热学第六章课后习题答案
第六章热学答案
1． 解 ：由致冷系数2122T T T A Q -==
ε ()J T T AT Q 421221025.121
102731000?=-?=-= 2．解：锅炉温度K T 4832732101=+=，暖气系统温度K T 333273602=+=，蓄水池温度K T 288273153=+=。kg 0.1燃料燃烧放出的热量为1Q 热机的工作效率1212111T T Q Q Q A
-=-==
η，向制冷机做功)1(1
21T T Q A -=，热机向暖气系统放热分别为11
2
12Q T T A Q Q =
-=；设制冷机的制冷系数3
23
43T T T A A Q A Q -=-==
ε， A T T T T T T T T T A Q ?-?-=-+
=3
22
1213234)1(
暖气系统得到热量为：
112322112421Q T T T T T Q T T Q Q Q ????
?
?--+=
+=1123231Q T T T T T ?-T -= cal 41049.115000483
333
288333288483?=???--=
3．解：（1）两个循环都工作与相同绝热线，且低温T 不变，故放热相同且都为2Q ，在第一个循环过程中2
2
1212111Q A Q Q Q T T +-
=-=-
=η，2122T T AT Q -=；在第二个循环过程中高温热源温度提高到3T 的循环过程中2223232111Q A Q Q Q T T +-=-=-
=η，2
32
22T T T A Q -=；因此2
32
22122T T T A T T AT Q -=-=
解得()()K T T A A T T 473173373800
106.12733
211223=-?+=-+=
（2）效率增大为：3.42473
2731132=-=-
=T T η ％
4．解：热机效率
1211T T Q A -≤，当取等号时1Q 最小，此时1
211T T Q A -=， ()J T T AT T T A Q 552111
2
11075.2502732502732502731005.11?=--++?=-=-=， 热力学第一定律A Q Q -=12，当1Q 最小时，2Q 最小，
J A Q Q 555121070.11005.11075.2?=?-?=-=J
5 ．解：121T T -
=η 4674
.017
273121=-+=
-=ηT T 当η增加为 50 ％时，5605
.017
273'
1=-+=
T
高温热源需要增加的温度为：△934675601'
1=-=-=T T T K 6．解：将1Kg25℃的水制成-10℃需要提取的热量为： Q=80+×10+1×25=×105cal/kg 由212T T T -=
ε此制冷机的制冷系数为卡诺制冷系数的3
1
，故有
()A Q
T T T 2212133
=-=
=
ε
ε
∴()
212
23T T AT Q -=
每小时制冰为：()
2123T T q AT q Q M -==
=()
8.2226330818.4101.13106.315002635
3
=-???????Kg 7．证明：如图所示：封闭的曲线ABCDA 为任意可逆循环过程这一可逆循环过程经历的最高温度为m T ，最低温度为n T
图中还表示出用一连串微小的可逆卡诺循环去代替这一循环。很容易看出，任意两个相邻的可逆卡诺循环总有一段绝热线是共同的，但进行的方向相反，因而效果完全抵消，所以这一串微小的卡诺循环总效果就是图中的任意循环ABCDA
任意微小的卡诺循环的效率为：'1
'2
'
1i i T T -=η工作在m T ，n T 之间的卡诺循环的效率为：
m
n T T -
=1η∵ n i T T >'
2 m i T T <'1∴ηη<' 设任意小循环从高温热源吸收热量为1i Q ，向低温热源放出的热量为2i Q ，其效率为
1
2
'1i i Q Q -
=η，由前面的证明知η<-121i i Q Q
∴()121i i Q Q η->，全部小循环吸收和放出的热量的总效果等于整个可逆循环过程吸收和放出的热量，对所有小循环求和
()∑∑-=i
i i
i Q Q
12
1η，ABCD i
i i
i
i i Q
Q
Q ηη=->
∑∑∑1
2
1其中ABCD η为任意可逆循环ABCDA 的效
率。
由此可知，任意可逆循环过程的效率，不可能大于工作在所经历的高温度与最低温度之间的可逆卡诺循环的效率。若ABCDA 为不可逆循环过程，则分成的每一微小卡诺循环也不一定可逆，其效率小于与之相当的可逆循环的效率。结果效率更小。所以说：注意循环过程的效率，不可能大于工作于它所经历的最高热源和最低温度之间的可逆卡诺循环的效率。
8．证明：假设工作物质为一摩尔气体，其状态方程为：()RT b v p =-，工作物质在等压膨胀中吸收的热量为：b
v b v RT b v dv
RT pdv Q v v v v --=-==
?
?
12
11
1ln 2
1
2
1
工作物质在等温压缩中放出的热量为：b
v b v RT b v dv
RT pdv Q v v v v --=-==
??
43
222ln 4
3
4
3
此气体的绝热方程为：()常量=--11
γT b v 因状态1，4在同一绝热线上，状态2，3在同一绝热线上则可得：()
()
'
22'
11T b v T b v -=-
()()
'23'12
T b v T b v
-=-
∴b v b v b v b v --=
--4312 热机的效率2
1
1
2
14
2
2121ln ln 11T T b v
b v RT b v b v RT Q Q -
=???
? ??--???? ??---=-=η 证毕。 9． 证明：p T p T v u v
T -???
????=???
???? （1）()RT v a
p b v =???
? ?
?+-2
∴2v a b v RT p --=∴p T p T v u v T -??? ????=??? ????
∴22v a v a b v RT b v RT p T p T v u v
T =+---=
-???
????=???
???? （2）???+=+=???
????+??? ????=T T v v v v v
T dT c v dv a du dT c dv v a dT T p dv v u du 0022
∴???
? ?
?-++
=?001
10v
v a dT c u u T T v (3)设v c 为常数则???
? ?
?-+-+=0001
1v
v a T c T c u u v v 令：020'T c v a u u v -+= 20'v
a
T c u u v -
+= 10． 证明：在准静态过程中：dA du = pdv dA -=利用上题结果dv v
a
dT c du v 2+
=∴dv v a b v RT pdv dv v a dT c v ???
? ??---=-=+
22 dv b v RT
dT c v --= dv b
v RT
dT c v --=积分得：()C b v c R T v +--=ln ln ∴()常数=-v c r b v T
11． 证明：把上题结果()
常数=-v
c r b v T 代入范式公式：()RT v a
p b v =???
?
??+-2可得：()
常数=???
?
??+-+2v a p b v v
v C R c 12． 证明：引用第九题之结果dv v a
dT c du v 2
+
=在绝热过程中 dA du =
13． 证明：dv v s dT T s ds T v ??? ????+???
????= dv v s T dT T s T Tds T
v ???
????+??? ????=
T v T v v s T dT c dv v s T dT T s T Tds ???
????+=??? ????+??? ????=利用麦氏方程
dv T p dT c Tds T p v s v
v v T ???
????+=??? ????=??? ????设s,v 分别为：p,T 的函数则
??????????? ????+???? ??????? ????+=???
???????? ????+???? ????dT T v dp p v T p T dT c dT T s dp p s T p T v v p T 把上式应用于等压过
程即dp=0 ,dT T v T p T dT c dT T s T p
v v
p ??? ??????? ????+=???
???? p v v p T v T p T c T Q ??? ??????? ????+=??? ???? p
v v p T v T p T c c ???
??????? ????=- 对范式方程： ()RT v a p b v =???? ?
?+-2
()3
2b -v RT R v b v a T v p --
=??? ???? b
v R T p v -=
??? ???? ()R v a
p b v T ????
??+-=2
()()()3
23
222121RTv b v a R v b v a b v RT R b v R v a p b v R c c v p --=----???? ??+-=-
14． 解： 在焦耳实验中气体向真空中膨胀的过程为准静态绝热过程；在此过程中0=dA .......
①引用12题的结果：范德尔瓦斯气体进行准静态绝热过程时，气体对外作的功
为:()???? ??---=212111v v a T T c A v ……②， 由①②得：()0112121=???? ??---v v a T T c v ∴???? ??--
=-21
1211v v c a
T T v
15． 解: 24.30.410.21102.838.36.311221
12-=??? ??-???-=???? ??--
=--v v c a
T T v
K 16． 解：气体的等温膨胀过程为等焓过程21H H = 221121v p v p u u -=-……①引用12题的结果，范德尔瓦斯气体内能变化的为：()????
??---=-12
121211v v a T T c u u v ……②有范式方程： ()RT v a
p b v =???
? ?
?
+
-2
得：b v RTb v a RT pv --=2……③把②③代入①式： ()()12112212121211T T R b v b RT b v b RT v a v a v v a T T c v --?
??
?
??----???? ??-=???? ??---
∴???
?
???????? ??----???? ??-+=-b v b RT b v b RT v a v a R c T T v 11221212221 17． 解：一摩尔气体在节流膨胀前可看作是范式气体，节流膨胀后可看作理想气体，则节流前气体内能变化为：b
v b
RT v a RT v p -+-
=111111……② 由理想气体方程：222RT v p = ……③ 把①②③代入221112v p v p u u -=-，得： ()()b
v b RT v a T T R v a T T c v -+---=+
-11112112∴???
?
??--+=-=?1111221v a b v b RT R a T T T 当△T=0时
1112v a b v b RT =- R
a v R
b a T 21211-= 在左图曲线可以看出当△T=0时v 1的变化范围为∞→b ，
1T 的变化为Rb
a
20→
，当b v <1时，01 =为范式气体节流膨胀发生零效应时，气体初态温度的上极 限值， =?????==-6.3910102.11035.1223 2602 Rb a T N 830K =?????==-4 .23101021.810033.02232102 Rb a T H 34K 19． 解：因气体经历一准静态绝热过程且系统为孤立系，据热力学第一定律A u u =-12 A=0……①引用12题结论：凡是气体进行准静态过程式气体对外做功为： ()???? ??---=12 21211v v a T T c A v γγ……②达到新的平衡后，A n 摩尔气体所占的体积为： B A A A n n n v += γ22 A n 摩尔气体所占的体积为：B A B B n n n v +=γ22把②式应用于两组气体的绝热过程： ()()021212221=??? ? ??+--???? ? ?+---+=B B A B A B A A B A v vn n n v an vn v v v an T T n n c A ()()()()[]() 2 2122B A B A B B A A B A v n n v a n n n n n n v a T T n n c +-+++= -+ ()[] ()22 222222B A B A B A n n v a n n n n v a --=--+= ∴() ()2122B A B A v n n n n ac a T T -+- =- 20． 解 ：有第五章第十四题结果看：水蒸汽的凝结热为： Kg KJ Q 41.2444= 水蒸汽的凝结热为水时熵的变化为： Kg K T T T d s s ??-=-=---? 301023.8θ θ 21． 解：设计下列可逆过程进行计算： O H 2（气，24℃，1bar ）?→??1 s O H 2（汽，24℃，） ?→??2 s O H 2（饱和水，24℃，） K J p p R T p p RT T Q s 19.295125.331.8029824 .01ln 31.8ln ln 212 111=?===== ? 引用上题结果：95.1181023.81000 18 32-=??- =?s mol J 22． 解：见图235页6—18，（1）空气由atm p 401= K T 2601= 节流膨胀到：atm p 12=是一等焓过程，从图中可查出K T 2502=温度降低10K （2）若等焓过程膨胀到atm p 102= K T 902=温度降低170K 23． 解：１—３中：1 313ln 31 T T c T dT c T d s s p T T p === -?? θ 在３—２中：3 223ln 23 T T c T dT c T d s s v T T v === -?? θ ()3 2121332133212ln ln ln ln T T R T T c T T c T T c s s s s s s p p v -=+=-+-=- ∵ 3122T p T p = 1232p p T T = ∴1 21212ln ln p p R T T c s s p -=-利用６．２１式计算一摩尔理想气体的熵为：∴状态１的熵值：0111ln ln s p R T c s p +-= 状态２的熵值为： 0222ln ln s p R T c s p +-= ∴1 21212ln ln p p R T T c s s p -=-结果相同 24．解：两部分液体在定压下达到新的平衡态后其温度为： ()122 1 T T + ()2 21 21 2ln 122T T T mc T dT c m T d m s p T T T p +===???+θ ()12121 12ln 121 T T T mc T dT c m T d m s p T T T p +===???+θ 系统的熵变为： ()2!2 21121221214ln 2ln 2ln T T T T mc T T T T T T mc s s s p p +=???? ? ?+++=?+?=? 当21T T ≠时，存在212 2212T T T T >+，由此得：( )2 12 2 14T T T T >+则()04ln 2 12 2 1 >+T T T T ∴ 0〉s ? 熵是增加的 25． 解：第五章习题１５的数据为在１０atm 下从K K 1200300→范围内铜的定压摩尔热容量为：b a c p += 4 103.2?=a 92 .5=b p c 单位 k mol J ?∴ ()?????+=+===?12003001200300dT b T dT a T dT bT a T dT c T d s p θ ()mol K J b a ??=?+?=-+=441073.390092.5103.23001200300 1200 ln 26． 解：（1）()1 3121212ln ln ln 21 V V c V V c T T c T dT c T Q d s s p p p T T p p =====-??ν 3 1 2123)(23ln ln ln 32 V V c T T c T T c T dT c T Q d s s v v v T T v V =====-?? ν ()mol K J R V V R V V c V V c s s s s s s v p ?===+=-+-=-75.52ln ln ln ln 1 33113231213（2）mol K J R V V R V V RT T T Q d s s T ?===?== -?75.52ln ln ln 1 1 31311)(13 （3）014== -? T Q d s s 4 14343ln ln 3 4 T T c T T c T Q d c s s p p T T p ===-?ν ……① 而41-的绝热过程有： γ γγ γγ γγ γ1131321321 4141----??? ? ??=??? ? ??=??? ? ??=??? ? ??=V V T T p p p p T T 代 入 ①式： 2ln ln 4.114.127ln 1 311343R V V R V V c s s p =?-?= ? ?? ? ??=--γ γ()mol K J R s s s s s s ?==-+-=-75.52ln 144313 故由3条路径计算的值相同 27． 解：APB 为等温过程，在此过程中，系统吸收的热量'Q 为： 的面积的面积矩形的面积PB N '?++?=MCDB AMP Q ∴的面积的面积PB N Q '?-?=-AMP Q ，这两个微小三角形的面积为两个无穷小量的面积，由此可见为二界无穷小量Q '-Q 28． 解：（1）cal 400200600Q Q A 21=-=-= （2）K cal T Q T Q s b 5.0200 200 4006002211=-=-= ? （3）可逆机经一循环后热源和工作物质熵不变 （4）可逆机0221'1=-=?T Q T Q s cal T Q T Q 400200200 4002 21'1=? == cal A 200200400=-= 29． 解：（1）实际制冷机比可逆机额外需要的功b s T T Q T Q T T Q T Q A ?=???? ??-=-=?1221 1122 11 （2）cal A T T 1005020050400 200 11000012=?==-=- =η 30． 证明：见图p258(6-30图)以z y x n n n 为坐标轴的三维空间中单位体积内含有一个点对应分子的一种力学状态 （1）令2 2 2 2 R n n n z y x =++当e=E 时mE h R 21 π= E e ≤的点数<即状态数>完全处于第一象限空间中，以R 为半径的球内立体积内有一点，故可用适当条件的点，所分布的体积来表数, ?? ? ??=33481R w π 在E 和E+△E 能量范围内的点，完全处于第一象限空间中半径 厚度为 dR 的薄球壳内：dE L m h L mE dR R dw 2122248112 22 2 ππππ?=?= ()EdE m h V 23322π 由此可见每一分子的力学状态数与体积V 成正比。 第八章 热力学基础 一、选择题 ［ A ］1.（基础训练4）一定量理想气体从体积V 1，膨胀到体积V 2分别经历的过程是：A →B 等压过程，A →C 等 温过程；A →D 绝热过程，其中吸热量最多的过程 (A)是A →B. (B)是A →C. (C)是A →D. (D)既是A →B 也是A →C , 两过程吸热一样多。 【提示】功即过程曲线下的面积，由图可知AD AC AB A A A >>； 根据热力学第一定律：E A Q ?+= AD 绝热过程：0=Q ； AC 等温过程：AC A Q =； AB 等压过程：AB AB E A Q ?+=，且0 >?AB E ［ B ］2.（基础训练6）如图所示，一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为p 0，右边为真空．今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是 (A) p 0． (B) p 0 / 2． (C) 2γp 0． (D) p 0 / 2γ． 【提示】该过程是绝热自由膨胀：Q=0，A=0；根据热力学第一定律Q A E =+?得 0E ?=， ∴0T T =；根据状态方程pV RT ν=得00p V pV =；已知02V V =，∴0/2p p =. ［ D ］3.（基础训练10）一定量的气体作绝热自由膨胀，设其热力学能增量为E ?，熵增量为S ?，则应有 (A) 0......0=???=?S E 【提示】由上题分析知：0=?E ；而绝热自由膨胀过程是孤立系统中的不可逆过程，故熵增加。 习题提示与答案 第六章 热能的可用性及火用分析 6-1 汽车用蓄电池中储存的电能为1 440 W ·h 。现采用压缩空气来代替它。设空气压力 为6.5 MPa 、温度为25 ℃，而环境的压力为0.1 MPa ，温度为25 ℃，试求当压缩空气通过容积 变化而作出有用功时，为输出1 440 W · h 的最大有用功所需压缩空气的体积。 提示：蓄电池存储的电能均为可转换有用功的火用 ，用压缩空气可逆定温膨胀到与环境平衡时所作出的有用功替代蓄电池存储的电能，其有用功完全来源于压缩空气的火用 ，即W u =me x ,U 1。单位质量压缩空气火用 值()()()010010011,x s s T v v p u u e U ---+-=，空气作为理想气体处理。 答案：V =0.25 m 3。 6-2 有一个刚性容器，其中压缩空气的压力为3.0 MPa ，温度和环境温度相同为25 ℃，环境压力为0.1 MPa 。打开放气阀放出一部分空气使容器内压力降低到1.0 MPa 。假设容器内剩余气体在放气时按可逆绝热过程变化，试求：(1) 放气前、后容器内空气比火用U e x,的值；(2) 空气由环境吸热而恢复到25 ℃时空气的比火用U e x,的值。 提示： 放气过程中刚性容器中剩余气体经历了一个等熵过程，吸热过程为定容过程； 空气可以作为理想气体处理；各状态下容器 中空气的比 火用()()()00000x s s T v v p u u e U ,---+-=。 答案：e x ,U 1=208.3 kJ/kg ，e x ,U 2=154.14 kJ/kg ，e x ,U 3=144.56 kJ/kg 。 6-3 有0.1 kg 温度为17 ℃、压力为0.1 MPa 的空气进入压气机中，经绝热压缩后其温度为207 ℃、压 力为0.4 MPa 。若室温为17 ℃，大气压力为0.1 MPa ，试求该压气机的轴功，进、出口处空气的比 火用 H e x ,。 提示：工质为理想气体；压气机的轴功T c h w p ?=?=-021,s ，比 火用e x ,H =(h -h 0)-T 0(s -s 0)。 答案：21,s -w =-19.08 kJ ，e x,H 1=0 kJ/kg ，e x,H 2=159.4 kJ/kg 。 6-4 刚性绝热容器由隔板分成A 、B 两部分，各储有1 mol 空气，初态参数分别为p A =200 kPa ，T A =500 K ，p B =300 kPa ，T B =800 K 。现将隔板抽去，求混合引起的熵产及火用损失。设大气环境温度为300 K 。 提示：工质为理想气体；熵产B A iso g S S S S ?+?=?=?, 火用损失g 0L x,S T E ?=。 第六章热学答案 1． 解 ：由致冷系数2122T T T A Q -== ε ()J T T AT Q 421221025.121 102731000?=-?=-= 2．解：锅炉温度K T 4832732101=+=，暖气系统温度K T 333273602=+=，蓄水池温度 K T 288273153=+=。kg 0.1燃料燃烧放出的热量为1Q 热机的工作效率1212111T T Q Q Q A -=-== η，向制冷机做功)1(1 21T T Q A -=，热机向暖气系统放热分别为11212Q T T A Q Q = -=；设制冷机的制冷系数3 2343T T T A A Q A Q -=-==ε， A T T T T T T T T T A Q ?-?-=-+ =3 22 1213234)1( 暖气系统得到热量为： 112322112421Q T T T T T Q T T Q Q Q ??? ? ??--+= +=1123231Q T T T T T ?-T -= cal 41049.115000483 333 288333288483?=???--= 3．解：（1）两个循环都工作与相同绝热线，且低温T 不变，故放热相同且都为2Q ，在第一个循环 过程中22 1212111Q A Q Q Q T T +- =-=- =η，2 122T T AT Q -=；在第二个循环过程中高温热源温度提高到3T 的循环过程中2223232111Q A Q Q Q T T +-=-=- =η，2 32 22T T T A Q -=；因此2 32 22122T T T A T T AT Q -=-= 解得()()K T T A A T T 473173373800 106.12733 211223=-?+=-+= （2）效率增大为：3.42473 273 1132=-=- =T T η ％ 4．解：热机效率 1211T T Q A -≤，当取等号时1Q 最小，此时1 211T T Q A -=， 第二章流体的压力、体积、浓度关系：状态方程式 2-1试分别用下述方法求出400℃、4.053MPa 下甲烷气体的摩尔体积。（1）理想气体方程；（2）RK 方程；（3）PR 方程；（4）维里截断式（2-7）。其中B 用Pitzer 的普遍化关联法计算。 [解]（1）根据理想气体状态方程，可求出甲烷气体在理想情况下的摩尔体积id V 为 331 6 8.314(400273.15) 1.381104.05310 id RT V m mol p --?+= ==???（2）用RK 方程求摩尔体积 将RK 方程稍加变形，可写为 0.5() () RT a V b V b p T pV V b -= +-+（E1） 其中 2 2.5 0.427480.08664c c c c R T a p RT b p = = 从附表1查得甲烷的临界温度和压力分别为c T =190.6K,c p =4.60MPa ，将它们代入a,b 表达式得 2 2.56-20.560.427488.314190.6 3.2217m Pa mol K 4.6010a ??==????531 6 0.086648.314190.6 2.9846104.6010b m mol --??= =???以理想气体状态方程求得的id V 为初值，代入式（E1）中迭代求解，第一次迭代得到1V 值为 516 8.314673.15 2.9846104.05310 V -?= +??350.563353.2217(1.38110 2.984610) 673.15 4.05310 1.38110(1.38110 2.984610) -----??-?- ??????+?355331 1.38110 2.984610 2.1246101.389610m mol -----=?+?-?=??第二次迭代得2V 为 第八章2014） 一． 选择题 1. 【基础训练4】［ A ］一定量理想气体从体积V 1，膨胀到体积V 2分别经历的过程是：A →B 等压过程，A →C 等温过程；A →D 绝热过程，其中吸热量最多的过程 (A)是A →B. (B)是A →C. (C)是A →D. (D)既是A →B 也是A →C , 两过程吸热一样多。 【参考答案】根据热力学过程的功即过程曲线下的面积，知AD AC AB A A A >>； 再由热力学第一定律气体吸热E A Q ?+= AD 过程0=Q ； AC 过程AC A Q =； AB 过程AB AB E A Q ?+=，且0>?AB E 2 【基础训练6】 ［ B ］如图所示，一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分， 左边盛有一定量的理想气体，压强为p 0，右边为真空．今将隔板抽去， 气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是 (A) p 0． (B) p 0 / 2． (C) 2γp 0． (D) p 0 / 2γ ． 【参考答案】该过程是绝热的自由膨胀过程，所以0=Q 0=A 由热力学第一定律 0=?E ∴0=?T 2 20 /0/p P V V = ?=由 3【基础训练10】 ［D ］一定量的气体作绝热自由膨胀，设其热力学能增量为E ?，熵增量为S ?，则 应有 (A) 0......0=???=?S E 【参考答案】由上题分析知：0=?E ；而绝热自由膨胀过程是不可逆的，故熵增加。 4. 【自测提高3】 ［ A ］一定量的理想气体，分别经历如图（1） 所示的abc 过程，(图中虚线ac 为等温线)，和图（2）所示的def 过程(图中虚线df 为 绝热 线)．判断这两种过程是吸热还是放热． (A) abc 过程吸热，def 过程放热． (B) abc 过程放热，def 过程吸热． (C) abc 过程和def 过程都吸热． (D) abc 过程和def 过程都放热． 【参考答案】内能是状态量，与过程无关。所以图（1）中：abc 过程和ac 过程的内能增量相同,并由ac 为等温线可知 0=?E 。而功是过程曲线下的面积，显然abc 过程的功0>A 。 由热力学第一定律：abc 过程：0.>=?+=A E A Q 所以abc 过程是吸热过程。 同理，在图（2）中：def 过程和df 过程的内能增量相同，并由绝热df 过程知 A E -=? 根据过程曲线下的面积：def 过程的功/ .A 小于df 过程的功.A 所以def 过程0)(/ //<-+=?+=A A E A Q 所以def 过程是放热过程 5. 【自测提高4】 ［ B ］用下列两种方法 (1) 使高温热源的温度T 1升高ΔT ； (2) 使低温热源的温度T 2降低同样的值ΔT ， V 第1章 绪言 一、是否题 1. 封闭体系中有两个相βα,。在尚未达到平衡时，βα,两个相都是均相敞开体系； 达到平衡时，则βα,两个相都等价于均相封闭体系。（对） 2. 理想气体的焓和热容仅是温度的函数。（对） 3. 封闭体系的1mol 气体进行了某一过程，其体积总是变化着的，但是初态和终态的体积 相等，初态和终态的温度分别为T 1和T 2，则该过程的? =2 1 T T V dT C U ?；同样，对于初、 终态压力相等的过程有? =2 1 T T P dT C H ?。（对。状态函数的变化仅决定于初、终态与途径 无关。） 二、填空题 1. 状态函数的特点是：状态函数的变化与途径无关，仅决定于初、终态 。 2. 封闭体系中，温度是T 的1mol 理想气体从(P i ，V i )等温可逆地膨胀到(P f ，V f )，则所做的 功为() f i rev V V RT W ln =(以V 表示)或() i f rev P P RT W ln = (以P 表示)。 3. 封闭体系中的1mol 理想气体(已知ig P C )，按下列途径由T 1、P 1和V 1可逆地变化至P 2，则 A 等容过程的 W = 0 ，Q =()1121T P P R C ig P ???? ??--，?U =() 1121T P P R C ig P ??? ? ??--，?H = 112 1T P P C ig P ??? ? ??-。 B 等温过程的 W =21ln P P RT -，Q =2 1ln P P RT ，?U = 0 ，?H = 0 。 C 绝热过程的 W =( ) ???? ????? ? -???? ??--112 11ig P C R ig P P P R V P R C ，Q = 0 ，?U =( ) ???? ????? ? -??? ? ??-112 11ig P C R ig P P P R V P R C ，?H =112 1T P P C ig P C R ig P ??????????-???? ??。 4. 1MPa=106Pa=10bar=9.8692atm=7500.62mmHg 。 06章 一、填空题 1、热力学第二定律的微观实质可以理解为：在孤立系统内部所发生的不可逆过程，总是沿着熵增加的方向进行。 2、热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述是等价的，表明在自然界中与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，开尔文表述指出了____功能转换_________的过程是不可逆的，而克劳修斯表述指出了____热传导______的过程是不可逆的。 3．一定量的某种理想气体在某个热力学过程中，外界对系统做功240J，气体向外界放热620J，则气体的内能减少 (填增加或减少)，E2—E1= -380J。4．一定量的理想气体在等温膨胀过程中，内能不变，吸收的热量全部用于对外界做功。 5．一定量的某种理想气体在某个热力学过程中，对外做功120J，气体的内能增量为280J，则气体从外界吸收热量为400 J。 6、在孤立系统内部所发生的过程，总是由热力学概率较小的宏观状态向热力学概率较大的宏观状态进行。 7、一定量的单原子分子理想气体在等温过程中,外界对它作功为200J.则该过程中需吸热_____-200__J。 8、一定量的气体由热源吸收热量5 26610J 41810J ??,则气体对外作 ??,内能增加5 功____5 .6?__J。 10 84 9、工作在7℃和27℃之间的卡诺致冷机的致冷系数为，工作在7℃和27℃之间的卡诺热机的循环效率为。 10、2mol单原子分子理想气体,经一等容过程后,温度从200K上升到500K,则气体吸收的热量为___7479__J。 11、气体经历如图1所示的一个循环过程，在这个循环中， 外界传给气体的净热量是 90 J。 12、一热机由温度为727℃的高温热源吸热，向温度为 527℃的低温热源放热。若热机可看作卡诺热机，且每一 图1 第六章热力学第二定律 6-1 设每小时能造冰m克，则m克25℃的水变成－18℃的水要放出的热量为 25m+80m+0.5×18m=114m 有热平衡方程得 4.18×114m=3600×2922 ∴ m=2.2×104克=22千克 由图试证明：任意循环过程的效率，不可能大于工作于它所经历的最高热源温度与最低热温源温度之间的可逆卡诺循环的效率。 （提示：先讨论任一可逆循环过程，并以一连串微小的可逆卡诺循环过程。如以T m和T n分别代表这任一可循环所经历的最高热源温度和最低热源温度。试分析每一微小卡诺循环效率与的关系） 证：（1）d当任意循环可逆时。用图中封闭曲线R表示，而R可用图中一连串微笑的可逆卡诺循环来代替，这是由于考虑到：任两相邻的微小可逆卡诺循环有一总，环段绝热线是共同的，但进行方向相反从而效果互相抵消，因而这一连串微小可逆卡诺循环的总效果就和图中锯齿形路径所表示的循环相同；当每个微小可逆卡诺循环无限小而趋于数总无限多时，其极限就趋于可逆循环R。 考虑人一微小可逆卡诺循（187完） 环，如图中阴影部分所示，系统从高温热源T i吸热Q i，向低温热源T i放热，对外做功，则效率 任意可逆循环R的效率为 A为循环R中对外作的总功 （1） 又，T m和T n是任意循环所经历的最高温热源和最低温热源的温度 ∴对任一微小可逆卡诺循，必有： T i≤T m，T i≥T n 或 或 令表示热源T m和T n之间的可逆卡诺循环的效率，上式 为 将（2）式代入(1)式： 或 或（188完） 即任意循环可逆时，其效率不大于它所机灵的最高温热源T m和最低温度热源T n之间的可逆卡诺循环的效率。 （2）任意循环不可逆时，可用一连串微小的不可逆卡诺循环来代替，由于诺定理知，任一微小的不可逆卡 诺循环的效率必小于可逆时的效率，即（3） 对任一微小的不可逆卡诺循环，也有 (4) 将(3)式代入(4)式可得： 即任意不可逆循环的效率必小于它所经历的最高温热源T m和最低温热源T n之间的可逆卡诺循环的效率。 综之，必 即任意循环的效率不可能大于它所经历的最高温热源和最低温热源之间的可逆卡诺循环的效率。 *6-8 若准静态卡循环中的工作物质不是理想气体而是服从状态方程p(v-b)=RT。式证明这可逆卡诺循环的 效率公式任为 6.2 解: 6.3 解: 6.4 解: 内能增量: T C M U v ?= ?μ 对于单原子分子理想气体,R C v 2 3= ,所以, ) (125131.82 310J U =??? =? 所吸收的热量 )(84209125J A U Q -=-=-?= (负号表示该 过程放热) 该过程的摩尔热容量为: )(4.8K mol J T M Q C ?-=?= μ 6.5 解: (1)由 p a V = 可得:2 2V a p = 系统对外界做功: );11( 2 1 2 2 2' 1 2 1 2 V V a dV V a pdV A V V V V - == = ?? (2)对理想气体,有:112 212 V p V p T T = 利用(1)可得:1,1.1 22 12 11 2 <∴ <= T T V V V V T T 所以温度降低了. 6.6 解: 6.8 解: 6.9 解: (1)若体积不变,氢所吸收的热量完全变为内能增加量,即: ) (12,K C M Q T T C M Q V V == ?∴?= μ μ (2)若温度不变, 氢所吸收的热量完全变为对外做的功,即: ) (90.0,11.0ln ,ln 2 11211 .0121 1 21 21atm V V p p e V V RT M Q V V Q V V RT M A == =∴== ∴== μ μ (3)若压强不变,吸热变为内能增加,同时又对外作功,始末温度改变: ); (6.8K C M Q T T C M Q p p == ?∴?= μ μ 体积改变: )(10 6.43 2 11 22m V T T V -?== 6.10 解: 6.11 解: 6.12 解:??+= =dT bT a dT C H T T mp )(2 1 6.13 解: 6.14 解:在p-V 图上做出过程曲线,如下图实线:虚线是等温线,表示初末状态等温. 思考题： 6-1 空气被压缩机绝热压缩后温度是否上升，为什么？ 6-2 为什么节流装置通常用于制冷和空调场合？ 6-3 请指出下列说法的不妥之处： ① 不可逆过程中系统的熵只能增大不能减少。 ② 系统经历一个不可逆循环后，系统的熵值必定增大。 ③ 在相同的始末态之间经历不可逆过程的熵变必定大于可逆过程的熵变。 ④ 如果始末态的熵值相等，则必定是绝热过程；如果熵值增加，则必定是吸热过程。 6-4 某封闭体系经历一可逆过程。体系所做的功和排出的热量分别为15kJ 和5kJ 。试问体系的熵变： （a ）是正？（b ）是负？（c ）可正可负？ 6-5 某封闭体系经历一不可逆过程。体系所做的功为15kJ ，排出的热量为5kJ 。试问体系的熵变： （a ）是正？（b ）是负？（c ）可正可负？ 6-6 某流体在稳流装置内经历一不可逆过程。加给装置的功为25kJ ，从装置带走的热（即流体吸热） 是10kJ 。试问流体的熵变： （a ）是正？（b ）是负？（c ）可正可负？ 6-7 某流体在稳流装置内经历一个不可逆绝热过程，加给装置的功是24kJ ，从装置带走的热量（即 流体吸热）是10kJ 。试问流体的熵变： （a ）是正？（b ）是负？（c ）可正可负？ 6-8 热力学第二定律的各种表述都是等效的，试证明：违反了克劳休斯说法，则必定违反开尔文说 法。 6-9 理想功和可逆功有什么区别？ 6-10 对没有熵产生的过程，其有效能损失是否必定为零？ 6-11 总结典型化工过程热力学分析。 习题 6-1 压力为1.5MPa ，温度为320℃的水蒸气通过一根内径为75㎜的管子，以-1 3m s ?的速度进入透平机。由透平机出来的乏气用内径为25㎜的管子引出，其压力为35kPa ，温度为80℃。假定过程无热损失，试问透平机输出的功率为多少？ 【解】：查593K 和353K 过热水蒸气焓值，-113255.8kJ kg h =?，-122645.6kJ kg h =? 由 3-13-11176.5cm g 0.1765m kg V =?=? 313-124625 4.625m kg V cm g -=?=? 进口截面积 ()2 2210.0750.00442m 4 4 A D π π = = ?= -11130.00442 0.0751kg s 0.1756 u A m V ?= ==?、 m V A u V A u ==111222 -12222 0.0751 4.6257.08m s 0.254 m V u A π??= ==?? -1212645.63255.8610.2kJ kg h h h ?=-=-=-? 忽略位能变化，则 0z ?= 2-1.使用下述方法计算1kmol 甲烷贮存在体积为0.1246m 3、温度为50℃的容器中产生的压力：（1）理想气体方程；（2）R-K 方程；（3）普遍化关系式。 解：甲烷的摩尔体积V =0.1246 m 3/1kmol=124.6 cm 3/mol 查附录二得甲烷的临界参数：T c =190.6K P c =4.600MPa V c =99 cm 3/mol ω=0.008 (1) 理想气体方程 P=RT/V=8.314×323.15/124.6×10-6=21.56MPa (2) R-K 方程 2 2.52 2.560.52 6 8.314190.60.427480.42748 3.2224.610 c c R T a Pa m K mol P -?===???? 531 68.314190.60.08664 0.08664 2.985104.610 c c RT b m mol P --?===??? ∴() 0.5RT a P V b T V V b = --+ ()()50.555 8.314323.15 3.222 12.46 2.98510323.1512.461012.46 2.98510---?= - -???+? =19.04MPa (3) 普遍化关系式 323.15190.6 1.695r c T T T === 124.699 1.259r c V V V ===＜2 ∴利用普压法计算，01Z Z Z ω=+ ∵ c r ZRT P P P V = = ∴ c r PV Z P RT = 654.61012.46100.21338.314323.15 c r r r PV Z P P P RT -???===? 迭代：令Z 0=1→P r0=4.687 又Tr=1.695，查附录三得：Z 0=0.8938 Z 1=0.4623 01Z Z Z ω=+=0.8938+0.008×0.4623=0.8975 此时，P=P c P r =4.6×4.687=21.56MPa 同理，取Z 1=0.8975 依上述过程计算，直至计算出的相邻的两个Z 值相差很小，迭代结束，得Z 和P 的值。 ∴ P=19.22MPa 2-2.分别使用理想气体方程和Pitzer 普遍化关系式计算510K 、2.5MPa 正丁烷的摩尔体积。已知实验值为1480.7cm 3/mol 。 解：查附录二得正丁烷的临界参数：T c =425.2K P c =3.800MPa V c =99 cm 3/mol ω=0.193 热力学作业题答案 第二章 2-1.使用下述方法计算1kmol 甲烷贮存在体积为0.1246m 3、温度为50℃的容器中产生的压力：（1）理想气体方程；（2）R-K 方程；（3）普遍化关系式。 解：甲烷的摩尔体积V =0.1246 m 3/1kmol=124.6 cm 3/mol 查附录二得甲烷的临界参数：T c =190.6K P c =4.600MPa V c =99 cm 3/mol ω=0.008 (1) 理想气体方程 P=RT/V=8.314×323.15/124.6×10-6=21.56MPa (2) R-K 方程 2 2.52 2.5 60.5268.314190.60.427480.42748 3.2224.610 c c R T a Pa m K mol P -?===???? 53168.314190.60.086640.08664 2.985104.610 c c RT b m mol P --?===??? ∴() 0.5RT a P V b T V V b =--+ ()()50.555 8.314323.15 3.22212.46 2.98510323.1512.461012.46 2.98510---?=--???+? =19.04MPa (3) 普遍化关系式 323.15190.6 1.695r c T T T === 124.6 1.259r c V V V ===＜2 ∴利用普压法计算，01Z Z Z ω=+ ∵ c r ZRT P P P V = = ∴ c r PV Z P RT = 65 4.61012.46100.21338.314323.15 c r r r PV Z P P P RT -???===? 迭代：令Z 0=1→P r0=4.687 又Tr=1.695，查附录三得：Z 0=0.8938 Z 1=0.4623 01Z Z Z ω=+=0.8938+0.008×0.4623=0.8975 此时，P=P c P r =4.6×4.687=21.56MPa 同理，取Z 1=0.8975 依上述过程计算，直至计算出的相邻的两个Z 值相差很小，迭代结束，得Z 和P 的值。 ∴ P=19.22MPa 2-4.将压力为2.03MPa 、温度为477K 条件下的2.83m 3NH 3压缩到0.142 m 3，若压缩后温度448.6K ，则其压力为若干？分别用下述方法计算：（1）Vander Waals 方程；（2）Redlich-Kwang 方程；（3）Peng- 第二章 流体的压力、体积、浓度关系：状态方程式 2-1 试分别用下述方法求出400℃、下甲烷气体的摩尔体积。（1） 理想气体方程；（2） RK 方程；（3）PR 方程；（4） 维里截断式（2-7）。其中B 用Pitzer 的普遍化关联法计算。 [解] （1） 根据理想气体状态方程，可求出甲烷气体在理想情 况下的摩尔体积id V 为 33168.314(400273.15) 1.381104.05310id RT V m mol p --?+= ==??? （2） 用RK 方程求摩尔体积 将RK 方程稍加变形，可写为 0.5()()RT a V b V b p T pV V b -=+-+ （E1） 其中 2 2.50.427480.08664c c c c R T a p RT b p == 从附表1查得甲烷的临界温度和压力分别为c T =, c p =，将它们代入 a, b 表达式得 2 2.5 6-20.560.427488.314190.6 3.2217m Pa mol K 4.6010 a ??==???? 53160.086648.314190.6 2.9846104.6010 b m mol --??==??? 以理想气体状态方程求得的id V 为初值，代入式（E1）中迭代求解，第一次迭代得到1V 值为 5168.314673.15 2.9846104.05310 V -?=+?? 350.563353.2217(1.38110 2.984610)673.15 4.05310 1.38110(1.38110 2.984610) -----??-?-??????+? 355331 1.38110 2.984610 2.1246101.389610m mol -----=?+?-?=?? 第二次迭代得2V 为 3535 20.56335355 331 3.2217(1.389610 2.984610)1.38110 2.984610673.15 4.05310 1.389610(1.389610 2.984610)1.38110 2.984610 2.1120101.389710V m mol ------------??-?=?+?-??????+?=?+?-?=??1V 和2V 已经相差很小，可终止迭代。故用RK 方程求得的摩尔体积近 似为 3311.39010V m mol --=?? （3）用PR 方程求摩尔体积 将PR 方程稍加变形，可写为 ()()()RT a V b V b p pV V b pb V b -=+-++- 第六章热力学基础作业新答案 课件一补充题： (2)先等压压缩，W 2=P(V 2-V 1)=-8.1J 对全过程，有 Q 2=W 2+?E =-8.1J ?E=0 (T 1=T 2) 对全过程 等容升压，W 3=0 (1)等温过程, ?E=0 122 11111 V V ln ln V R P V T V Q W ν===561001020 ln 1.0131016.3J 100-=-??=? [补充题] 把P =1a tm ，V =100cm 3的氮气压缩到20cm 3 ，求若分别经历 的是下列过程所需吸收的热量Q 、对外所做的功W 及内能增量,（1）等温压缩;（2）先等压压缩再等容升压回到初温。 （2）系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，系统的内能变化： 204()ba ab E E J =-=- 204(282)486()ba ba Q E W J ∴=?+=-+-=- 即系统放出热量486J 6-22 64g 氧气的温度由0℃升至50℃，〔1〕保 持体积不变；(2)保持压强不变。在这两个过程中氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能？对外各做了多少功？ 解：（1）3.6458.31(500) 2.0810()322v m Q vC T J =?=???-=? 32.0810()E J ?=? W =0 （2）3.64528.31(500) 2.9110()322p m Q vC T J +=?=???-=? 32.0810()E J ?=? 32(2.91 2.08)108.310()Q E J W -?=-?==? 6-24 一定量氢气在保持压强为4.00×510Pa 不 变的情况下，温度由0．0 ℃ 升高到50．0℃时，吸收了6.0×104 J 的热量。 (1) 求氢气的量是多少摩尔? 第二章 流体的压力、体积、浓度关系：状态方程式 2-1 试分别用下述方法求出400℃、4.053MPa 下甲烷气体的摩尔体积。（1） 理想气体方程；（2） RK 方程；（3）PR 方程；（4） 维里截断式（2-7）。其中B 用Pitzer 的普遍化关联法计算。 [解] （1） 根据理想气体状态方程，可求出甲烷气体在理想情况下的摩尔体积id V 为 （2） 用RK 方程求摩尔体积 将RK 方程稍加变形，可写为 0.5() () RT a V b V b p T pV V b -= +-+ （E1） 其中 从附表1查得甲烷的临界温度和压力分别为c T =190.6K, c p =4.60MPa ，将它们代入a, b 表达式得 以理想气体状态方程求得的id V 为初值，代入式（E1）中迭代求解，第一次迭代得到1V 值为 第二次迭代得2V 为 353 5 20.56335355331 3.2217(1.389610 2.984610) 1.38110 2.98461067 3.15 4.05310 1.389610(1.389610 2.984610) 1.38110 2.984610 2.1120101.389710V m mol ------------??-?=?+?- ??????+?=?+?-?=??1V 和2V 已经相差很小，可终止迭代。故用RK 方程求得的摩尔体积近似为 （3）用PR 方程求摩尔体积 将PR 方程稍加变形，可写为 () ()() RT a V b V b p pV V b pb V b -= +-++- （E2） 式中 22 0.45724c c R T a p α= 从附表1查得甲烷的ω=0.008。 将c T 与ω代入上式 用c p 、c T 和α求a 和b ， 以RK 方程求得的V 值代入式（E2），同时将a 和b 的值也代入该式的右边，藉此求式（E2）左边的V 值，得 56 3563355353558.314673.15 2.68012104.05310 0.10864(1.39010 2.6801210) 4.05310[1.39010(1.39010 2.6801210) 2.6801210(1.39010 2.6801210)] 1.38110 2.6801210 1.8217101.3896V ------------?= +?-???-??????+?+???-?=?+?-?=331 10m mol --?? 再按上法迭代一次，V 值仍为3311.389610m mol --??，故最后求得甲烷的摩尔体积近似为3311.39010m mol --??。 （4）维里截断式求摩尔体积 根据维里截断式（2-7） 11()c r c r Bp p Bp Z RT RT T =+ =+ （E3） 01c c Bp B B RT ω=+ （E4） 0 1.60.0830.422/r B T =- （E5） 1 4.20.1390.172/r B T =- （E6） 其中 已知甲烷的偏心因子ω=0.008，故由式（E4）~（E6）可计算得到 1-9 用L表示液体温度计中液柱的长度。定义温标与L之间的关系为 。式中的a、b为常数，规定冰点为，汽化点为。 设在冰点时液柱的长度为，在汽化点时液柱的长度，试求到 之间液柱长度差以及到之间液柱的长度差。 解：由题给条件可得： (1) (2) 解联立方程（1）（2）得： 则 1-17如图1-18所示，两个截面相同的连通管，一为开管，一为闭管，原来开管 内水银下降了，问闭管内水银面下降了多少？设原来闭管内水银面上空气柱的 高度R和大气压强为，是已知的。 题1-18图 解：设截面积为S，原闭管内气柱长为R大气压为P闭管内水银面下降后，其内部压强为。对闭管内一定质量的气体有： 以水银柱高度为压强单位： 取正值，即得 1-29 通常称范德瓦耳斯方程中一项为内压强，已知范德瓦耳斯方程中常数 a，对二氧化碳和氢分别为和，试计算这两 种气体在，0.01和0.001时的内压强， 解：根据内压强公式，设内压强为的内压强。 当时， 当 时 当 时 2-3 一容积为11.2L 的真空系统已被抽到1.0×10-5mmHg 的真空。为了提高 其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.0×10-2mmHg ，问器壁原来吸附了多少个气体分子。 解：设烘烤前容器内分子数为N 。，烘烤后的分子数为N 。根据上题导出的公式PV = NKT 则有： )(0 110011101T P T P K V KT V P KT V P N N N -=-= -=? 因为P 0与P 1相比差103数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此 00T P 与 1 1T P 相比可以忽略 18 23 223111088.1) 300273(1038.11033.1100.1102.11??+???????=?=?---T P K N N 个 课件一补充题： (2)先等压压缩，W 2=P(V 2-V 1)=-8.1J 对全过程，有 Q 2=W 2+?E =-8.1J ?E=0 (T 1=T 2) 对全过程 等容升压，W 3=0 (1)等温过程, ?E=0 12211111 V V ln ln V R P V T V Q W ν===561001020 ln 1.0131016.3J 100 -=-??=? [补充题] 把P =1a tm ，V =100cm 3的氮气压缩到20cm 3，求若分别 经历的是下列过程所需吸收的热量Q 、对外所做的功W 及内能增量,（1）等温压缩;（2）先等压压缩再等容升压回到初温。 6-21 一热力学系统由如图6—28所示的状态a 沿acb 过程到达状态b 时，吸收了560J 的热量，对外做了356J 的功。 (1) 如果它沿adb 过 程到达状态b 时，对外做了220J 的功，它吸收了多少热量? (2)当它由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，外界对它做了282J 的功，它将吸收多少热量？是真吸了热，还是放了热? 解： 根据热力学第一定律 Q E W =+ （1）∵a 沿acb 过程达到状态b ，系统的内能变化是： 560356204()ab acb acb E Q W J J J =-=-= 由于内能是状态系数，与系统所经过的过程无关 ∴系统由a 沿adb 过程到达状态b 时204()ab E J = 系统吸收的热量是：204220424()ab adb Q E W J =+=+= （2）系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，系统的内能变化： 204()ba ab E E J =-=- 204(282)486()ba ba Q E W J ∴=?+=-+-=- 即系统放出热量486J 第四章习题答案 4.1解： . ,0000 0AkT Nmg n mg kT An e n dz dy dx dN N dxdydz e n dN kT mgz kT mgz = ∴? == = ∴=-∞ -???? ??气柱 截面 4.2,4.3解： 0ln , p p g RT z e p p RT gz μμ= =- 4.4 解： RT gz e n z n z n V x n V μ-?=??=??00)() (17 4.5 解： RT gz e r z r e r RT e V z p V p z r z V V p z V z p e p z p RT gz gz T RT gz 3)(3 4) ()(3 4)()()()(03 0003 00 0μπ πμμμ=∴== = = ==--=?- 4.6解：取Y 轴竖直向上,y 处单位体积内有各种速度的分子总数为n ， y=0处n=n 0 由流体静力学原理， )2() ()() 1(00nk dy dn y T k dy dp y T nk nkT p gdy dp αααρ--=-==-= 由（1），（2）得 . 1ln )(1ln 1ln ' ) () (, ) ()()(000 000 ??????--??? ? ? -=∴--=--= --=-?? kT y T k k mg n n dy y T k mg k n dn dy y T k mg k n dn nk dy dn y T k nmg y n n αααααααα 而 .ln ln ln 3) 3(, ) (ln ln 00000000y T T R g y T T k mg p p y T nk kT n p p ααμααα-=-=-=）式代入，整理得：将（ 4.7解： m kT v 32 = 4.9 ,4.10 解： 水平管旋转起来后，管中分子受到惯性离心力，可认为分子处于一定势场中，由玻尔兹曼分布律： 第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 ()()13 2232d 2d .V D m h πεεεε= 解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到 d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为 3 d d d .x y z V p p p h （1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为 2 34πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 2 .2p m ε= 因此 d . p p p md ε== 将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 ()13 2232π()d 2d .V D m h εεεε= （3） 6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为 ()1 2 2d d .2L m D h εεεε?? = ??? 解: 根据式（6.2.14），一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为 d d .x x p h 在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为 2d .L p h （1） 将能量动量关系 2 2p m ε= 代入，即得 ()1 2 2d d .2L m D h εεεε?? = ??? （2） 6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为 ()2 22π.L D d md h εεε= 解: 根据式（6.2.14），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为 21 d d d d .x y x y p p h （1） 用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为 cos ,sin . x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为 d d .p p θ 在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为 22 d d .L p p h θ （2）热力学作业答案
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