立体几何综合大题20道

立体几何综合大题（理科）40道及答案

1、四棱锥中,⊥底面,,,

.

(Ⅰ)求证:⊥平面；

(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ?为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线

AC PA ,都垂直，

故⊥平面。 (Ⅱ)解：33

2sin 2221sin 21=??=∠??=

?π

BCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知232331

31=??=??=?-PA S V BCD BDC P .

由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1

,

故：4

1

32813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F

4

7

412=-

=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形，

90APD ?∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD

的中点．

（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．

【答案】

（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF AP P

∵EF ?平面PAD ，PA ?平面PAD ，所以EF P 平面PAD ；

（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面

ABCD AD =，

所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ?平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ?平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高．

O

由2AD =得1PO =．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积12

33

V PO AB AD =??=

考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，

E PC 为的中点，45DAC ∠=o ，AC =

（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面；

（Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积 【答案】（Ⅰ）设F BD AC =?，连接EF ，

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴?⊥，平面，平面Θ PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又?=?⊥Θ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴?⊥∴平面，平面Θ

∵,45?=∠DAC ∴,DC DA =

∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点， ∴EF 为CPA ?的中位线.

∵EF ∥,PA EF BDE ?平面，PA BDE ?平面 ∴PA ∥BDE 平面.

(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ??+=222

3

22122221=??+??=

．

的中点，

为线段点PC E Θ 11112

2232323

E ABCD V S PD -∴=?=???=．

考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算. 4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．

(1) 求证：AD PQB ⊥平面；

(2) 若平面平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积． 【答案】

（1）PA PD =Q ，Q 为中点，AD PQ ∴⊥ 连DB ，在ADB ?中，AD AB =，，

ABD ∴?为等边三角形，为的中点，

AD BQ ∴⊥,

PQ BQ Q ?=,PQ ?平面PQB ,BQ ?平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .

（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .

Q PQ AD ⊥,PQ ?平面PAD ,

平面PAD ?平面ABCD AD =, 平面平面ABCD ，

PQ ABCD ∴⊥平面 ,

QC ?ABCD 平面 ,

PQ QC ∴⊥

//PQ MH ∴. ∴MH ABCD ⊥平面,

又12PM PC =,11222MH PQ ∴=

==. 在菱形ABCD 中，2BD =,

01

sin 602

ABD S AB AD Λ=???1=222??

∴2ABD ABCD S S ?==菱形

M ABCD V -1

3

ABCD S MH =??菱形13=?1=．

5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ⑴ 求证：平面平面； ⑵ 求四棱锥的体积.

【答案】(1) 证明：由题可知，

(2) ，则 .

6、已知四棱锥中，是正方形，E 是的中点，

(1)若PD AD ，求 PC 与面AC 所成的角 (2) 求证：平面

(3) 求证：平面PBC ⊥平面PCD

【答案】平面，是直线在平面ABCD 上的射影，是直线PC 和平面ABCD 所成的角。又，四边形ABCD 是正方形，，；直线PC 和平面ABCD 所成的角为 （2）连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点 ∴EO ∥PC ∵PC 平面EBD,EO 平面EBD ∴PC ∥平面EBD （3）∵PD

平面ABCD, BC 平面ABCD ，∴PD

BC ，

∵ABCD 为正方形 ∴ BC

CD ，

∵PD ∩CD=D, PD ，CD 平面PCD ∴BC

平面PCD

又∵ BC 平面PBC ∴平面PBC

平面PCD

7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．

（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；

E D C

B

A

P

（2）证明平面； （3）求四棱锥的体积． 【答案】（1）平行平面

证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合） 所以平行

因为，所以平行平面.

（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变. 因为在折叠前，由于折叠后，点，所以 因为，所以平面. （3） .

8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ＝＝.

(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；

(2)求三棱锥P MAB －与四棱锥P ABCD －的体积之比． 【答案】(1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，

又BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC. ∵PD DC D I ＝，∴BC ⊥平面PDC .

在PBC ?中，因为G F 、分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .

又GF ?平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC . (2)不妨设=1MA ，∵ABCD 为正方形，∴2PD AD ＝＝， 又∵PD ⊥平面ABCD ，

所以P ABCD V －＝13ABCD S PD ?正方形＝8

3.

由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，

三棱锥P MAB V －＝13×1122??

?? ???

×2＝23.

所以1

4P MAB P ABCD V V －－:＝:. 9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，

.2

1

,1,90=

===⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面ο

(1)求四棱锥S-ABCD 的体积; (2)求证：;SBC SAB 面面⊥

(3)求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。 【答案】（1）解：

111111

()(1)11332624

v Sh AD BC AB SA ==??+??=?+??=

S

C

A

D

B

（2）证明：

BC

SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴?⊥,面，面Θ

又,A AB SA BC AB =⊥I Θ，SAB BC 面⊥∴

SAB BC 面?ΘSBC SAB 面面⊥∴

（3）解：连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。 在三角形SCA 中，SA=1,AC=21122=+,

22

2

1tan =

==

∠AC SA SCA 10.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 （I ）证明：是侧棱的中点； 求二面角的大小。

【答案】分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则。

（Ⅰ）设，则 又

故，即 ，解得，

所以是侧棱的中点。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，， 设分别是平面、的法向量，则 且，即且 分别令得，即 ， ∴

二面角的大小。

11、如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面

BCD 所成的角的大小

【答案】（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则（1，0，2c ）,E （，，c ）.

A

C

B

A 1

B 1

C 1

D

E

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以AB=AC。（Ⅱ）设平面BCD的法向量则

又=（-1，1， 0），

=（-1，0，c）,故

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, )。

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角为60°知，=60°，

故°，求得

于是，

，

°

所以与平面所成的角为30°

12、如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD

（Ⅱ）在中，，所以

而DC平面ABC，，所以平面ABC

而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以

所以平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，

所以直线AD与平面ABE所成角是

在中，，

所以

13、如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

【答案】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE

14、如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成的角；

（3）求点到平面的距离．

【答案】（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以就是与平面所成的角，

且

所求角为

（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.

因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。

15、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；

（II）设线段、的中点分别为、，求证：∥

（III）求二面角的大小。

【答案】（I）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以

（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC

∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴PM∥平面BCE.

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.

∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.

∵FA=FE,∠AEF=45°,

∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=,则

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

,

在Rt⊿FGH中, ,

∴二面角的大小为

16、如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。

【答案】（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。

SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得ACBE.

(II)SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，SDCD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。

过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，

故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60°

在Rt△ADE中，AD=, DE= ，AE= 。

于是，DF=

在Rt△CDF中，由cot60°=

得，即=3

，解得=

17、如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

【答案】（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.

又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,

所以DE⊥平面.又DE平面，

故平面⊥平面.

（Ⅱ）过点A作AF垂直于点,

连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，

所以AF平面,故是直线AD和

平面所成的角。因为DE，

所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，

于是AD=，AE=4-CE=4-=3.

又因为，所以E= = 4,

, .

即直线AD和平面所成角的正弦值为 .

18、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求证：；

（II）设线段、的中点分别为、，

求证：∥

（III）求二面角的大小。

【答案】

（I）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC平面ABCD, BE平面BCE,

BC∩BE=B

所以

（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC

∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴PM∥平面BCE.

（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.

∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.

∵FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=,则

在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

,

在Rt⊿FGH中, ,

∴二面角的大小为

19、如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：

（Ⅰ）直线到平面的距离；

（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．

【答案】

（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。

在中，

由平面，得AD，从而在中，

。即直线到平面的距离为。

（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE

，所以，为二面角的平面角，记为.

在中, ,由得,,从而

在中, ,故

所以二面角的平面角的正切值为.

20、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

(1)证明：PA⊥BD；

(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．

【答案】

(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD .

从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD．

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．

所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．

(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建

立空间直角坐标系Dxyz .则A (1，0，0)，B (0

，0)，C (－1

0)，P (0，0，1)．

AB u u u r ＝(－1

0)，PB u u u r

＝(0

，－1)，BC uuu r ＝(－1，0，0)． 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0

0n AB n PB ??=???=??u u u r u u u r

即0

x z ?-+=?-= 因此可取n ＝

1

．

设平面PBC 的法向量为m ，则0

m PB m BC ??=???=??u u u r

u u u r

可取m ＝(0，－1

，cos ,7m n =

=-. 故二面角A -PB -C

的余弦值为7

-.