++ +++的值是________ 2、已知二次函数y=x 2-2x+3. (1) 若它的图像永远在x 轴的上方，则x 的取值范围是__________; (2) 若它的图像永远在x 轴的下方，则x 的取值范围是__________; (3) 若它的图像与x 轴只有一个交点，则x 的取值范围是__________. 3、已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点． △=b 2﹣4ac △＞0 △=0 △＜0 二次函数 y=ax2+bx+c(a ＞0)的图像 x y O x y O x y O 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ＞0)的根 a b x 22 ,1?±-= a b x 2-= 无实数根 一元二次不等式 ax 2 +bx+c ＞0(a ＞0)的解集 x ＜ 1x 或x ＞2x （1x ＜2x ） a b x 2- ≠ x 为全体实数 一元二次不等 ax2+bx+c ＜0(a ＞0)的解集 1x ＜x ＜2x （1x ＜2x ） 无解 无解

二次函数和一元二次方程的关系

二次函数和一元二次方程的关系教学设计一教学设计思路通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。 教学目标二 1 知识与技能(1).经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根. (2).会利用图象法求一元二次方程的近似解。 2 过程与方法 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 情感态度价值观三 通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想. 教学重点和难点四页 1 第 重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一

元二次方程的近似解。 难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教学方法五 讨论探索法六教学过程设计(一)问题的提出与解决问题如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系 h=20t5t2。考虑以下问题 (1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? ?(4)球从飞出到落地要用多少时间分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数 h=20t-5t2。 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一页 2 第 元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。 解：(1)解方程15=20t5t2。t24t+3=0。t1=1,t2=3。

二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法

1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根， (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式2 4b ac -= 0，相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 ． 2、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图 像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时， 知识梳理 新课讲解

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校彭足琼 凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。 1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于

0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。 2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b2-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b2-4ac=0时有两个相等的实数根③b2-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。 3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题： 典型例题（1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值

二次函数与一元二次方程知识点及经典例题

二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系 1、 一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交 点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根； 2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0） 与x 轴交点个数情况：①判别式?②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2 ＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2 ＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2 ＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个 x 3-≥a 例 2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2 -x ＋4 1与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717 ) 83(2 -=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个； 例4：二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1） 写出方程ax 2 ＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集； （3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值； （4） 若方程ax 2 ＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。 3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（ a c a b x x x x =-=+2121，） ① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x +-= 22 与X 轴的一个交点是 （－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212 421) (-=+ 例6：若抛物线32 -+= ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a ③ 利用韦达定理求面积：

初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析

初中数学_二次函数和一元二次方程_习 题及解析 一、选择题（共15小题） 1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（） A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3 C、2a﹣b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小 2、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（） A、ac＜0 B、a﹣b+c＞0 C、b=﹣4a D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5 3、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（） A、abc＜0 B、c＞0 C、4a＞c D、a+b+c＞0 4、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（） A、a＜0，b2﹣4ac＜0 B、a＜0，b2﹣4ac＞0 C、a＞0，b2﹣4ac＜0 D、a＞0，b2﹣4ac＞0 5、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①abc＞0； ②4a﹣2b+c＜0； ③2a﹣b＜0； ④b2+8a＞4ac． 其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（） A、B、 C、D、 7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（） A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同 B、因为y1，y2的对称轴相同 C、如果y2的最值为m，则y1的最值为km D、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d 8、已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（） A、9 B、10 C、11 D、12 9、（2005?浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24 C、3.24＜x＜3.25 D、3.25＜x＜3.26 10、根据下列表格的对应值： 判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（） A、8＜x＜9 B、9＜x＜10 C、10＜x＜11 D、11＜x＜12

二次方程与二次函数基础知识

十字相乘法与一元二次方程（函数） 一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式是 ，韦达定理是 . 1. 用十字相乘法分解因式： （1）232x x ++ （2）256x x -+ （3）256x x -- (4)2865x x +- (5)2656x x -- (6)241615x x -+ 2. 解一元二次方程： （1）213360x x ++= （2）22480x x --= （3）22950x x ++= （4）23710x x -+= 3. 若1x 和2x 分别是一元二次方程22530x x +-=的两根． （1）12x x -= ；（2）2221x x += （3） 1211x x += （4） 2212 11x x += 4.（1）已知一个一元二次方程的两根之和为10，两根之积为13. 求此方程. (2) 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：2() (0)f x ax bx c a （2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a （3）零点式：12() ()()(0)f x a x x x x a 二次函数2()(0)f x ax bx c a 的顶点坐标是_________ ,对称轴方程是__________ 5． 画出下列二次函数图象： （1）23y x = （2）233y x =-+ （3）2(2)1y x =-+ 6． 用配方法求顶点坐标： （1）221212y x x =++ （2）21212y x x = -- （3）2132 y x x =-+ （4）21y x x =-++ 7．二次函数的图象分别满足下列条件，分别求相应的二次函数解析式： (1)顶点(1,2)--，过点(1,6)- (2)过三点(2,3)A --,(0,1)B -,(1,3)C

中考数学专题 一元二次方程与二次函数

中考数学专题4 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，， 且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一 个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分 析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】 解：（1）分两种情况： 当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =，（不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根. 当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程， ∵()()()2 22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥. ∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根. （2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m . ∴抛物线的解析式为12 1-=x y . ②∵()()2 21212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差）

二次函数与一元二次方程教案 (2)

人教版数学九年级上册 1 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质，了解二次函数与二次方程的相互关系． 2. 探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值（或最小值）及函数的增减性的概念．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 3. 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点． 教学重点 二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法． 教学难点 二次函数的性质的应用． 教学过程 一、导入新课 我们学习了一元一次方程kx ＋b ＝0(k ≠0)和一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就转化成了一元一次方程kx ＋b ＝0，且一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx ＋b ＝0的解． 现在我们学习了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ c (a ≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题． 二、新课教学 1．问题讲解． 如下图，以40 m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有函数关系 h ＝20t －5t 2． 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 教师引导学生阅读例题，请大家先发表自己的看法，然后解答．

一元二次方程与二次函数提高训练题

一元二次方程与二次函数提高训练题 1、已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2 241y x x k =++-的图 象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线 ()1 2 y x b b k = +<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴1 23k =，，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； 当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意． 当3k =时，二次函数为2 242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2 246y x x =+-． （3）设二次函数2 246y x x =+-的图象与x 轴交于 A B 、两点，则(30)A -， ，(10)B ，． y 8 6 4 2

依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12 y x b = +经过A 点时，可得32b =； 当直线12 y x b =+经过B 点时，可得1 2b =-． 由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13 22 b -<<． 2、已知：关于x 的一元二次方程2 2 2(23)41480x m x m m --+-+= （1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 证明： []2 2 =2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+> ∴方程有两个不相等的实数根。 （2）2(23)84 = (23)212 m m x m m -±+-±+= ∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数． 又∵12＜m ＜40， 252181.m ∴<+< ∴ 5＜21m +＜9． 35216,.2 217,24.63 218,. 2m m m m m m +=∴= +=∴=+=∴=令令令 ∴m=24 3、已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc

二次函数与一元二次方程教案 一

§6.3 二次函数与一元二次方程（一） 南京市东山外国语学校黄秀旺 【教学目标】 体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；理解一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 教学重点: 二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系． 教学难点: 理解二次函数图象与x轴的位置关系与一元二次方程的根的情况之间的关系．【教学过程】 一、创设情境，揭示课题 一个小球从地面以一定的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系为二次函数h=-5t2+40t，其函数图象如图（图略）所示． 试问：小球经过多少秒后落地?与同伴进行交流. （揭示课题：6.3 二次函数与一元二次方程） 二、活动探索，研究问题 1.师生探究 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？你能说出交点的坐标吗？ (2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？ (3)探究：你能说出一元二次方程x 2-2x -3=0的根吗？ 2.自主探究 类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？ 3.归纳总结 二次函数y=a x2+b x+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程a x2+b x+c=0的根有什么关系? 4.例题示范 三、自主研究，巩固应用 四、延伸拓展，提高能力 在本节一开始的小球上抛问题中, 提出新的问题: （1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？ （2）方程 -5t2+40t=75的根的实际意义是什么？ （3）何时小球离地面的高度是60m? 五、回顾小结，强化认知 通过这节课的学习: 我发现了…… 我学会了…… 六、布置作业，课后练习课本P33–P34 4 ，7。

九年级数学下学期-二次函数与一元二次方程的关系

二次函数与一元二次方程 教学目标 一、教学知识点 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。 二、能力训练要求 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神 2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。 3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识。 三、情感与价值观要求 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2、具有初步的创新精神和实践能力。 教学重点 1.体会方程与函数之间的联系。 2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标。 教学难点 1、探索方程与函数之间的联系的过程。 2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。教学方法：讨论探索法 教学过程： 1、设问题情境，引入新课 我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k≠0)的关系，你还记得吗？

它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。 现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。 2、新课讲解 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以 用公式 h =－5t 2+v 0t +h 表示，其中h (m)是抛出时的高度，v (m/s ) 是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么（1）h 与t 的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？ 小组交流，然后发表自己的看法。 学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5t 2+v 0t +h 0， 其中的v 为40m/s， 小球从地面抛起，所以h 0=0。把v ,h 带入上式即可求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t （2）小球落地时h为0 ，所以只要令h =－5t 2+v 0t +h 中的h=0求出t 即可。也就是－5t 2+40t=0 t 2－8t=0 ∴t（t－8）=0 ∴t=0或t=8 t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间。 也可以观察图像，从图像上可看到t=8时小球落地。 议一议 二次函数①y=x2+2x ②y=x2－2x+1③y=x2－2x +2 的图像如下图所示 （1）每个图像与x 轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2+2x=0 , x2－2x+1=0有几个根？解方程验证一下, 一元二次方程x2－2x +2=0有根吗？ （3）二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ （课件展示） 学生讨论后，解答如下：

二次函数与一二次方程关系解题技巧

一、一元二次方程及其解法解题技巧 类型一巧用一元二次方程的定义解题 【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______． 【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得； 【答案】 【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要 是整式方程. 类型二巧用一元二次方程的根的意义解题 【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程 ，从而求得．但二次项的系数，即，所以． 【答案】 【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为 零这一隐含条件． 【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（） A．－5 B．5 C．－9 D．9 【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9． 【答案】C 【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间 的关系．从而使问题得到快速求解． 类型三巧构一元二次方程的根

【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则 该方程的一根必为________． 【解析】结合一元二次方程根的定义，当 时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的 一根必为x = ． 【答案】x = 【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出． 类型四 判断一元二次方程根的范围 【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程 （ 为常数）的一 的范围是（ A ． B ． C ． D ． 【解析】由表格中的数据发现：当x =6.18时，代数式的值为－0.01；当x =6.19时， 代数式 的值为0.02，要从表格中判断 =0的解，可发现未知数x 的值应处于6. 18到6.19之间． 【答案】C 【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解． 类型五 与一元二次方程的根有关的开放题 【例6】已知关于 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________． 【解析 】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项． 【答案】答案不唯一，如： 即 等． 二、实际问题与一元二次方程解题技巧 近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力． 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用

二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法

二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法

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1.一元二次方程ａｘ2 +ｂx ＋ｃ=0(ａ≠0）的解的情况等价于抛物线y ＝ａx 2 ＋bx+c(c ≠0）与直线ｙ=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ａx 2 +b ｘ+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况:两个公共点(即有两个交点）,一个公共点，没有公共点，因此有：1( ?)抛物线y ＝ａx 2 +bx ＋ｃ与x 轴有两个公共点(ｘ1，0)（x 2，０)一元二次方程ax 2 +ｂｘ +c=0有两个不等实根 △＝b ２ -4a ｃ>０。? (2)抛物线y=a ｘ2 +bx+ｃ与ｘ轴只有一个公共点时，此公共点即为顶 点一元二次方程ax 2 +b ｘ+ｃ=0有两个相等实根， (3）抛物线y=ax 2 ＋b ｘ＋c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 ＋bx+c=０没有实数根 △=b 2 -４a ｃ<0． (4）事实上，抛物线y=ａx 2 ＋bx+ｃ与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 ＋b ｘ+ｃ=h 的根的情况。 抛物线y=ａx 2 +b ｘ＋c 与直线y ＝m ｘ+ｎ的公共点情况方程ａx ２ ＋ｂｘ+c ＝mx+n 的根的情况。?2．二次函数解 析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式24b ac -=? 0，相应二次方程2 3280x x -+=的根 的情况为??. ２、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数)的图像与x 轴的交点个数为(? ) A.０个 B ．１个??C.2个??Ｄ．1个或2个 ３、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的 图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0 b =时,函数的图像关于y 轴对称. 其中正确命题的个数是( ) Ａ.1个 B ．2个? C.3个 Ｄ.4个 4、已知函数2 2y x mx m =-+-． 知识梳理 新课讲解

一元二次方程与二次函数知识点总结归纳

个性化辅导教案 教师 科目 数 学 时间 2014 年10月 34日 学生 年级 初 三 学校 授课内容 一元二次方程知识点总结 二次函数知识点总结 难度星级 ★★★★ 教学内容 本次课教学安排： 1、掌握一元二次方程的知识点总结 2、掌握二次函数知识点总结 内容详解： 知识点总结：一元二次方程 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如 果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都 加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x

二次函数与一元二次方程、二次函数知识总结

学员姓名年级辅导科目数学学科教师班主任授课时间 教学课题二次函数与方程、二次函数知识总结 教学目标理解掌握二次函数与一元二次方程得关系，掌握根与系数得关系，掌握本章知识结构。 教学重难点知识理解掌握。 课堂教学过程课堂教学过程 课前 检查作业完成情况: 优□良□中□差□建议: 教学内容 一、二次函数与一元二次方程： （一)思考与探索:二次函数y＝x２-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=０有怎样得关系？ １、从关系式瞧二次函数y＝x2-2ｘ－3成为一元二次方程x2-2x-３=０得条件就是什么？ ２、反应在图象上：观察二次函数y＝x２-2ｘ－3得图象，您能确定一元二次方程 ｘ2-2x-3＝０得根吗? 3、结论: 一般地，如果二次函数y=ax２+ｂｘ＋ｃ得图象与ｘ轴有 两个公共点（x１,0)、(x2,0),那么一元二次方程aｘ2+ｂ x+ｃ=０有两个不相等得实数根ｘ=x1、ｘ=ｘ2。反过来也 成立。 ４、观察与思考: 观察下列图象: (1)观 察函 数y= x2-6x ＋9与 y= x2-2x +3得图象与x轴得公共点得个数; (２)判断一元二次方程x２-6x+9=0与ｘ2-2x+3=０得根得情况； （３)您能利用图象解释一元二次方程得根得不同情况吗? （二)归纳提高: 一般地，二次函数y=ax2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bｘ+ｃ=０得根有如下关系: 1、如果二次函数y＝ax2+ｂx+c图象与x轴有两个交点(m,0)、(n,0)，那么一元二次方程ax２+bx+c=0有实数根ｘ１= ,x2= 、 2、如果二次函数ｙ=aｘ2＋bx+c图象与ｘ轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程ax2＋bx＋ｃ=0有实数根ｘ1=x2= 、

一元二次方程与二次函数的关系

一元二次方程与二次函数的关系这节课是我们学校给我排上的公开课，所以我格外重视，课前进行了扎实的长时间准备，课后又进行了组内范围的评课。 我通过认真研读课程标准，查阅资料，集思广益，遵照学生特点，有步骤、有层次的对本节课做了精心设计。课堂在引导学生回顾旧知，引起认知冲突中抛出问题，学生一下子急于知道答案，表现出极大的求知热情。解疑提升提升环节曾一度出现争论高潮。教学中始终如一贯彻数学思想。函数图象的应用必须数形结合，引导学生反复练习二次函数的作图是中考必考点，针对考点我在例题讲解和学生练习中都重点强调图象的作图，在动手中过手知识点。让学生体验函数y=x +bx+c=0的解的探索过程，掌握用函数y=x +bx+c图象交点的方法求方程ax +bx+c=0的解。通过渗透数形结合的思想，提高学生综合解题能力。对不足之处，改进环节的反思。(1)放手不够，包办还是过多，学生思考时间有时显得不足。 (2)当堂过手检查环节显得匆忙，师生互动没能彻底带动学生跟随学习思路，气氛活跃但是没在规定5分钟内完成互查任务。(3)学生回答时没做好鼓励和点评，提问回答环节没能完全落实，有1处提问指向不明确。(4)函数与X轴交点同方程的根的关系可适当做逆向分析，点到为止，因时间关系不做过多展开。 6.本堂课课后评课优点。(1)课件使用非常有特色，并且结合课程讲解学习分步呈现，动画设置到位，板书书写、格式位置也很好，是一大亮点。(2)目标层次分明，知识能力情感三大目标定位准确，内容实效性可操作性强。(3)教师感染力强，课堂生动有趣，始终关注学生，并带动学生积极参与进课堂每个环节。(4)教学过程非常注重学生练习及反馈矫正，是一堂有效的落实过手的公开课，并且对习题选择也由浅入深，贴近中考目标，具有针对性。(5)教师对教材分析和大纲考点分析到位，教学中渗透考点分析和数学思想应用，显示了教师扎实业务素质和基本功，尤其教学语言丰富，知识全面分析讲解准确也是本节课一大特色。(6)教师应变能力不错，善于根据学生实际即时调整课堂进度，驾驭课堂能力好，教学显得成熟。

第四讲-一元二次方程与二次函数(含答案)

中考数学重难点专题讲座 第四讲一元二次方程与二次函数 【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往 是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考 察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以 我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。 第一部分真题精讲 【例1】2010，西城，一模 _ Q 已知：关于x 的方程mx2 3(m 1)x 2m 3 0 ． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数y1 mx2 3(m 1)x 2m 1的图象关于y轴对称． ① 求二次函数y1 的解析式； ②已知一次函数y2 2x 2 ，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所 对应的函数值％> y2均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数y3 ax2 bx c的图象经过点(5 , 0)，且在实数范围内， 对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y i > y s > y2，均成立，求二次函数2 y3 ax2 bx c 的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0 和M工0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二 次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因 变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y的一条切线，只 有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。 于是通过代点，将y3用只含a的表达式表示出来，再利用y i > y3 > y2,构建两个不等式，最终分析出a 为何值时不等式取等号，于是可以得出结果? 【解析】 解：（1）分两种情况： 当m 0 时，原方程化为3x 3 0 ，解得x 1 ，（不要遗漏） ???当m 0 ,原方程有实数根? 当m 0时，原方程为关于x 的一元二次方程， 2 2 2 T△ [ 3 m 1 ] 4m 2m 3 m26m 9 m 3 > 0. ?原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判 定，让判别式小于0 就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根. （2）①???关于x的二次函数y1 mx2 3（m 1）x 2m 3的图象关于y轴对称，?3（m 1） 0.（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ?m 1. 抛物线的解析式为 2 y1 x1. ② T y-i y2x212x 2 2 x 1 > 0 ,（判断大小直接做差） -y1 > y2 （当且仅当x 1 时，等号成立）.（3）由②知，当x 1 时，y1y2 0.