相似三角形的判定讲义全

相似三角形的判定

一、知识点讲解

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。

（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。

二、典例分析

（一）运用判定定理判定三角形相似

例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。

（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。

变式练习：

1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ）

A 、1对

B 、2对

C 、3对

D 、4对

2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）

A 、有一个角是40°两个等腰三角形

B 、两个等腰直角三角形

C 、有一个角为100°的两个等腰三角形

D 、两个等边三角形

例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217

,求AD 的长。

变式练习：

1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ）

A 、∠AED=∠

B B 、∠ADE=∠

C C 、AB AC AE A

D = D 、AC

AE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证：

△ADM ∽△MCP 。

例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）

变式练习：

1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ）

A 、△ABC 与△A ＇

B ＇

C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1

D 、AB 与A ＇C ＇是对应边

2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。

（二）判定定理的运用

例4 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接EC ，过点E 作直线EF 交AB 于点F 。当EF 与CE 满足什么条件时，△AEF 与△DCE 相似？并说明理由。

变式练习：

1、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ）

A 、AC A

B AB AD = B 、BD AD B

C AE = C 、AB AE BC DE =

D 、AB

AD BC DE =

第1题 第2题 第3题

2、如图，∠ABD=∠C ，AB=5，AD=3.5，则AC= 。

3、如图，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2。求证：FD 2=FG ·FE.

反馈练习 基础夯实

1、如图，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 交AD 于点F ，则图中与△AEF 相似的三角形的个数是（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A 、23 B 、67 C 、6

25 D 、2 3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°,BD 平分∠ABC ，则下列结论：①△ABC ∽△BCD ；②AB ：BC=BC ：CD ；③BC 2=AC ·CD ；④AD ：DC=AB ：BC ，其中正确的结论有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

4、如下图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）

A 、∠ABD=∠AC

B B 、∠ADB=∠AB

C C 、AB 2=A

D ·AC D 、

BC

AB AB AD 5、如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2=AD ·AB ，则（ ）

A 、△ADC ∽△AC

B B 、△BD

C ∽△BCA C 、△ADC ∽△CDB

D 、无相似三角形

6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（ ）

A 、∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ＇=60°,A ＇

B ＇=3cm ，A ＇

C ＇=10cm

B 、∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°,DE=2cm ，DF=3cm

C 、∠C=∠E=30°，AB=8cm ，BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cm

D 、∠A=∠A ＇，且AB ·A ＇C ＇=AC ·A ＇B ＇

7、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1,BD=4，那么AB= 。

8、如图，在□ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形 。

第7题 第8题 第9题 第10题 第11题

9、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 。

10、如图，在△ABC 中，D 是ABA 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ACB 相似，应添加的条件

是 。（写出一个即可）

11、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列条件中，能证明△ABC 是直角三角形的有 。 ①∠A+∠B=90°；②AB 2=AC 2+BC 2；③BD

CD AB AC =；④CD 2=AD ·BD 。 12、如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD= 时，

图中的两个直角三角形相似。

13、如图，∠1=∠2，∠B=∠D ，AB=DE=5，BC=4。

（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）求AD 的长。

14、如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BD

CD CD AD =。 （1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小。

15、如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD=260cm ，AB=130cm 。球目前在点E 的位置，AE=60cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D 的位置。

（1）求证：△BEF ∽△CDF ； （2）求CF 的长。

16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。

能力提升

17、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°,∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（）

A、b2=ac

B、b2=ce

C、be=ac

D、bd=ae

第17题第18题第19题

18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A 出发到点B为止，动点E从点C 出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动，那么当以点A、

D 、

E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ）

A 、3秒或4.8秒

B 、3秒

C 、4.5秒

D 、4.5秒或4.8秒

19、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=（ ）

A 、43

B 、54

C 、65

D 、7

6 20、如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°,OB=2OA ，点A 在反比例函数x y 1=

的图像上，若点B 在反比例函数x

k y =的图像上，则k 的值为（ ） A 、-4 B 、4 C 、-2 D 、2

第20题 第21题 第22题

21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B （0，2），如果点C 在x 轴上（点C 与点A 不重合），当点C 的坐标为 时，使得以点B 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似。

22、已知，如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 上延长线上，且OE=OB ，连接DE 。

求证：（1）DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：△CED ∽△DEB 。

23、如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B 。

（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AD=36，AF=34，求AE 的长。

24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”；

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。

已知：如图， 。

求证：R t △ABC ∽R t △A ＇B ＇C ＇。

25、如图，E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H 。

（1）求证：△ABE ∽△ECF ；

（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；

（3）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长。

思维拓展

26、如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。

（1）求直线AB的解析式；

（2）在线段AB上有一动点P。

①如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；

②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a cm(a>3)。动点M、N同时从点B出发，分别沿

运动，速度是1cm/s。过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q，当点N到达终点C时，点M 也随之停止运动，设运动时间为t秒。

（1）若a=4cm，t=1s，则PM= cm；

（2）连接PD、PB，若a=5cm，求运动时间t,命名△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围。

参考答案

反馈练习 基础夯实

1、C

2、B

3、D

4、D

5、A

6、D

7、4

8、△DCF ∽△EBF

9、7 10、AB AC AC AD 11、①②④ 12、215或3

40 13、（1）略 （2）4

25 14、（1）略 （2）90° 15、（1）略 （2）169 16、

55或552 能力提高

17、A 18、A

19、

20、A 21、（-4，0） （1，0） （-1，0）