《高等数学下》作业集答案.

第七章向量代数与空间解析几何

第一节向量及其标表示

2． (i)A、B间的距离为d=3；(ii)中点C的坐标为(0,1,)；(iii)A、B联线与23

三坐标面交点为(-3,-2,0),(-1,0,-1),(0,1,)

3

2

3．(1) i+j+k不是单位向量，(2)三个单位向量之和有可能是零向量，此时a=-b-c。

5

5．prjba=2及prjab= m与b的夹角为arccos.

13

第二节数量积、向量积和混合积

一、1． 36. 2．λ= 3. 3．共面.4． 18 。二、计算下列各题，1

。arccos，

2、（1）3，{5,1,7}；（2）,18，{10,2,14}；（3

）cos=

2.

3、

π

3

.4

3,cos=-

3，5．(0,0,)。

5第三节空间平面与空间直线

一、1．D，2．C， 3． C．4．A． 5． D．6．A．7． A．8． C．

二、1．1，2．x-y+z=0。3．过点(x-1)-(y-2)-(z+1)=0， 4．已知两条直线的方程是(x-1)+(y-2)-(z-3)=0。

三、（1）2(x-1)+3y+(z+1)=0；（2）3x-2y-1=0；（3）x-z=1；

（4）2x-y+z=0；（5）y-3z=0；（6）4x+3(y-1)-z=0. 四、（1）

x+53

=y+82=

=z1

x+41

x3

y-40y-2-1

z

x

y-1

z

; （2）

z-41

==

五、（1）

x-2-1

y+33

=；（2）==

3z-42

; （3）；（3）

-3x+13

=

12y-2z-1==

-11

=

六、（1）异面，（2）d=1,(3)?

?3x+7y-6z-12=0?x=1

z2

第四节空间曲面与空间曲线

5

．z=0,(x-1)+y≤1;x=0,(

2

2

-1)+y≤1,z≥0;y=0,x≤z≤

22

.

第七章综合练习题

2．如果x=0,y=0，a,b可任意，如果x≠0，则a=b。

2 2

3．（1）(a+b+c)=59；（2）(a-2b+c)=8；（3）(2a-b)(3b-c)=-30

4．如果x=0,y=0,z=0，a,b,c可任意，如果x≠0,y=z=0，则a=0,b,c任意，

a等，如果x≠0,y≠0,z=0，则a=b,c可任意，如果x≠0,y≠0,z≠0时、b、c共面。1．都不正确

|AB?AC|28|AB?AC||AB?AC|8．hAB=，hBC=

=hAC===

5|AB||AC||BC|11．3x+3y+6z-11=0。

第八章多元函数微分学及其应用第一节多元函数的基本概念

一、

1． B． 2．A． 3． D．4． C． 5． D． C． 7． D． 8．A．9． C．10． B．二、1． x2+y2=1，2．{(x,y)|x>0∧y>0}，3． x-y=0间断，4．定义域是整个平面，5．ln2。三、 xy ，

四、⑴D={(x,y)|y2>x}，⑵D={(x,y)|x≥0,y≥0,x2>y} ⑶D={(x,xy)|x+y>0,x-y>0}，

⑷D={(x,y)|0≤x

14

，⑶2，⑷1

第二节偏导数

一、1．A．2．A．3． C．4．A．5． D． 6． D．7． B．

?z?zx?z?z4x1xy2

=(1+xy)e2=-，2，4．，5．， =+=3x(x+xy)22 ?x?y(x+y)?y?x2x+yx

6．

?z

?x

?z2y9．， =2

?x(x+y)

=3xy-y，7．

23

?z?x

=ycos(xy)+cosy，8．

?z?x

=cot

yx

sec

yx

(-

yx

)，

10．

?z?x

=(1+xy)[2ln(1+xy)+

?z?x?z?x

22

22

2x

2x1+xy

] ，11．

?z?x

=yx

y-1

，12． fx'(1,2)=

1

?z

25

。

四、⑴

⑶

=12x,

x

?z?x?y

=12xy,=y

x-1

?z?y

1?zx

， =-6y ⑵ =,=,=-222

?xx?x?yy?yy

?z?y

22

?z

=ylny,

?z?x?y

(1+xlny),=x(x-1)y

x-2

。

第三节全微分

一、1． C．2． B．3．A．4． A．5． D．6．C． A．8．C．二、dz (1,1)

=e(dx+dy)，

y

?z?y

(1,2)

=1+e，

?z?t

(1,2)

=16+7e。

6

三、⑴dz=ex(-⑶dz=四、?z=

y-xy

ydxx

+

dyx

) ⑵dz=x

xdx+ydyx+y

yz-1

22

yz

dx+

y(1-xy)

dy,⑷du=yzxdx+zxlnxdy+yx

yz

lnxdz.

2.01?1.032.01-1.03

-

23

,dz=-

59

?0.01+

109

?0.03．

第四节多元复合函数与隐函数的求导法则

一、1． B．2． B．3．C．1， 4．A． 5．A．6． C．

二、1．

dudx

?z?y=

2x=1ax

2

=-1， 2．

ae

ax2

dzdt

=(cost-6t)e

2x-2y

， 3．

?z?x?z?x

dzdx

=

y+xe

x2

1+(xy)

，

4．

ae(y-z)a+1

=2xf1+ye

2

+

xy

cosx?z?y

a+1

f2，

+

e

ax

sinx

2

a+1

。5．

xy

=2u+2v，

?z?y

=2u-2v，?z?y

三、⑴

?z?x

=-2yf1+xef2,⑵=f1+yf2+f3， =xf2-f3．

?2z

四、=-2f11+(2sinx-ycosx)f12+ysinxcosxf22+cosf2。?x?y

五、 fy(x,x)=-

2

12

。七、

y

2y

cosy+e-2xy

.

第五节多元函数微分学在几何上的应用一、?

?x=y?z=0

,二、

x-116

=

y-19

=

z-1-1

，16x+9y-z=24,三、2(x-1)+(y-2)=0。xyz

五、x-y+2z=±

?z?x

?z?y

112

.六、?z?x?y

2

?z?x

=

yz-

，

?z?y

2

xyz-xy

=

xz-2xyzxyz-xy

．

2

2

x

七、

+=1．九、=

z

2

y(x+z)

?u?n

．十、

?z?x

2

=

2yze-2xyz-yze

(e-xyz)

z

2z

．

第六节方向导数和梯度

一、1+

=

xa

2

204

，四、1

204

+

yb

+

zc

204

第七节多元函数的极值与最值

一、

1． D．2．C． 3． B． 4． B．5．A．6． D． 7． C． 8．A． 9．D．二、1． (x0,y0)=(0,0)，2．(x0,y0)=(0,0)，3．(x0,y0)=(0,0),(1,1)。

三、⑴极小值f(1,0)=-5，极大值f(-3,20=31⑵极大值z(3,2)=36⑶极小值

f(12

,-1)=-

e2

14

四、极大值f(,)=

22

11

．五、当长、宽、高都等于

32abc.

2a3

时，体积最大.．

六、切点(

a3

,

b3

,

c3

)，Vmin=

第八节多元函数微分学在经济管理中的应用

一、两种产品的产量分别为120和80。二、（1）x=0.75万元，y=1.25万元，（2）x=0，y=1.5万元。

第八章综合习题

⒌

?u?x

22

=f11-2f13+f33，

2

2

?u?y?z

2

=f12-f13-f22-f23，⒍极大值z(1,1)=1．

2

2

⒎求函数f(x,y)=x-y在圆周x+4y≤4上的最大值、最小值．⒏ zmax(-2,1)=6,zmin(-2,1)=-2．⒐ l={b,c,a}.⒑ λ=

3abc9

.

第九章重积分及其应用第一节二重积分的概念与性质

一、1． C ，2． A ，3． B ，4． D ，5． D ，6． B ，7． C ，8． A 。二、1．3，2．π，3．3π。三、1．1，6.

14

。

第二节二重积分的计算（直角坐标）

一、1． A ，2． D ，3． D ，4． A ，5． D ，6. A ，7. B ，8． C。

1x1x1

二、1．?dx?f(x,y)dy，2．0，3．?dx?2f(x,y)dy，4．。 -40x002(1-e)三、1.

?

ba

f(x)dx=2，2.?(x)=

f(x)(1-x)

2

2

，3. [x1(y),x2(y)]=[y,1]

四、（1）原式=

?

1

dy?

e

y

e

f(x,y)dx,（2）原式=

?

1

dy?f(x,y)dx+

y

1

?

1

dy?

2-y

1

f(x,y)dx

第二节二重积分的计算（极坐标）

一、1． D ，2． B ，3． C，4． B ，5． A ，6． B 。二、1．?2π0

dθ?f(rcosθ,rsinθ)rdr，2．3π，3．?

12π

dθ?rdr

R

3

三、1．2π

a

3

3

，2．π(1-e-a)，3．a3π，4．2π(5ln10-ln2-4)，5．(α,β)=(

2

π

2

,π)。

第三节二重积分的应用

一、 1． D，2． C。二、1．??f(x,y)dxdy=

D

?

3

y+2

1

dy?

3

1

f(x,y)dx+

?

y+2

3

dy?116

3y-2

f(x)dx，

π

2．?4dθ

0?

2cosθ

2cosθ+sinθ

f(rcosθ,rsinθ)rdr，3．，4．0。

第四节三重积分的概念

一、1． A ，2． A ，3． C ，4． C ，5． C，6． A．

二、（1）

12

(e-1)（2）

2

32

πa（3）4。

2

四、原式=

?

1

dz?dx?

z

11-x

f(x,y,z)dy+

?

10

dz?dx?

z1-xz-x

f(x,y,z)dy。

第五章三重积分的计算

一、1． D，2．C， 3． B，4． A，5． C，6． D。π

二、1．

??

D

2

f(x,y)dσ=

π

2

?

40dt?

10

10

f(rcost,rsint)rdr，

2

2．

??e

D

x+y

dσ=

?

20dt?

redr=

r

π

(e-1)。

三、1．

2

1

，1. (I1,I2,I3)2

2

=(0,0,

π

12

)，2. ?(r)=2πr(1-r)f(r)，3. 2

?(ρ)=4πρf(ρ)。

4. ?(z)=π(R-z)f(z)。

22

第六节三重积分的应用

1．(1)

23

, (2)

712

, (3)

54

π, (4)

76

π, (5) 21π

442

??2a2a73(A-a)?a?3??

2．（1） 0,0,?, （2） 0,0,，（3） ,,? 33?

8(A+a)?4????5530?

ππ2224

3．(1)J=hR4,（2）J=hR，4. Jz=??rdm=??(x+y)μ(x,y,z)dS，5. 210∑∑

83

π。

第九章综合练习

1．2π, 2． 8．

π

8

34

, 3．，3ln2-2，4．

π-2

4

，5．

8π15

12

，6．-

π

2

，7．cπR2，

，9．

18

ln2, 10．

54

2

π-816

2

, 11.

712

π，12.

a。

13. kπR4，14． (0,0,17．

368105

R)，15．

16．

4a3

，

ρ，18．

16

πa+1)，19．。

第十章曲线积分与曲面积分

第一节第一类曲线积分与第一类曲面积分1.

2πa

3

，

2 . 3.

112

，4．

2a2(2-.5. 21，6.

，

2

+)π+8π。

315

第二节第二类曲线积分

1. 0，

2. 2a2π，

3.-2，

4.(1)-

512

,(2)-

715

,(3) -

2

. 3

第三节格林公式，平面曲线积分与路径无关的问题1. π，2. 8π，3.-6. （1）∴u=

π

2

，4. 0，5. 3πa

2

3x+1131322

x+xy-xy+y+c, （2）∴u=+c 33x+y

xdy-ydx

y

2

7.（1） ydx+xdy=d(xy)，3,（2）（3）u=xcosy+ycosx+c, -

k

2

2

2

=d(-

xy

)，-

， 6

π

4

。

2

1353πa1π4

(e-1)，10. 8. ,1，9(1)πR（2）-2abπ（3）-（4）,12. 2σ。

232028

131322

13. （1）∴U=x+xy-xy-y+c （c 为常数）。

33

（2）∴U=xcosy+ycosx+c （c 为原函数）。 14. 计（1）-2,（2） 9 （3）12e-

12

22

。

15.（1）∴U=x2cosy+y2cosxs+c （c 为常数）为势函数。

(2)∴U=xex+y+ex+y-yex+y+yex+c （c 为常数）为势函数。

第五节高斯公式与散度

1Rπ

1. ，2 . 2aπ，3. -，4. ，5 .a2bc+ab2c+abc2，

82415

2

1

6.

12235

a+aπR，

5

（2）3a3 （3）2πa2H。

第六节斯托克斯公式与旋度

1. .

-4.

13

3

2222

a，.2 . 3a，3. (1`) 2πr（2）环量为2πR ，

2

，5 . (1) rot=0(2) rotA=0，6. (-4xz-16z)j-3xyk，

2

12π45

πR(3) -h，8 . 2πa3，9. (1)6,(2)81,8(， 5213131343322 10. （1）u=x+y+z-2xyz+c，（2）u=x+3xy+y+c。3333

7. : (1) 3a4,(2)

第十章综合练习

3 .

14

，4.

π

2

a，5. 4π，6.

23

3

23

a，7.

5

4

m-n2

-sin1

8. (1)质心P(0,0,a)，(2)转动惯量aπ，9. (1)

质心(0,0,(

5

-

15

π)(2)转动惯

-

3(1+量，10.

1+cos1-1)，11. -，12. 4π，13.

π，

3222

14 .0，15. -

π

2

4