视图与投影讲义

九年级上册数学讲义——视图与投影知识点

本章精要知识点归纳

1. 主要概念：

（1）圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆。

（2）圆锥的主视图是三角形；左视图是三角形；俯视图是圆，还要画上圆心。

（3）球的主视图是圆；左视图是圆；俯视图是圆。

（4）投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙上留下它的影子，这就是投影现象。

（5）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。

（6）中心投影：由一点发出的光线形成的投影是中心投影。

（7）视点：眼睛的位置称为视点。

（8）视线：由视点出发的线称为视线。

（9）盲区：视线看不到的地方称为盲区。

2. 主要原理：

（1）画视图时，看得见的部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线。

（2）我们在画三视图时，主、左视图的高要相等；俯、左视图的宽要相等。

（3）在同一时刻，不同物体的影子与它们的高度是成比例的。

（4）在同一天中，由早晨到傍晚，物体的影子由正西、北偏西、正北、北偏东、正东的方向移动。

（5）当投影光线与投影面垂直时，形成的投影就是物体的正投影。

第一节视图

知识剖析：

1、画圆柱、圆锥、球的三视图

还记得一个物体的主视图、左视图和俯视图吗，你能画出下面物体的主视图、左视图和俯视图吗?

圆柱圆锥球

图中物体从正面、侧面、上面看这些儿何体，它们的形状各是什么样的？

上面我们研究的是三种有代表性的几何体，生活中还有更多几何体及物体．

2、画直三棱柱与直四棱柱的三种视图：

先想象出图中各几何体的三种视图，然后互相讨论结果的正确性。

根据想象和讨论，可以基本确定直三棱柱和直四棱柱的三种视图：

直三棱柱

直四棱柱

从上面的直棱柱的三种视图中，能否总结一下，在画视图时应注意什么?

（在画视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．应注意主视图和左视图是否同样宽．）

典型例题

例1. 如图，画出正三棱柱在这两种位置时的视图。

位置（一）位置（二）

解：图中正三棱柱在位置（一）时的三视图如下图所示。

主视图左视图俯视图

图中正三棱柱在位置（二）时的三视图如下图所示：

主视图左视图俯视图

例2. 如图所示，画出下列物体的三视图。

（1） （2）

答：两个物体的三视图如图（a ）（b ）

主视图 左视图 俯视图

（a ）

主视图 左视图 俯视图

（b ）

例3. 图1是底面为等腰直角三角形的三棱柱俯视图，画出它们主视图和左视图。

d

A

B C

D

E

F

a b c （1）

（2）

图1

解：如图2。

主视图 左视图 主视图 左视图

a

b d

（1） （2）

课堂练习

已知某四棱柱的俯视图如下图所示，尝试画出它的主视图和左视图．

本节知识点归纳：

1．画三视图的原则

画三视图时，应注意主、俯视图要“”，主、左视图要“”，左、俯视图要“宽相等”．

[注意] 在画圆锥的俯视图时，要注意不要漏掉圆心处的实点．

2．三视图的画法

首先观察物体的几何构成，确定主视图的位置，依次画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线．

[总结] 三视图中的方位与物体上的方位的对应关系：

(1)主视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；

(2)俯视图中的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；

(3)左视图中的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前．

3．画三视图的顺序

三种视图中首先应确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图下面画出俯视图，在主视图右面画出左视图．

典型例题

?考点一确定物体的三视图

例1 如图S4－1(a)所示几何体的主(正)视图是( )

[分析] B容易看出主视图有两层组成，最上层一个正方形，第二层三个正方形．

方法技巧

三个视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体所得到的平面图形，要注意用平行光去看．画三个视图时应注意尺寸的大小，即三个视图的特征：主视图(从正面看)体现物体的长和高，左视图体现物体的高和宽，俯视图体现物体的长和宽．

?考点二由视图确定物体

例2 由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图S4－2所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

[分析] B由主视图可以看出几何体有两层，由俯视图可以看出第一层有3个小立方体，由

左视图可以看出第二层有1个小正方体． 方法技巧

从俯视图可以看出行数与列数，再由各个位置上小正方体的个数确定每行每列的最高层数，从而确定出小正方体的个数．另外，在根据三个视图确定立体图形时，一定要充分发挥自己的空间想象力，并且要注意由三个视图想象实物时可能不唯一．建议同学们在俯视图的各个位置上写上该位置上小正方体的个数，然后把各个位置上的小正方体的个数相加即可．

第二节 太阳光与影子（平行投影）

知识剖析：

实践：取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子。 问题：如果改变小棒或纸片的位置和方向，它们的影子发生了什么变化？

概念：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 思索：在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系？与同伴交流。 议议：物体的主视图实际上就是说物体在某一平行光线下的投影（如图4-13），左视图和俯视图也是如此，你同意这种看法吗？先想一想，再与同伴交流。 典型例题

? 考点三 平行投影问题

例3 小刚身高1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m ，那么小刚举起的手臂超出头顶( )

A ．0.5 m

B ．0.55 m

C ．0.6 m

D ．2.2 m

[分析] A 本题是平行投影问题，可借助相似三角形的有关知识来解决．设小刚举起的手臂超出头顶x m ，则0.851.7＝ 1.1

1.7＋x ，解之得x ＝0.5 m .

方法技巧

物体在太阳光下所形成的影子大小和形状随着物体与投影面的位置关系的改变而改变．特别地，当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等；同一物体在不同时刻的影长和方向不同；同一时刻物高与影长成比例．

例4. 某校墙边有甲、乙两根木杆。 （1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图（1）所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？ （2）当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？ （3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？

解：（1）如图（2），作直线DD'，过E作DD'的平行线，交AD'所在直线于E'，则BE'就是乙木杆的影子；

（2）平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即△BE E'），直到其影子的顶端E'抵达墙角为止；

（3）△ADD'与△BEE'相似。

本节知识点归纳：

1．平行投影

太阳光线可以看成是的光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．[点拨] 平行投影与视图的联系：事实上，在特殊位置下(投影线与投影面垂直时)物体的平行投影就是物体的三种视图．物体的主视图是一束平行光线从正前方照射时形成的平行投影；左视图是一束平行光线从左前方照射形成的平行投影；俯视图是一束平行光线从正上方照射形成的平行投影．

第三节灯光与影子（中心投影）

知识剖析：

概念：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。

思索：当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时．你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了．这是为什么?

概念：视点、视线、盲区：人眼的位置称为视点；由视点发出的光线称为视线；人眼看不到的地方称为盲区．

[点拨]中心投影与平行投影的区别：太阳光线是平行的光线，灯光的光线是从一点发出的．

典型例题

例5. （山西省中考题）如图，小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_____________米（结果保留两位有效数字，

21413173

≈≈

..

，）。

解：延长BC、AD，二线交于点E，过点D作DF⊥BE于点F，则BE为旗杆AB的影子。

∵∠DCF=30°，CD=4m

∴DF=1

2

2

CD m

=，∴CF CD DF

=-=

2223

∵∠ABC=∠DFE=90°，∠E=∠E，

∴△ABE∽△DFE，∴AB

BE

DF FE =

∵在同一时刻两物体的物高与影长成比例，∴AB

BE = 1 2

设AB=x米，则BE=2x米

∴DF

EF

DF

BE BC CF x

=

--

=

--

=

2

21023

1

2

∴x=+≈+≈

73717387

..（米）

答：电线杆的高度约为8.7米。

例6. 如图所示，路灯下某公路护栏AB的影子为AB'，某果树CD的影子为CD'，请画出电线杆EF的影子。

解：如图所示，作直线B B D D

''

、，交于点O，连结OF并延长交AE于F'，EF'即为EF 的影子。

例7. 同一时刻，一棵树和一竿旗的影子如图所示，这是白天还是夜晚，请画出小明此刻的影子。

解：是夜晚，分别过小树及其影子顶端，旗杆及其影子顶端作直线交点为O，过O点及小明头部顶点作直线，此直线与地面交于点B，设小明立足点为A，则AB是小明的影子。例8. 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的，如下图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗？

解：过盆花及其影子顶端作直线，作反射面法线，作∠2=∠1，得光线l1，过树及其影子顶端作直线l2，两线交点O，则O处为灯光位置。

例9. 小明、小刚在同一座楼的四层、六层。他们楼前有一商店，他们的同学小江在下面喊，小明说，小江在哪儿呢？小刚说我看到小江啦！请问此时小江在什么位置？

解：将六楼处设为点A，四楼处设为点A'，商店顶部一点设为点B，过A、B，A'、B分别作直线交地面于C、D两点，如图所示。小江在CD区域内。

跟进练习：

一、选择题

1. 如图（1）所示，所对应的物体还是图（2）所示中的（）

图（1）图（2）

2. 如图（3）所示的空心几何体的俯视图是图（4）中的（）

图（3）图（4）

3. 物体在太阳光的照射下，不同的时刻会发生的现象是（）

A. 影子的大小不变，方向在变

B. 影子的大小在变，方向不变

C. 影子的大小、方向都在变

D. 影子的大小、方向都不变

4. 强强和亮亮在路灯下走，本来很高的强强的影长却比矮的亮亮的影子短，因为（）

A. 强强离路灯近

B. 亮亮离路灯近

C. 强强和亮亮分别在路灯的两旁

D. 路灯比强强高

5. 货车司机的驾驶室一般都设计得较高，而且尽量靠前，这是为了（）

A. 接触到更好的阳光

B. 看得更远

C. 减小因车头挡住视线产生的盲区

D. 空气更新鲜

6. 下列投影中，不属于中心投影的是（）

A. 晚上路灯下小孩的影子

B. 汽车灯光照射下行人的影子

C. 阳光下沙滩上人的影子

D. 舞台上一束灯光下演员的影子

7. 小明拿了一张正方形卡片，使卡片面与墙面平行，这时发现墙面上形成了卡片的影子，则下列关于其影子的叙述正确的是（）

A. 墙上形成的影子的形状和大小一定与卡片相同

B. 墙上形成的影子有可能比卡片小

C. 墙上形成的影子比卡片大或小都有可能

D. 墙上形成的影子有可能比卡片大

二、填空题

1. 明明和亮亮为了踢好足球，练习追逐跑，于是他们两人决定玩踩影子的游戏，即踩到对方影子为获胜，你认为在阳光下练习还是在路灯下练习更有意义？_____________。

2. 现有甲、乙两个长方体盒子，甲的规格为：15cm×40cm×60cm，乙的规格为：20cm×30cm×30cm。

（1）乙盒子____________（填“能”或“不能”）放在甲盒子中；

（2）在阳光下乙盒子的影子____________（填“能”或“不能”）藏在甲盒子的影子中。

3. 明明和爸爸玩将手影投在墙上的游戏，爸爸的手大，手影做出了一只大狗，明明的手小，但手影却做出了一只更大的狗，明明的手比爸爸手_____________（填“靠近”或“远离”）墙。

4. 阳光下，在同一时刻，物体越高，它的影子越_____________。在灯光下，物体的影长不仅与物体的_____________有关，还与物体到光源的_____________有关。

5. 三种视图都相同的几何体有_____________。

6. 根据下列物体的三视图，如图，可知几何体是_____________。

主视图左视图俯视图

三、解答题

1. 如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物的一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角α=30°，乙建筑物的高度为15米，若汽车刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与公路的夹角为45°，请问他行驶了多少千米？

B

2. 如图所示，添线补全下列物体的三种视图：

3. 如图所示，分别是两根木杆及其影子的情形。

（1）哪个图形反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？

（2）请你画出图中表示小树影长的线段。

4. 某个有阳光的上午，战士们队列整齐地在操场上做操，战士甲和战士乙在同一列，战士甲恰好能踩到战士乙的影子，但战士甲的影子却不能被他后面的战士踩到，你知道战士甲和战士乙谁高吗？为什么？

5. 如图，某小区宿舍楼甲楼坐落在正南正北方向，楼高16m，现在要在甲楼后面盖一座乙楼，冬天太阳最低时的正午时刻，若两楼相距20m，则甲楼的影子将落在乙楼上6m，若使甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，那么两楼的距离应是多少米？