弹塑性断裂力学结课报告.
弹塑性断裂力学
在本文总共分四部分，第一部分断裂力学习题，第二部分为断裂力学在岩石方面的研究及应用，第三部分为断裂力学的学习总结，第四部分为个人总结及建议。
一、断裂力学习题
1、某一合金构件，在275℃回火时，01780MPa σ=，52k K MPa m =，600℃回火时，01500MPa σ=，100Ic K MPa m =，应力强度因子的表达式为 1.1I K a σπ=，裂纹长度a=2mm ，工作应力为00.5σσ=。试按断裂力学的观点评
价两种情况下构件的安全性。（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P7）
解：由断裂失稳判据K<错误！未找到引用源。c ，临界条件K=错误！未
找到引用源。c 且a=2mm ，工作应力0=0.5σσ错误！未找到引用源。， 1.1I K a σπ=得
在275℃回火时，152Ic K MPa m =，得
111.117800.50.00277.6I Ic K MPa m K π=????=>
在600℃回火时，2100Ic K MPa m =，得
221.115000.50.00265.4I Ic K MPa m K π=????=<
由断裂准则可知，在275℃时K ＞错误！未找到引用源。c ，即裂纹会发
生失稳破坏；在600℃回火时K<错误！未找到引用源。K c ，即裂纹不会
发生失稳破坏。
2、有一长50cm 、宽25cm 的钢板，中央有长度2a =6cm 的穿透裂纹。已知材料的K Ic =95MPa m ，其屈服强度为ys δ=950MPa 。试求裂纹起裂扩展时的应力。（《工程断裂力学》 郦正能 北京航空航天大学出版社 P51）
解：（1）不考虑塑性区修正，但考虑有限宽度修正
()12
1 sec 0.03 0.03sec 0.25 0.307 1.036
a K W πασπαπσπσ??= ??????=? ???
=?? ()c c 95 299I b K MPa σ===令 K 得
（2）考虑塑性区修正及有限宽度修正
()1
2 F=sec a W πα?? ???
，当α=3cm 时，F =1.036此值很小，当α略有增加时（例如考虑塑性的影响）F 变化极小，故可认为F 为常数，可应用式（2.102）解K I ，得
K I =296MPa
从上面的计算结果，考虑塑性区修正以后，断裂应力并没有很大变化，只降低约1%。
3、一尺寸很大的矩形薄板上有一长度为2a 的裂纹。外加应力为σ=600MPa ，已知薄板材料的E=200GPa ，900ys σ=MPa ，c δ=0.2mm 。问允许的裂纹长度为多少？（《工程断裂力学》 郦正能 北京航空航天大学出版社 P154）
解：（1）9000.0045200000
ys e =
= （2）600/0.667900ys e e == （3）因为/0.5,ys e e >要用式（4.74）第二式 =0.250.4172ys ys
e e e δ
φπα=-= 得到=20.4170.0117y e δπαα?=
（4）由=0.2c δδ=得到 0.2==17.10.0117
αmm 所以容许的裂纹长度为2α=34.2mm 。
4、压力容器所用材料的强度极限b σ=2100MPa ，断裂韧度K Ⅰc =38MPa m ，厚度
与平均直径之比t/D=1/15，设有2a=3.8mm 的纵向穿透裂纹，如图所示。试求破坏时的临界压力。（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P42）
解：因为t/D=1/15远远小于1，按照断裂准则：1σ=
2PD t
IC K =1σa π 按照材料力学中的第四强度理论：1σ2PD t =152P = ， 2σ4PD t =154P = ，3σ0=
4r σ1212232313131[()()()()()()]2
σσσσσσσσσσσσ=--+--+-- 1151515151515()2444422
P P P P P P =?+?+? 1534P =
2100= 1
σ=IC K a π错误！未找到引用源。 =2PD t P =2IC t K D a
π?=2?115?383.140.0019?=65.6MPa P=323.3MPa
5、 设有无限长板条，高为2h ，在无应力状态下，是上下边界产生位移0υυ+=，然后予以固定，有一半无限长裂纹，假设为平面应变情况，在y h =+处，u=0。试计算能量释放率和强度因子。（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P54） σ2 t D p σ1
σ1
解：对于平面应变问题，有
()[]
01=+-=y x z z v E σσσε，则y z v σσ= ()[]
y z x y y E v v E σσσσε211-=+-=，则y y v E εσ21-= 应变能密度为：2022212112121??
? ??-=-==h v E v E W y y y υεεσ 裂纹扩展时，在裂纹尖端后方足够远处，应力近似为零。释放的应变能为：h W A U 2???=?。 能量释放率为：h v E h W A U G A I 202012lim
υ-=?=??=→? 由于，21I I K E G =，强度因子为：()
h v E G v E K I I 2021211-=??????-=υ
6、试求受单向均匀拉伸的“无限大”平板中斜裂纹的裂尖应力强度因子。（《断裂力学》 丁遂栋 机械工业出版社 P69） a
a β
解：因为载荷与裂纹倾斜，故裂纹同时受到张开和错开两种作用，属于0υx y h h 0υ σ
σ
Ⅰ、Ⅱ复合型裂纹问题。
取解析函数 ()()
21=4i e βσα?ηη-—
于是 ()()221'4i e βσα?ηη-=
则 ()()21=
14i e βσα?- 代入式 2'(1)K π?α
= ，得 ()()
22
14 1cos 2sin 22i I II K K iK e i βπσαασπαββ=-=-=-- 于是
()21cos 2sin 2sin 2cos sin 2I II K K σπα
ββσπα
σπαβββσπα
=-=?=
=? 由上式知 若β=90°则 =,0I II K K σπα=
若β=0°则 0I II K K ==
再一次证明了裂纹线方向的载荷对裂尖应力强度因子无影响。
7、有一对集中力P 作用在上下裂纹面上如图示， 应力函数12221
222()()()
r P a b Z z b z a π-=--，试分析裂纹扩展 的稳定性。（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P90）
P y x b P 2a o
解：由应力函数，通过平移坐标ξ=Z-a 得1222
1
22()()()(2)
r P a b Z a b a ξπξξξ-=+-+，得1122221022()lim 2()()(2)I P a b P
a b K a b a a b a ξπξππξξξ→++==-+-+ 对于给定载荷情况，M C →∞，[
]P K P a
?=?,()()''f a K a =， 而1
2()P a b K a b a π+=- ∴312222[][]()2()
r P K K K P a b P a a a a b a a a b ππ-
????+-==+
8、对于I 型裂纹，应力强度因子为I K a σπ=，已知31IC K MPa m =，0980MPa σ=，平面应力状态，试按照COD 准则，分别根据Irwin 的塑性区假设和Dugdale 模型，画出临界裂纹长度c a 随0/σσ的变化曲线。（《断裂力学》 徐
振兴 湖南大学出版社 P100）
解：根据Irwin 的塑性区假设，临界裂纹长度20
4I c K a E πσ=，由平面应力状态分析得
()2
044,=I c c K E E σασασαασσσπα
∞∞∞∞=?=?又 4I c aK a E a σσπ∞?=
根据Dugdale 模型，临界裂纹长度20
()c a a E πσσσ∞== 0c E
σπασασ∞∞?=? 由于0
σσ∞<1，故作图如右： σc a Irwin 假设曲线 Dugdale 假设曲线
9、某种合金钢，在不同回火温度下，测得力学性能如下：
375℃回火，1780s σ=MPa ，c I K =52MPa ?
m 600℃回火，1500s σ=MPa ，c I K =100MPa ?m 设应力强度因子为 1.1I K σπα=,且工作应力=0.5s σσ试求两种回火温度下构件
的容限裂纹尺寸αc 。（《断裂力学》 丁遂栋 机械工业出版社 P92）
解：当I Ic K K =时，对应的裂纹尺寸即为αc ，故
2
1 1.1Ic c K απσ??= ??? 对275℃回火，2
1520.0009m=0.9mm 1.10.51780c απ??== ?????
对600℃回火，211000.0046m=4.66mm 1.10.51500c απ??== ?????
从强度指标看，275℃回火温度的合金钢，其强度高于600℃回火温
度的合金钢，但从断裂韧度指标看275℃回火温度的合金钢要比600℃回火温度下的合金钢低得多。事实上构件中0.9mm 的裂纹是难以避免的，因此，从全面考虑，应该选用600℃回火温度。
10、设有无限长板条，高为2h ，有一半无限长裂纹。在无应力状态下，上、下边界产生的位移0v v =±，然后予以固定。及外设为平面应力状态，材料的弹性模量为E ，上、下边界处，x 方向的位移u 不受约束，试选取适当的积分回路，计算J 积分。（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P117）
解：C 1，C 5上W=0.
C 1，C 5上的积分为0
C 2，C 4上C v u d y ===,0
C 2，C 4上的积分为0
对于C 3上的积分
1,0,,0,0
x y y s x xy y n n d d στσ=====≠
因此0x y T T == 20,01h
y h x xy z y y J Wd hW E
σσσεσ-======?
即y y E σε=
2020111222y ij ij y y v h
v W E h v J E h
εσεσε=??=== ???
=
二、断裂力学在岩石方面的研究现状及应用
尽管断裂力学在航空、船舶以及压力容器等方面得到了广泛的应用，并已经直接应于指导工程设计。但由于岩体结构与岩体力学性状的复杂性，人们往往忽略了岩体的脆性而只注重研究岩体的塑性，岩体断裂力学还处于理论研究与实验室研究与工程解释等阶段，与直接指导岩体工程实践还有一段距离。目前岩体断裂力学的研究主要集中于两个方面，一方面是从岩石材料的角度，借用室内岩石力学试验与理论分析，研究岩体中的裂纹产生、发展以及复合现象。另一方面是结合现场调查，从裂纹（包括断层、节理等）的分布与裂纹形态研究其成因，并进而指导工程实践。不论哪个方面，岩体断裂力学的发展，离不开对岩体中缺陷的特性的研究、岩体中裂纹的断裂特性的研究。其中，岩体中裂纹的断裂强度因子的求解可以引用其它领域的研究成果（如断裂强度因子手册中直接引用），而裂纹的相互作用、缺陷的特性研究以及岩体的断裂判据成为了岩体工程断裂力学研究者的主要研究对象。在这方面，也取得了很多的成果。
2.1 岩石裂纹扩展的特点
由于应力环境及工程形状的影响，围岩有可能处于受拉、压、剪及其组合状态，各种状态下裂隙的发展情况是不一样的。在受拉状态下，垂直于拉应力的方向的不连续面最容易产生扩展，而且一旦发生扩展，其扩展是不稳定的，即在保持外荷载不变的情况下，不连续面将继续扩展直到岩体发生整体破坏。在受压状态下，岩体中存在一个主控方向，处于该方向的不连续面最容易产生开裂。不连续面破坏时，在不连续面的尖端往往首先以某一角度产生翼裂纹（wing cracks）。翼裂纹为张拉破坏，其扩展方向发生变化并逐渐接近于与最大主应力平行的方向。除翼裂纹外，不连续面的端部还有可能出现次生裂纹（secondary cracks）及分枝裂纹。次生裂纹为压剪破坏，其方向一般与原不连续面保持一致或者与翼裂纹的方向相反。次生裂纹形成后，可能在其端部又形成新的分枝裂纹，分枝裂纹一般也为张拉裂纹。各种裂纹的扩展造成岩体的最终破坏。岩体中更多出现的是综合拉剪与压剪状态，处于拉剪综合状态下的结构尖端将在其最大拉应力的方向发生破坏，其方向将逐渐向与最大拉应力方向垂直；而处于压剪综合作用下的不连续面尖端，按其所处的应力环境，有可能首先出现翼裂纹（低应力环境）或次生裂纹（高应力环境）。
受压作用时，坚硬围岩多表现出脆性破坏。而且，不连续面的形成与扩展都是由微裂纹扩展而成，小型不连续面往往为张性不连续面，这些张性不连续面的复合导致了宏观上的剪切型破坏。
大量的研究表明，压剪断裂中，翼裂纹的形成与扩展是岩体破坏的主要方式，翼裂纹的形成与扩展为张拉破坏，而次生裂纹的形成与扩展为压剪破坏。由于岩石成份的不均匀性，翼裂纹一般绕过晶粒而呈现锯齿状，而次生裂纹则往往将晶粒切割，破坏面比较平直。文献对压剪作用下的不连续面的次生裂纹的起裂与扩展进行了很详细的研究，并提出了次生裂纹的破坏准则。
许多研究者对压剪作用下翼裂纹扩展角度与扩展方向进行了大量的理论
与实验研究，提出许多滑移型翼裂纹的开裂模型。结果表明，翼裂纹为稳定扩展，即其扩展一定长度后会停止下来。正因为次生裂纹是压剪破坏，因此，在裂纹尖端会形成压剪碎裂区，有研究认为岩体不连续面的扩展是压剪碎裂区扩容而使其周边岩石受拉破坏的结果。
2.2 岩体不连续面尖端应力强度因子的获取
岩体不连续面是否会发生扩展，以及不连续面会往哪个方向扩展都与不连续面尖端的应力强度因子有关。因此，与其它断裂力学理论一样，在岩体断裂力学中，应力强度因子的计算非常重要。
岩体断裂力学中不连续面应力强度因子的计算一般沿用理论断裂力学的结果。对于线弹性体，应力强度因子和载荷成线性关系。确定应力强度因子的方法可分为解析法、数值分析法和实验法。解析法又可分为复变函数法和积分变换法等，数值方法广泛采用的是有限单元法、边界元法和边界配置法。实验法中有光弹法、激光全息法散斑干涉法等。
在以上提的方法中，解析法所能求解的问题范围是有限的，而数值方法则由于其适用性强、分析方便而得到较广泛的应用，并取得了很好的成果。在有限单元法中，可以利用奇异单元来模拟裂纹尖端的应力集中现象，如目前已经有通用有限元程序如 ANSYS 可以直接计算应力强度因子并且能满足一定的精度，从而使分析计算变得更加容易。其它如边界元法、边界配置法是一种半解析半数值方法，由于它只在边界上进行离散，因而使裂纹应力强度因子的计算变得更为方便，而且其结果精度也很高。
2.3 岩体中裂纹的相互作用
岩体中的不连续面数量往往是很巨大的，它们之间的贯通并进而形成宏观破坏面是岩体破坏的主要方式。在岩体断裂力学中，有大量的研究对裂纹之间的相互作用进行研究。
不连续面的存在使岩体呈现各向异性，不连续面的周围的应力场发生改变，因此，受力岩体中裂纹的应力强度因子必然要受到周围其它裂纹的影响。不连续面相互作用的研究有很多。研究表明，岩体中不连续面大小、各不连续面的相对位置关系对不连续面的应力强度因子影响很大，从而进一步影响裂纹的扩展方式与岩体的破坏方式。由于裂纹的存在使其周围产生应力集中与应力减弱区，因此在不连续面的周围，都存在对其它裂纹应力的加强区与削弱区，当其它裂纹处于应力加强区时，其应力强度因子将加大，而当裂纹处于应力削弱时，其应力强度因子将减小。裂纹的相对大小在岩体破坏中所起的作用是不同的，大尺寸裂纹对小尺寸裂纹有屏蔽作用，即当岩体中存在不同尺寸的不连续面时，尺寸较大的不连续面更容易发生扩展。
对于不连续面的相互作用，难点是不连续面尖端应力强度因子的求得。许多研究对不同形状、不同组合方式的不连续面的应力强度因子的求解提出了很多方法，得出了许多重要的结论。Y.P. Li 等利用改进的 Kachanov 方法来分析计算不同形状、不同分布形式的岩体不连续面之间的相互作用，从理论上为计算多裂纹相互作用下的应力强度因子提供了方法。但总体来说，理论解能解决的问题毕竟是有限的，这样就迫使人们寻求新的方法。其中最常用的是数值方法及半解析半数值方法。
2.4 岩石断裂判据及裂纹的扩展方向
综合受力状态下的裂纹起裂及扩展路径一直是令人关注的一个问题。这些又与断裂判据相关。在综合应力环境下，裂纹的扩展准则有：
（1）最大周向应力准则（MTS ） 该准则假设裂纹起裂始于裂纹尖端表面最大周向应力的方向。当裂纹应力强度因子达到其断裂韧度时，裂纹将会扩展。由此可以得出K Ic ， K IIc 之间存在如下关系：
32
Ic IIc K K
（2）M 准则 该准则认为裂纹沿应力三轴比最大的方向扩展；
（3）最小应变能密度准则（S 准则） 该准则认为裂纹扩展方向为最小应变能方向；在这些准则的基础上，也有一些研究者结合具体的岩体问题提出一些改进的断裂准则。一般认为，由于岩石的抗拉强度远远小于其抗压/抗剪强度，岩石更容易发生受拉破坏，因此，对于拉/拉剪扩展，最大拉应力准则是适合的。压剪断裂的扩展方式存在翼裂纹与次生裂纹，可以认为，翼裂纹的起裂与扩展基本满足最大拉应力准则。而在综合作用下的断裂判据则一般可以按下式来选取：
12IIc I II K K K λ+=
13IIIc I III K K K λ+=
2.5 岩体断裂力学与破坏区的研究
对于围岩稳定性的研究，一般采用传统的弹塑性理论，即将进入塑性的岩体范围做为围岩的破坏区。因此，在选取适当的破坏准则与岩体破坏后的本构模型，即可分析出围岩中的破坏区形状与深度。但破损后的岩体的本构模型与破坏准则的选取却是一件很困难的事情。
岩体损伤理论将岩体中的节理裂隙看成是岩体内部的初始损伤，通过引入损伤变量来描述受损岩体内部的力学行为。因此，可以用来模拟岩体中大量裂纹的作用。因此，将岩石断裂与损伤力学结合，是围岩稳定性研究的一个研究新方向。许多研究已经在该领域取得了很大的成就。但如何将岩石的断裂与岩体的损伤本构方程建立联系，却还是一个没有很好解决的问题。一些研究者从岩体断裂的角度，来考虑围岩的破坏区，并进行了一些实验研究。得出了围岩破坏区以及不连续面的破坏方式与侧向压力以及不连续面分布之间的关系。这些研究为理解围岩的破坏方式提供了新的思路。
三、断裂力学的基本概念
3.1 断裂力学研究现状与进展
断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件（荷载、温度、介质腐蚀、中子辐射等）作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。例如断裂力学技术已被应用于估算各种条件下的疲劳裂纹增长率、环境问题和应力腐蚀问题、动态断裂以及确定试验中高温和低温的影响，并且由于有了这些进展，在设计有断裂危险性的结构时，利用断裂力学对设计结果有较大把握。断裂力学研究的方法是：从弹性力学方程或弹塑性力学方程出发，把裂纹作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。
断裂力学始于 Griffith（1921）的脆性材料的强度理论，他从能量的角度得出了物体强度与材料性质及裂纹长度之间的表达式。然后是 Irwin（1957）提出了应变能释率 G与应力强度因子 K 的概念，并逐步进行了线弹性断裂力学的理论体系。对于大范围塑性材料，Dugdule（1960）提出的 COD 法，Rice（1968）提出的 J 积分原理，又为弹塑性断裂力学奠定了基础。断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。
3.2 Griffith断裂判据
我们知道研究断裂的目的主要是防止构件断裂，这个任务长期以来人们已经积累了丰富的经验，建立了许多强度理论条件:
?????????→→→=≤在交变应力作用下对塑形材料对脆性材料
n
n n r s
s b
b σσσσσ][ 式中：→σ根据外载计算的工作应力；
→][σ许用应力；
b σ、s σ、→r σ由实验得到的不同材料的极限强度、屈服极限、持久极限； b n 、s n 、→r n 对应于b σ、s σ、r σ的安全系数；
但是对于有裂纹的物体上述强度理论已经不再适用，为此本世纪二十年代英国著名的科学家Griffith ，提出了能量释放(energy release)的观点，以及根据这个观点而建立的断裂判据。
能量释放率：指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。用符号G 表示。
表面自由能：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。用符号s γ表示。
由此Griffith 提出了著名的Griffith 断裂判据：
s G γ2=
Griffith 假定s γ为一材料常数，若此G 值大于或等于s γ2 ，就会发生断裂；若小于s γ2 ，则不发生断裂，此时G 值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种倾向能力，裂端并没有真的释放出能量。
3.3 能量平衡理论
在Griffith 弹性能释放理论的基础上，Irwin 和Orowan 按照热力学的能量守恒定律提出在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。
假设W 为外界对系统所做的功，U 为系统储存的应变能，T 为动能，D 为不可恢复的消耗能，则Irwin - Orowan 能量平衡理论可用公式表达如下∶
dt
dD dt dT dt dU dt dW ++= 假定裂纹处于准静态，例如裂纹是静止的或是以稳定速度扩展，则动能不变化，即dT/dt=0。若所有不可恢复的消耗能都是用来制造裂纹新面积，则 ：
dt
dA dt dA dA dD dt dD t p t t γ== 其中：t A 为裂纹总面积，p γ为表面能。
由上得Irwin --Orowan 断裂判据为：
0)(=--p t
dA U W d γ 此式包括塑性变形的带裂纹物体断裂判据。 综上所述Irwin-Orowan 断裂判据和Griffith 断裂判据在本质上等价的，因 为W d 代表外界对系统做功的变化量，dU 代表系统弹性能的变化量，所以)(U W d -为在裂纹尖端释放而使裂纹扩展的能量。因此t dA U W d )(-就是Griffith 能量释放率。
3.4 应力强度因子
3.4.1裂纹问题的三种基本类型
a. 第一种称为张开型（opening mode ）或拉伸型（tension mode ），简称I
型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y 方向)。许多工程上常见的都是I 型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。 b. 第二种裂纹型称为同平面剪切型（in —plane shear mode ）或者滑移型
（sliding mode ），简称II 型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x 方向，另一个向负x 方向。
c. 第三种裂纹型称为反平面剪切型（anti —plane shear mode ），简称III
型，裂纹面一个向正z 方向，另一个向负z 方向，属弹性力学空间问题。
图一：裂纹的三种基本类型
根据弹性力学的理论和方法，我们可以求出带裂纹体附近的应力场和位移场。下面是根据（椭圆孔口问题）的解析解，得到二维I 型裂纹裂端的应力场恒为
????
?????=??????+=??????-=23cos 2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 2θθθπτθθθπσθθθπσr K r K r K I xy I y I x 应变场为： ???
??????????-+??? ??=??????+-??? ??=2sin 2cos 2)1(222cos 2sin 2)1(2222/122/1θθκπμθθκπμr K v r K u I I 同样我们也可以得到II 型和III 型裂纹。对于II 型和III 型裂纹，裂端区的应力场和位移场的形式也是恒定的，而且其表达式与I 型裂纹相似。
我们发现三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即0→r 时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性。在工程实践中，应力总是有界的不可能达到无限大。受力物体中的应力达到一定的大小，材料就会屈服，再增大就会断裂。由于应力的奇异性这一明显的矛盾，使我们不能运用裂纹尖端处的应力数值来判断材料是否具有足够的强
度。
对于处于不稳定的扩展阶段，我们从上面二维I 型裂纹裂端区应力场和应变场公式可得，其强度完全由I K 值的大小来决定，因此我们定义I K 为I 型裂纹的应力强度因子。同样我们也可以得到II 型和III 型裂纹的应力强度因子II K 和
III K 。
由于有这一特点，应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的参量。 3.4.2 利用应力强度因子提出的断裂判据
实验表明当应力强度因子K 达到一个临界值时，裂纹就会失稳扩展，而后就 会导致物体的断裂。这个临界值我们称之为断裂韧度，用符号C K 表示。
在材料力学中我们可以用产生的应力小于许用应力][σσ≤来判断物体受力 是否安全，而在断裂力学中则利用： C K K =
这就是线弹性断裂力学的断裂判据，也就是带裂纹体失稳扩展的临界条件。 当 C K K >时 裂纹即失稳扩展；
当 C K K <时 裂纹不会扩展；
当 C K K =时 裂纹处于临界状态。
对于I 型裂纹，断裂判据可以写成： IC I K K =
通过实验可知 IC K 是C K 中的最低值，故一般都测出材料的IC K 数值。IC K 被称为材料的平面应变断裂韧度。目前，材料的IC K 已经成为破损安全、裂纹体断裂控制和发展选用新型材料的重要参数，在工程实践中得到广泛的应用。
3.5 J 积分
以上提出的Griffith 断裂判据、能量释放率判据、应力强度因子判据，这些都是建立在线弹性力学的本构关系和脆性断裂基础上的理论，不允许裂端有较大的塑性变形。由于弹性应力场在裂纹前端的奇异性使弹性体裂纹前端不可避免的出现塑形区，当塑形区较小只属于小范围屈服时线弹性断裂力学公式一般能使用（或经过修正能适用）。但实际工程中往往应用的材料是塑形或者韧性材料，属于“大范围屈服”甚至是“全面屈服“，性弹性断裂力学不再适用。
这时J 积分的提出就成为衡量有塑性变形时裂端区应力应变场强度的力学参量。这个参量在理论上易于计算，又能通过实验来测定，使之能作为弹塑性条件下的断裂判据！这也是J 积分对断裂力学的重大贡献。
3.5.1 J 积分简介
J 积分代表一种能量积分，对于二维问题Rice 提出的 J 积分是如下定义的
线积分 ???? ?
???-=c i i ds x u T dy W J 1 这里C 是由裂纹下表面某点到裂纹上表面某点的简单的积分线路。1W 是弹性应变能密度，Ti 和i u 分别为线路上作用于s d 积分单元上i 方向的面力分量和位移分量。
3.5.2 J 积分断裂判据
在弹塑性断裂分析中我们可以用-J 积分当作一种参量建立起相应的断裂判据： IC J J ≥
这里IC J 是I 型裂纹在启裂时平面应变断裂韧度。
-J 积分这个参量在应用时有许多限制。首先，由于-J 积分守恒是在简单加载的条件下证明的，故使用的时候不允许卸载，这样只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅是起裂的断裂判据。其次，只有在小变形条件下-J 积分具有守恒性，在大变形条件下，目前虽有按增量理论近似计算的-J 积分的守恒性，但仍然缺乏严格的理论证明。
3.5.3 J 积分的物理意义
当材料处于不同的受力状态时（弹性、弹塑性），-J 积分的物理意义有所不同。
线弹性材料-J 积分的物理意义
无论是线弹性体或是非线弹性体都可以在一定的条件下证明-J 积分的数值 就等于能量释放率G 。-J 积分的断裂判据不但存在，而且与IC I K K =,IC I G G =这些断裂判据等效。
弹塑性材料-J 积分的物理意义
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而存储在材料中的应变
能不会全部释放，这就是-J 积分的物理意义不同于弹性材料。经分析可知，对于一般弹塑性材料，-J 积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同的边界约束和相同的边界载荷，但裂纹长度相差a ?，当0→?a 时的单位厚度势能的差率。可用下式表示： a
B J ??-=π1 式中： 试件厚度→B ；
总势能→π；
裂纹长度→a 。
四、建议
首先在这感谢张老师这一学期来对我们的辛勤教授，让我对断裂力学有了一个充分的认识，这让我在采矿方面尤其是在岩石方面的问题和研究得到了非常大的帮助。同时，我也提出我个人对这门课的一些建议。
（1）增加课时。这门课是非常有用的课，然而对于力学我们知识上本身有所欠缺，所以一个学期的课时就显的不够，希望学校、老师能增加这门课的课时，让更多的学生真正学好。
（2)结合学生专业。我们有学力学、采矿和土木等专业的学生，我们可以让学生在课下查阅文献，利用所学知识去看懂一些问些，去思考一些问题，然后让他到课堂上来讲授。这样就能既能提升学生自己的能力，也能开拓其他学生的眼界，还能检查学生对这门课的掌握。
参考文献
[1] 伍佑伦.基于岩体断裂力学的巷道稳定性与锚喷支护机理研究[D].博士论文,2004.
[2] 康颖安.断裂力学的发展与研究现状[J].湖南工程学院,2006.
[3] 徐振兴.断裂力学[M].湖南大学出版社，1987.
[4] 丁遂栋.断裂力学[M].机械工业出版社，1997.
[5] 郦正能.工程断裂力学[M].北京航空航天大学出版社，1992.
高等土力学读书报告
高等土力学读书报告 姓名：杨耀辉 学院：水利与土木工程学院 专业：水利工程 学号： 1338020126
无粘性土颗粒组成的类型与基本性质 一 无粘性土颗粒组成类型与分类 1．颗粒组成 颗粒组成是研究无粘性土基本性质的主要依据，通常以各粒径含量的累积曲线或分布曲线表示。 均匀土：分布曲线是单峰形式，各粒径都有一定的含量，峰值粒径含量占绝对优势，其破坏形式主要是流土破坏。 单峰形：峰值远离中值，呈左偏峰，出现双峰时右峰较低，两峰连续，谷点里粒径至少占4%至5%，曲线无明显平缓段，集中在某段，无峰值。 不均匀土：级配连续和级配不连续。 双峰形：双峰间有间断，有的相连接，但最低点粒径含量小于或等于3%，累积曲线呈椅子形，出现台阶。 2．均匀土的区分原则和方法 均匀土特点：级配不良，压实性差，孔隙率大，稳定性差。 太沙基指出5,1.0< 质仍取决于粗料。但随细料的含量的增加，混合料密度增加，孔隙相应减小，到细料超出一定含量时，混合料性质就取决于细料。最优级配的细料含量P=25%到30%。 混合料中开始参与骨架作用的细料含量 21n n n = ；并考虑到无粘性土一般21s s ρρ=；得出细料含量与孔隙率的关系 理想状态下的计算式： ()2 222 1 1 1n n n P d s d ?+?-?= ρρρ 其中 ()1 111 s d n ρρ?-=； 在理想状态下： n n n P --= 12。 为使P 含量与实际相符，就要考虑粗料孔隙体积被撑开的影响，由实验分 析知2n 随n 增大而增大，且223n n =?；我们取粗料孔隙率为0.3，则2 233.0n n += ∴ n n n P --+= 133.02 但在实际中，混合料中细料是多少要撑开粗料孔隙的，所以理论计算的P 要小于实际中的。 实际值小于它时表明细料没填满粗料孔隙； 实际值大于它时细料填满粗料孔隙且与粗料共同组成骨架； 当实际值等于它时认为混合料有最优级配料。 渗透系数与细料含量的关系； P 〈30%时填不满孔隙，对渗透系数起控制作用的是粗料。 P 〉30%时孔隙与细料产生关系。 P 〉70%时粗料只起填充作用，对渗透系数的影响减少直到消失。 4.级配连续土的基本性质 级配连续土的性质： Cu>10 1 二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、； 五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为： 式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑 的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图 4、已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作 用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐 标系，r为径向，θ为环向，z为圆管轴向。）材料的屈服极限为＝400MPa。试求此圆管材料屈服时（采用Mises屈服条件）的轴向载荷P和轴矩M s。 （提示：Mises屈服条件：；） 填空题 6 平衡微分方程 选择ABBC 弹塑性力学总结 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 一、弹性力学 1、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。 在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。 （3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。 （4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。 （5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变 第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值 应作何修正。 解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所 示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??===?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε==； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= o o o o V ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = o V ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-?? ??+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力n P v 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z 题图1-3 弹塑性力学在岩体变形加固中的应用 姓名： xx 学号：导师： xx 弹塑性力学这门课程是《弹性力学》的延伸，经典弹塑性力学的基本要求是应力只能在屈服面以内或屈服面之上，材料在屈服面以外的力学行为是没有定义的，这意味着经典弹塑性理论只能处理稳定结构。结构需要加固力维持稳定，说明结构部分区域应力已超出屈服面。一般说来对于给定的外荷载，结构的工作区域可能是弹性区、稳定弹塑性区和非稳定弹塑性区。弹性区和稳定弹塑性区可由经典弹塑性力学处理，变形加固理论处理的是非稳定弹塑性区。本文首次提出变形加固理论的基础是非平衡态弹塑性力学，它是经典弹塑性力学的增量延拓，其理论核心是最小塑性余能密度原理，在结构上反映为最小塑性余能原理。 1 变形加固理论的提出 工程结构弹塑性有限元计算表现为一系列逼近真解的迭代过程。考察某一 典型的迭代步，设某一高斯点在该迭代步的初始应力为c 0 且有f( c 0) <,当前应力为c 1。应力场c 0，c 1 都应满足平衡条件，即该应力场在结构内处处满足平衡微分方程，在边界上满足力的边界条件，在有限元分析中表示为 2/ BT c 0dV= 2/ BT c 1dV=F 式中： F为外荷载向量，e表示对结构所有单元求和。 经典弹塑性理论要求结构各点应力必须在屈服面之上或以内，即各点都要满足屈服条件，这意味着结构在外荷载作用下是稳定的。而本文讨论加固问题首先意味着结构在外荷载作用下是不稳定的，需要引入加固力以维持稳定。所以有必要对经典弹塑性理论进行延拓以容纳加固特点。受弹塑性迭代总是使范数不断减少的启发，本文提出一个最小塑性余能原理： 对于给定的外荷载，在所有和其平衡的应力场中，结构真实应力场的塑性 余能范数最小。以此而论，弹塑性有限元计算的迭代过程就是△E的一个最小化过程。 3经典弹塑性本构关系 本文讨论关联的理想弹塑性材料，且不考虑弹塑性耦合。经典弹塑性力学的本构关系为率形式。 4非平衡态弹塑性本构关系 非平衡态弹塑性力学处理应力状态处于屈服面以外的材料行为，其本构关系基本上就是上述经典弹塑性本构关系的增量化。只有增量化才能出现应力位于屈服面以外的情形，这和弹塑性数值方法的处理方法是一致的。不过弹塑性数值方法是作为弹塑性理论的近似方法，而在本文，这些增量关系作为非平衡态弹塑性力学的本构关系，是作为事先给定的基本定义和出发点。 第一和第二最小塑性余能密度原理可统称为最小塑性余能密度原理，如上所述，其实质为增量型正交流动法则。增量型正交流动法则为正交流动法则的一阶近似。正是在这个意义上，非平衡态弹塑性力学可以看作是经典弹塑性力学在非稳定弹塑性区的一阶近似。最小塑性余能密度原理式可以认为是极值问题式的增量对 高等土力学读书报告 学院：土木工程 专业：结构工程 指导教师： 姓名： 学号： 2015.12.30 本学期学了土的应力与应变，强度理论，全量理论，增量理论，模型理论，滑线场理论及极限分析。以下对这些理论做简要回顾。 应力应变 土的应力应变关系十分复杂，除了时间外，还有温度、湿度等影响因素。其中时间是一个主要影响因素。与时间有关的土的本构关系主要是指反映土流变性的理论。而在大多数情况下，可以不考虑时间对土的应力——应变和强度（主要是抗剪强度）关系的影响。土的强度是土受力变形发展的一个阶段，即在微小的应力增量作用下，土单元会发生无限大（或不可控制）的应变增量。因而它实际上是土的本构关系的一个组成部分。 由于土是岩石风化而成的碎散颗粒的集合体，一般包含有固、液、气三相，在其形成的漫长的地质过程中，受风化、搬运、沉积、固结和地壳运动的影响，其应力应变关系十分复杂，并且与诸多因素有关。其中主要的应力应变特性是其非线性、弹塑性和剪胀（缩）性。主要的影响因素是应力水平（Stresslevel、应力路径（Strespath）和应力历史（Stresshistor），亦称3S影响 土的强度理论 土在外力作用下达到屈服或破坏时的极限应力。由于剪应力对土的破坏起控制作用，所以土的强度通常是指它的抗剪强度。 确定强度的原则土的强度一般是由它的应力-应变关系曲线上某 些特征应力来确定的，如屈服应力、破坏应力(或峰值应力)等，这些特征应力值与土的种类和物理条件(如加载时间、加载速率和排水条件等)有关。在不考虑加载时间或加载速率对土强度影响的常规试验中,对于不同的土，大体上可获得三种典型的应力-应变关系曲线,一种是当应力随应变增大直至峰值时,土体出现破裂，随着应变进一步增大，应力由峰值逐渐降低，最后达到稳定应力值。对此，人们取峰值应力作为破坏强度，取最后稳定应力值作为破坏后的强度。第二种是当应力达到最大值后，应力虽然不增加，但应变继续增加，对此，也可取最大应力值作为破坏强度。第三种是，在较大应变下，应力仍未达到最大值，而是随 《材料力学（1）课程读书报告》 《材料力学》这门课程是研究材料在各种外力作用下产生的应变力强度、刚度、稳定和 导致各种材料破坏的极限。《材料力学》是设计工业设施必须掌握的知识。与理论力学、结构 力学并称三大力学。 《材料力学》《材料力学》是一门技术基础课程，是衔接基础课与专业基础课的桥梁课程。 是理论研究和实验并重的一门学科。是固体力学中的一个重要的分支学科，是研究可变形固 体受到处荷载力或温度变化等因素的影响而发生力学响应的一门科学，是研究构件在受载过 程中的强度、刚度和稳定性问题的一门学科。它是门理论研究与工程实践相结合的非常密切 的一门学科。 材料力学的基本任务是在满足强度、刚度和稳定性的安全要求下以最经济的代价。为构 件确定合理的形状和尺寸选择适宜的材料，为构件设计提供必要的理论基础和计算方法解决 结构设计安全可靠与经济合理的矛盾。 在人们运用材料进行建筑，工业生产的过程中，需要对材料的实际随能力和内部变化进 行研究这就催生了材料力学。在材料力学中，将研究对象被看作均匀，连续且具有各同性的 线性弹性物体，但在实际研究中不可能会有符合这些条件的材料，所以须要各种理论与实际 方法对材料进行实验比较，种材料的相关数据。我们一般通过假设对物体进行描述，这样有 利于我们通过数学计算出相关的数据，有连续性假设，均匀性假设。各向同性假设及小变型 假设等。 在材料力学中，物体由于外因而变化时，在物体内部各部分之间产生相互作用的内力以 低抗这种外因的作用，并力图使物体从变形的位置回复到变形前的位置，在所考察的截面某 一点单位面积上的内力称为应力。既受力物体内某点某微截面上的内力的分布集度，应变指 构件等物体内任一点因各种外力作用引起的形状和尺寸的相对改变（变形）。当撤除外力时固 体能恢复其变形的性能称为弹性，当撤除外力时固体能残留下来变形的性能称为塑性。物件 在外力作用下抵抗破坏的能力称强度。刚度是指构件在外力作用下抵抗变形的能力。 研究内力和应力一般用截面法，目的是为了求得物体内部各部分之间的相互作用力。轴 向拉伸（压缩）的计算公式为 ??fn 。?为横截面的应力。正应为和轴力fn同a 号。即拉应力为正，压应力为负。 原理：力作用于杆端的分布方式的不同，只影响杆端局部范围的应力分布影响区的轴向 范围的离杆端1～2个杆的横向尺寸。 《材料力学》在建设工程中有着之泛的应用。在桥梁，铁路，建筑，火箭等行业中起到 很重要的作用。如武汉长江大桥的设计，桥墩主要承受来自两侧浮桥本身的重力，桥面上生 物的重力，钢索主要受到拉力一方面是桥身以及桥面物体它们的自重。另一方面是钢索自重， 在这两个比较大的力的作用下钢索处于被拉伸状态。 《材料力学》研究的问题是构件的强度、刚度和稳定性；所研究的构件主要是杆件、几 种变形形式包括拉伸压缩、剪切、弯曲和扭转这几种基本变形形式。研究《材料力学》就是 解决在工程中研究外力作用下，如何保证构件正常的工作的问题。因此，材料力学是我们在 设计建造工程中起着相关重要的作用。篇二：弹塑性力学读书报告 弹塑性力学读书报告 本学期我们选修了樊老师的弹塑性力学，学生毕备受启发对工科 来说，弹塑性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析 各种结构物体和其构件在弹塑性阶段的应力和应变，校核它们是否具 有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。 但是在研究方法上也有不同，材料力学为简化计算，对构件的应 力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略和近似的； 高等土力学读书报告 对地基下沉问题的讨论 姓名刘兴顺 学号2014210046 年级2014 专业桥梁与隧道工程系（院）建筑工程学院指导教师陈颖辉 2015年5月26日 摘要 本论文主要是本人对高等土力学的学习总结，并根据工程中遇到的问题用土力学的知识进行分析（由于本人没有实际的工程经验，现主要是对比比较著名的一些工程）。土力学是研究土体在力的作用下的应力-应变或应力-应变-时间关系和强度的应用学科，是工程力学的一个分支。为工程地质学研究土体中可能发生的地质作用提供定量研究的理论基础和方法。主要用于土木、交通、水利等工程。本论文主要结合中外建筑物倾斜（意大利比萨斜塔和中国苏州虎丘塔）与地基严重下沉（中国上海展览中心馆和墨西哥市艺术馆）来讨论其中关于土力学的乱放，并运用土力学的方法进行分析。 关键词：高等土力学；工程实例；地基基础 ABSTRACT This thesis is mainly my learning of advanced soil mechanics summary,and according to the problems encountered in engineering with the knowledge of soil mechanics analysis (because I didn't have the practical engineering experience,now is mainly contrast compared to the well-known engineering).Soil mechanics is a branch of engineering mechanics,which is applied to study the stress-strain,stress-strain,time and strength of the stress strain time relationship and strength of the soil..To provide the theoretical basis and methods for quantitative study of geological effects that may occur in the engineering geology..Mainly used in civil engineering,transportation,water conservancy and other projects.This paper mainly combines(Leaning Tower of Pisa,Italy and China Suzhou Huqiu tower and ground sinking heavily(China Shanghai Exhibition Center Museum and Mexico City Museum of Art) inclined buildings at home and abroad is to discuss the misplacing on soil mechanics,and using the method of soil mechanics analysis. Key words:advanced soil mechanics;engineering examples;foundation foundation 一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分，共10分。） 1、简述固体材料弹性变形的主要特点。 2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。 二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、； 五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为： 式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图 弹塑性力学简答题 2002年 1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2 从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 3 两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4 虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？ 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5 应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的， 而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6 什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？ 加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。 卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。 中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。 7 用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？ 协调方程和边界条件。 8 薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？ 平面内应力分量最大，最主要的是应力，横向剪应力较小，是次要的应力；z 方向的挤压应力最小，是更次要的应力。 9 什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？ 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。 土力学读书报告 一、土的工程特性有哪些。 1、土的结构有哪些，这些结构都有哪些特点，对土的工程特性有何影响？ 土的结构是在成土的过程中逐渐形成的，它反映了土的成分、成因和年代对土的工程性质的影响，其结构按其颗粒的排列和联结可分为三种基本类型。a、单粒结构，单粒结构是碎石土和砂土的结构特征。其特点是土粒间没有联结存在，或联结非常微弱，可以忽略不计。疏松状态的单粒结构在荷载作用下，特别在振动荷载作用下会趋向密实，土粒移向更稳定的位置，同时产生较大的变形；密实状态的单粒结构在剪应力作用下会发生剪胀，即体积膨胀，密度变松。单粒结构的紧密程度取决于矿物成分、颗粒形状、粒度成分及级配的均匀程度。片状矿物颗粒组成的砂土最为疏松；浑圆的颗粒组成的土比带棱角的容易趋向密实；土粒的级配愈不均匀，结构愈紧密。b、蜂窝状结构，蜂窝状结构是以粉粒为主的土的结构特征。粒径在0.02~0.002 mm左右的土粒在水中沉积时，基本上是单个颗粒下沉，在下沉过程中、碰上已沉积的土粒时，如土粒间的引力相对自重而言已经足够地大，则此颗粒就停留在最初的接触位置上不再下沉，形成大孔隙的蜂窝状结构。c、絮状结构，絮状结构是粘土颗粒特有的结构特征。悬浮在水中的粘土颗粒当介质发生变化时，土粒互相聚合，以边-边、面-边的接触方式形成絮状物下沉，沉积为大孔隙的絮状结构。 土的结构形成以后，当外界条件变化时，土的结构会发生变化。 2、地基岩土的工程分类 作为建筑地基的岩土，可分为岩石、碎石土、砂土、粉土、粘性土和人工填土。、岩石应为颗粒间牢固联结，呈整体或具有节理裂隙的岩体。a、碎石土为粒径大于2mm的颗粒含量超过全重50%的土。b、砂土为粒径大于2mm的颗粒含量不超过全重50%、粒径大于0.075mm的颗粒超过全重50%的土。c、粘性土为塑性指数I p大于10的土。d、粉土为介于砂土与粘性土之间，塑性指数I p≤10且粒径大于0.075mm的颗粒含量不超过全重50%的土。e、人工填土根据其组成和成因,可分为素填土、压实填土、杂填土、冲填土。 二、地基中的应力计算，何谓基底压力，地基反力，基底附加压力，土中附加应力。 1、地下水位的升降对土自重应力有何影响？ 地下水位升降会引起土体中有效应力的变化，从而会影响土的变形。由有效 应用弹塑性力学读书报告 刘艳 10076139019 河北工程大学土木工程学院建筑与土木工程专业 摘要：弹塑性力学是研究可变形固体受到外力作用或温度变化的影响而产生的应力、应变和位移及其分布变化规律。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变性固体在塑性阶段的力学问题。弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变性固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。 关键字：弹塑性力学弹性阶段塑性阶段假设求解方法弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性变形阶段是指当外力小于某一限值（通常称为弹性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变形，而固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段。塑性变形阶段是外力一旦超过弹性极限荷载，这时再卸除荷载，固体也不能恢复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来，这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，从而这一阶段就称为塑性阶段。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分，它包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。工程上常把脆性和韧性也作为一种概念来讲，它们之间的区别在于固体破坏时的变形大小。若变形很小就破坏，这种性质称为脆性；能够经受很大变形才破坏，称为韧性或延性。通常，脆性固体的塑性变形能力差，而韧性固体的塑性变形能力强。 在塑性理论中，由于实际固体材料在塑性阶段的应力----应变关系过于复杂，若采用它进行理论研究和计算都非常复杂，因此，同样需要进行简化处理。常用的简化模型可分为两类：即理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型。 在单向应力状态下，强化模型的特征如图0.2所示。强化模型又分为：线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型、幂次强化模型。 弹塑性力学读书报告 本学期我们选修了樊老师的弹塑性力学，学生毕备受启发对工科来说，弹塑性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析 各种结构物体和其构件在弹塑性阶段的应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。 但是在研究方法上也有不同，材料力学为简化计算，对构件的应力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略和近似的； 而弹塑性力学的研究通常不引入上述假设，从而所得结果比较精确， 并可验证材料力学结果的精确性。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑 性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、 解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下： 第一章绪论 首先是弹塑性力学的研究对象和任务。 1、弹塑性力学：固体力学的的一个分支学科，是研究可变形固体受 到外载荷、温度变化及边界约束变动等作用时，弹性变形及应力状态的科学。 2、弹塑性力学任务：研究一般非杆系的结构的响应问题，并对基于 实验的材料力学、结构力学的理论给出检验。 这里老师讲到过一个重点问题就是响应的理解，主要就是结构在外因的作用下产生的应力场（强度问题）、应变场（刚度问题），整体大变形(稳定性问题)。 3、弹性力学的基本假定 求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及 边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所 满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。 在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使 得方程的求解成为可能。 （1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物 体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如： 应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 （2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去 以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料 服从虎克定律，应力与应变成正比。 第二章 土的本构关系 2.1 概述 材料的本构关系是反映材料的力学性状的数学表达式，表示形式一般为应力-应变-时间关系。与时间有关的土的本构关系主要是指反映土流变性的理论，本章介绍的主要是与时间无关的本构关系。 土力学的基本理论有土的莫尔-库伦强度理论、有效应力原理和饱和粘土的一维固结理论。但人们总是在实际中将问题分类为变形问题和稳定问题，前者一般基于弹性理论计算，后者多用刚塑性或理想塑性的理论（如极限平衡分析）。 多年来本构关系已经得到很大的发展，进而推动了岩土数值计算的发展和土工试验的发展。下文将对土的本构关系进行详细论述。 2.2应力和应变 1、应力 （1）应力分量与应力张量 设土体中的一点为M （x,y,z ）的应力状态用通过该点的微小立方体上的应力分量表示。即： []?＝ ???? ? ????????z zy zx yz y yx xz xy x ττττττ＝???????????????????333231232221131211亦即｛σ｝T ＝｛zx yz xy z y x τ ττ???｝。 土力学中正应力正方向规定压为正。剪应力，在正面（外法向与坐标轴一致的面），剪应力与坐标轴方向相反为正；在负面（外法向与坐标轴方向相反），剪应力与坐标轴方向一致为正。 （2）应力张量的坐标变换 二阶张量 ij ?在任一新坐标系下的分量 [ [j i ?应满足：[[j i ?＝kl l j k i ?[[αα，其中l j k i [[αα与为新坐标系 轴与老坐标系轴夹角的余弦。 （3）应力张量的主应力和应力不变量 在过一点的斜截面上，如果只有法向应力而无剪应力时，这个斜截面就是主应力面。 第一应力不变量：kk z y x I σσσσ=++=1 第二应力不变量： 2 222zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ---++= 工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。 弹塑性力学在土力学方面的应用 1.土的弹塑性性质 传统的弹塑性理论认为，材料的全变形过程包括弹性变形和弹塑性变形两个阶段。在加载过程中，随着应力的增加，材料除了会出现弹性变形，还会有塑性变形，且弹性变形的应力范围不断加大，这也就是所谓的塑性硬化。一般认为，塑性硬化的过程不会改变卸载时的弹性性质，称为弹塑性的非耦合性。且当材料反向受力时，不会出现包辛克效应，即不会产生于正向不同的塑性变形或塑性硬化。但是，岩土材料具有不同于金属材料的一些性质，如岩土材料有时表现出极低的弹性区，屈服极限不明显；岩土除了塑性硬化之外，还可能出现塑性软化；岩土还具有弹塑性耦合性质，会出现包辛克效应等。以上这些性质也就要求岩土的弹塑性理论要比传统的理论考虑更多的问题，要求我们就要考虑传统弹塑性的理论基础，又要考虑岩土材料的特殊性质。 2.土的弹塑性理论 弹塑性理论都是采用增量法，建立应力增量与应变增量之间的关系，以适应和描述应力—应变发展的非线性规律。在一定应力条件下，由应力的变化所引起的应变增量可以分解为弹性应变增量和塑性应变增量。其表达式可以写成： p e d d d εεε=+ （1） 式中况分别表示弹性和塑性情、p e 。对于弹性应变部分，可以有弹性理论的应力—应变关系求出。而对于塑性应变部分，可需要塑性理论来解决。在应用塑性理论前，首先需要对塑性应变的标准、产生条件、应变方向、应变大小和应变发展变化的规律有一定的认识。 1）塑性判断标准。塑性判断标准常用德鲁克公设（如图1）或依留申公设（如图2）。德鲁克公设认为，一个盈利循环所做的功大于零才有塑性应变。依留申公设认为，一个应变循环中所做的功大于零才有塑性应变。 高等土力学读书报告 张文川220132524 指导老师：缪林昌教授摘要：《土工原理》是土力学专著，系统地总结和介绍了国内外在土力学重要领域内的理论发展，重在阐述原理。内容包括土的组成和基本性质，土的压缩性与沉降计算，土的强度，土体渗流原理与计算，土的三向变形与本构模型，有限单元法在土工中的应用，土的固结理论，土体的流变理论，土坡的稳定性，砂土液化与地震永久变形，城市环境岩土工程，地基承载力。 1、土的应力应变关系的特征及其影响因素：非线性、弹塑性、剪胀性、（各向异性、结构性、流变性）；应力水平、应力路径、应力历史。 2、邓肯—张模型分析总结：应变仅由偏应力贡献，球应力没有贡献。优点：①能反映土体变形的主要特征，非线性、应力历史、应力路径；②简单，容易为工程接受；③模型参数容易确定，积累了丰富的确定模型的经验。缺点：不能反映土体变形的剪胀性、软化、各向异性和结构性。 3、剑桥模型的试验基础和基本假设：①试验基础：正常固结土和弱超固结土试验基础上建立②基本假设：帽子屈服面，相适应的流动规则，以塑性体应变为硬化参数（加工硬化定律）。只要有三个试验场数：各向等压固结系数λ，回弹系数k，破坏常数m。 4、土的强度的三个特点：由于土的碎散性、多相性造成土①强度主要由颗粒相互作用力决定，土的破坏主要是剪切破坏，其强度主要表现为粘聚力和摩擦力；②研究时要考虑孔隙水压力、吸力等土特有的影响强度的因素；③土的地质历史造成土强度强烈的多变性、结构性和各向异性。 5、屈服与破坏的关系：对于刚弹性体和弹性—理想塑性体屈服即意味着破坏，对于增量弹性模量屈服和破坏并不是同一概念。土的屈服与强度与人们选择的理论模型有关，土体破坏与边值问题的具体边界有关。 6、影响土的抗剪强度的因素：①内部因素：土的组成（如矿物成分、颗粒大小、级配、含水量等）、土的状态（如密度、孔隙比）、土的结构（如絮凝结构）；②外部因素：温度、应力应变因素（如围压、中主应力）、应力历史、主应力方向、加载速率、排水条件等。 7、一维渗流固结理论的基本假定：①土层是均质的、完全饱和的；②土粒与水均为不可压缩介质；③外荷载一次性瞬时施加到土体上，在固结过程中保持不变；④土体他应力与应变之间存在线性关系，压缩系数为常数；⑤在外力作用下，土体中只引起上下方向的渗流与压缩；⑥土中水的渗流服从达西定律，渗透系数保持不变；⑦土体变形完全是由孔隙水排出和超静水压力消散所引起的。 8、 Biot理论与准三维固结理论比较：①二者建立方程的依据基本一致：小变形、线弹性、渗流符合达西定律，但准三维固结理论假设法向总应力随时间不变，而Biot理论不作此假定；②Biot理论考虑土骨架变形孔压的影响，即位移与孔压相互耦合，而准三维固结理论对土体变形和孔 压消散分别加以计算，其直接后果是后者无法解释Mandel-Cryer效应。 9、常规三轴试验的优缺点：①近似单元体试验，试样内στ、相对对均匀；②σ状态和路径明确；③排水条件清楚，可控制；④破坏面非人为固定；⑤操作复杂，现场无法试验；⑥不能反映2σ的影响；⑦边界条件、膜嵌入的影响。 10、割线模型与切线模型的比较：①割线模型考虑了应力应变全量关系，能反映土变形的非线性及应力水平的影响，可用于应变软化阶段。但理论不严密，不能保证解的唯一性；②切线模型为分段线性化的增量形式的胡克定律，能反映土变形全过程。 11、在直剪、単剪、环剪试验中，试样的应力和应变的特点：①直剪：破坏面人为确定，应力和应变不均匀且十分复杂，试样内各点应力状态及应力路径不同。在初始状态，剪切面土单元与试样中其他单元一样是K0应力状态，即3001vKKσσσ==。在剪切破坏时，剪切面附近土单元主应力大小和方向决定与强度包线；②単剪：试样内所施加的应力被认为是纯剪，加载过程中竖直应力vσ和水平应力hσ保持常数，()vhhv ττ不断增加。应力莫尔圆圆心不变，其直径逐渐扩大，直至与强度包线相切；③剪切面的总面积不变。 弹塑性力学简答题 弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？弹塑性力学试卷
弹塑性力学总结汇编
(完整版)弹塑性力学作业(含答案)(1)
弹塑性力学读书笔记
土力学读书报告分析
材料力学读书报告
土力学结课论文及对工程案例的分析
弹塑性力学试卷
武汉大学弹塑性力学简答题以及答案
龙岩市中考满分作文 土力学读书报告
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高等土力学读书报告第二章
弹塑性力学试题及标准答案(2015、16级工程硕士)
弹塑性力学读书报告
高等土力学读书报告
弹塑性力学简答题