指数与指数函数A
指数与指数函数
学完本节你可以：
1、了解指函数模型的实际背景．
2、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，并运用指数函数的性质解题． 知识点总结： 根与幂的运算 1．根式
(1)n 次方根的定义：若x n
＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N ＋，式子n
a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)n 次方根的性质：
①一个数a 的奇次方根只有一个，即n
a (n 为奇数，a ∈R)．
②一个正数a 的偶次方根有两个，即±n
a (n 为非零偶数)，0的偶次方根为0，负数没有偶次方根． (3)两个重要公式
①n a n ＝ (n 为偶数)；
②(n
a )n
＝ a (n ＞1，且n ∈N ＋)(注意a 必须使n
a 有意义)． (4)有理指数幂的运算性质
①a r a s
＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． ④p
a
-= （0a ≠）
= （0,0m n >>） ⑥n
m
a = （0,0m n >>） (5)无理指数幂
一般地，无理指数幂a α
(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算法则同
(),0,,0a a a n a a a ?
??≥???=?
?-
为奇数
样适用于无理指数幂．指数函数的图象和性质
注：1．指数函数图象的三个关键点
画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1
a
)．
2．不同底指数函数的比较． 在第一象限图象从下至上底数依次变大． 考点分析：
考点一 指数式的化简与求值
例1. 计算下列各式（式中字母都是正数）
2115113
3
6
6
2
2
(1)(2)(6)(3);a b a b a b -÷- 31884
(2)().m n
解析：21152111151103366326
236
22(1)(2)(6)(3)[2(6)(3)]44a b a b a b a b
ab a ++++-÷-=?-÷-==
33112
8
8
3
3
3
884
43(2)()
()()m m n m n m n n
-
-==?=
【答案】（1）4a （2）2
3m n
变式训练1
（1）计算下列各式：
⑴
⑵
1
11
34
4
21
3
243(,0)6a a b a b a b ---
??- ?
??>-． 解析：⑴ 5=；
⑵ 111
34
4
11112144233321
3
243226a a b a b ab a b -????+----- ? ?
????
--
??- ???==-． （2）写出使下列等式成立的x 的取值范围
5)5()25)(5(2+-=--x x x x
解析： ∵22(5)(25)(5)(5)55x x x x x x --=-+=-+
∴55(5)5x x x x -+=-+成立的充要条件是 50x +=或5055x x x +>??
-=-?
，即5x =-或5
50x x >-??-≤? ∴x 的取值范围是[]55-，
【答案】 []55-，
考点二 指数函数的图像性质
例2. 如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x
y a =的图象，而12,
,3,2a π????
∈??????
，则图
象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】
22 1
2
π 3 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数＜C 1的
底数＜C 4的底数＜C 3的底数． 变式训练2
（1）设()|31|x
f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A ．33c b <
B ．33c b >
C ．332c a +>
D ．332c a
+< 【答案】D
（2）为了得到函数935x
y =?+的图象，可以把函数3x
y =的图象( )
A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【答案】C
【解析】注意先将函数935x
y =?+转化为2
3
5x y +=+，再利用图象的平移规律进行判断．
∵2
9353
5x
x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平
移5个单位长度，可得到函数935x
y =?+的图象，故选C ． 考点三 利用指数函数解不等式及比较大小 例3（1）判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a
与1.8a+1
； (2)2
4
-231(),3,()33
1
(3)22.5
，(2.5)0
， 2.5
1(
)2
(4)23(0,1)a a a a >≠与 【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
【答案】（1）1.8a
<1.8a+1
（2）2-24311()<()<333 （3） 2.50 2.5
1()<(2.5)<22
（4）当a>1时，23a a <，当0 a a > 【解析】 (1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x 为单调增函数， 又因为a . (2)因为44 133-??= ???，又13x y ?? = ??? 是减函数，所以-4 2-23111()<()<333?? ???，即 2-24311 ()<()<333 ． (3)因为 2.521>， 2.5 112??< ??? ，所以 2.50 2.5 1()<(2.5)<22 (4)当a>1时，23a a <，当0 a a >． 例3（2）如果21 5x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围． 【答案】当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤- 【解析】（1）当01a <<时，由于21 5x x a a +-≤， 215x x ∴+≥-，解得6x ≥-． （2）当1a >时，由于21 5x x a a +-≤， 215x x ∴+≤-，解得6x ≤-． 综上所述，x 的取值范围是：当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤-． 变式训练3 （1）利用函数的性质比较122，133，16 6 【答案】133>122>16 6 【解析】122=3113666 2(2)8== 121123 6 6 6 33(3)9=== 作出8,9,6x x x y y y ===的图象知 986x x x y y y =>=>= 所以13 3>12 2>16 6 （2）比较1.5-0.2 ， 1.30.7 ， 1 32 ()3 的大小. 【答案】7.02 .031 3.15 .1)3 2(<<- 【解析】先比较31 512.02 .0)32()32()23(5 .1与==--的大小.由于底数3 2 ∈(0，1)， ∴ x y )32(=在R 上是减函数，∵ 05 1 31>>， ∴ 1)32()32()32(0051 31 =<<<，再考虑指数 函数y=1.3x ， 由于 1.3>1， 所以y=1.3x 在R 上为增函数 1.30.7 >1.30 =1， ∴ 7.02.031 3.15.1)3 2 (<<-. 考点四 指数函数的综合应用 例4（1）求函数232 3 x x y -+-=的单调区间及值域. 【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3 [,)2 x ∈+∞上单减. 1 4(0,3] 【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2 +3x-2， y=3u ； [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ， 其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2 x ∈-∞上单增， u=-x 2 +3x-2在3[,)2 x ∈+∞上单减， 则2 32 3x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2 x ∈+∞上单减. 又u=-x 2 +3x-22311 ()244 x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为1 4(0,3]. 例4（2）设a 是实数，()2 21 x f x a =- + (x ∈R) (1)试证明对于任意()af x 为增函数； (2)试确定a 值，使()f x 为奇函数. 解析：(1)设1212x x R x x ∈<，， 且 则()()1 212222121x x f x f x a a ? ???-=--- ? ?++???? = 1 22 1221 2+-+x x =) 12)(12()22(221 21++-x x x x 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <,所以21 22x x <即1 2 220x x -< 又由20x >得1210x +>，2210x +> 所以()()120f x f x -< 即()()12f x f x < 因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数. (2)若f (x )为奇函数，则()()f x f x -=- 即22 ()2121x x a a -- =--++ 变形得: 222 2(21)221 x x x x a -?=++?+ =1 2)12(2++x x 解得1a = 所以当1a =时，()f x 为奇函数. 变式训练4 （1） 已知函数2 ()()1 x x a f x a a a -= --，其中0a >，1a ≠． ⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明． 解析：2 ()()()1x x a f x a a f x a --= -=--，∴()f x 为奇函数 ⑵法一： 若1a >，则210a ->，有201 a a >-， 又101a <<，且1 ()x x a a -=， ∴x a -单调递减 ，∴x a --单调递增 ∵x a 单调递增， ∴x x a a --单调递增，由201a a >-可知2()1 x x a a a a ---单调递增 若01a <<，则210a -<，有201 a a <-， 又11a >，且1 ()x x a a -=， ∴x a -单调递增，∴x a --单调递减 ∴x a 单调递减， ∴x x a a --单调递减，由201a a <-可知2()1 x x a a a a ---单调递增 综上，不论01a << 还是1a >，()f x 在R 上为增函数． 法二： 设12x x <，则2211212()()()1 x x x x a f x f x a a a a a ---=--+- 若1a >，有210x x a a ->，120x x a a --->，且210a ->， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数 若01a <<，有210x x a a -<，120x x a a ---<，且210a -<， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数 【答案】增函数 （2） 已知函数()x f x b a =(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B(3,24). (1)求()f x ； (2)若不等式1123x x m ???? +≥ ? ????? 在()1x ∈-∞，时恒成立，求实数m 的取值范围. 解析：把A (1,6)，B(3,24)代入()x f x b a =，得 3 624. ab b a =??=?? 结合2 003a a a b =?>≠?=? 且，解得： ∴()32x f x =. (2)要使1123x x m ???? +≥ ? ????? 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数1123x x y ???? =+ ? ?????在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可. ∵函数1123x x y ???? =+ ? ????? 在(－∞，1]上为减函数， ∴当1x =时，1123x x y ???? =+ ? ????? 有最小值56. ∴只需5 6 m ≤ 即可. 【答案】56 m ≤ 家庭作业 1.下列个函数中，是指数函数的是（ ） A.(3)x y =- B.3x y =- C. 1 3x y -= D. 3x y = 解析： D 根据指数函数的概念判断。 2．若函数()f x 与1()2x g x ?? = ??? 的图象关于y 轴对称，则满足()1f x >的x 的取值范围是 （ ） A. R B.(),0-∞ C. ()0,+∞ D. ()1,+∞ 解析：C 因为函数()f x 与1()2x g x ??= ??? 的图象关于y 轴对称，所以()2x f x =，()1f x >， 即0212x >=，所以0x >。故选C 。 3．若10x -<<，则下列各不等式成立的是（ ） A.2 20.2x x x -<< B. 20.22x x x -<< C. 0.222x x x -<< D. 220.2x x x -<< 解析：D 用特殊值法：取12 x =-， 则12222x x --=== ，0.2x =，因 为 2 <<，故选D 。 4.函数( ) 2 ()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.1>a B.2 C.a < 1a <<解析：D 因为函数()f x 是R 上的减函数，所以2 011a <-<，所以2 12a << ，即 1||a <<。 5. 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+ ()0,1a a >≠且，若(2)g a =，则(2)f =（ ） A. 2 B. 154 C. 174 D. 2 a 解析：B 因为()()2x x f x g x a a -+=-+（1），所以()()2x x f x g x a a --+-=-+，又() f x 为奇函数，() g x 为偶函数，所以()()2x x f x g x a a --+=-+（2），有（1）、（2）得： (),()2x x f x a a g x -=-=。2215 (2),2,(2)224 g a a f -=∴=∴=-= 。 6.已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3)b a 1 1<；(4)11 33a b >； (5)1133a b ???? < ? ????? 中恒成立的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：C （2）（4）（5）正确，其余错误。 7.函数2121 x x y -=+是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：A 因为211221 ()()211221 x x x x x x f x f x ------===-=-+++，故()f x 为奇函数。 8.已知01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A 取特殊值法，取1,22a b ==-，所以得函数y =122x ?? - ??? ，由图象平移的知识知， 函数y =122x ??- ???的图象是由函数y =12x ?? ??? 的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定 不过第一象限。 9．当[]1,1x ∈-时，()32x f x =-的值域为 。 解析：5,13??-???? 因为[]1,1x ∈-，则 1333x ≤≤，即5 3213 x -≤-≤。 10．设函数()()()x x f x x e ae x R -=+∈是偶函数，则实数a 的值是 。 解析：-1 取特殊值法 因为函数()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即 ()11e ae e ae ---+=+，1a ae e e e ∴--=+，221ae e a ∴--=+，()()2110a e ∴++= ， 210e +≠，∴10a +=，∴1a =-。 11.设函数[)2 2,(,1) (),,1,x x f x x x -?∈-∞?=?∈+∞?? 若()4f x >，则x 的取值范围是_________. 解析：() ,2(2,)-∞-+∞，()4,f x >当1x <时， 由24x ->可知，2x <-；当1x ≥时，由2 4x >可知，2x >，∴ 2x >或 2x <-. 12.函数2 233x y -=的单调递减区间是_______________. 解析：()0,+∞，令23,23U y U x ==-， ∵3U y =为增函数，∴2 233x y -=的单调递减区 间为()0,+∞. 13．比较下列各题中两个数的大小： （1）0.8 0.7 3,3 ；（2）0.10.1 0.75,0.75 -； （3）已知4477a b ???? > ? ????? ，比较,a b 的大小。 解析：（1） 3x y =是R 上的增函数，0.70.8<，0.70.833∴<。 （2） 0.75x y =是R 上的减函数，0.10.1 0.10.1;0.750.75->-∴<。 （3）设函数4()7x y =，它在实数集上是减函数，44,77a b a b ???? >∴< ? ?????。 14.已知函数22513x x y ++?? = ??? ，求其单调区间及值域. 解析：令13U y ??= ??? ，2 25U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函 数，()1,-+∞上的增函数，∴225 13x x y ++?? = ? ?? 在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减 函数，又∵2 2 25(1)44U x x x =++=++≥， ∴225 13x x y ++?? = ? ?? 的值域为410,3?? ?? ? ? ????? . 15.已知函数1 ()(1)1 x x a f x a a -=>+， (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明()f x 是R 上的增函数. 解析：（1）∵定义域为x R ∈，且11()(),()11x x x x a a f x f x f x a a -----===-∴++是奇函数； （2）1222()1,11,02,111 x x x x x a f x a a a a +-= =-+>∴<<+++∵即()f x 的值域为()1,1-； （3）设12,x x R ∈，且12x x <， 12121212121122()()011(1)(1) x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零，且12 x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数. 第四节 指数与指数函数 突破点一 指数幂的运算 [基本知识] 1．根式 (1)根式的概念 若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N * .式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示 x n ＝a ??? ? x ＝ n a 当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a 当n 为偶数且n >1时. 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 负分数指数幂：a － m n ＝ 1a m n ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q) (a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q) 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1) 4 －a 4 ＝－a .( ) (2)(－a )24 ＝(－a )12 ＝－a .( ) (3)(n a )n ＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．计算：π0 ＋2－2 ×? ?? ??2141 2＝________. 答案：118 2．设a >0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其结果是________． 解析： a 2 a ·3 a 2 ＝ a 2a ·a 23 ＝ a 2a 53 ＝ a 2 a 51×32 ＝a 2 ·a - 56 ＝a - 526 ＝a 76 . 答案：a 76 3．若2a －12 ＝ 3 1－2a 3 ，则实数a 的取值范围为________． 解析： 2a －1 2 ＝|2a －1|， 3 1－2a 3 ＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤1 2. 答案：? ????－∞，12 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [典例] (1) a 3a ·5 a 4 (a >0)的值是( ) A ．1 B ．a C ．a 1 5 D ．a 1710 (2)? ????2 350＋2－2·? ????2 14-1 2－(0.01)0.5 ＝________. [解析] (1) a 3 a ·5 a 4＝ a 3 a 1 2 ·a 45 ＝a 143--25 ＝a 1710 .故选D. 高一上数学同步练习（4）--指数与指数函数 一、选择题 1．化简（1+2 321-）（1+2 16 1 - ）（1+2 8 1 - ）(1+2 - 4 1)（1+2 2 1- ），结果是（ ） （A ）2 1（1-2321 -）-1 （B ）（1-2321 -） -1 （C ）1-2 32 1- （D ）2 1 （1-2321 -） 2．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 3.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 4．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 8．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 9．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 指数与指数函数（一） 【学习目标】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 【重、难点】 1.重点：指数幂的运算、指数函数的概念、图像和性质 2.难点：指数幂的运算、指数函数性质及运用 【考情分析】 1.考点：指数幂的化简与运算、指数函数的图象与性质的应用 2.考情：2018·全国卷Ⅱ，3、2018·天津卷，14、2018·浙江卷，5 2017·山东卷，10、2017·北京卷，10 【课堂过程】 （一）知识回顾 1．分数指数幂 (1) m n a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；- m n a＝ 1 m n a (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 ( 题型一指数幂的运算 例题1.（1）．计算23×31.5×612＝________. （2）． 1 2 1332 1 4 (0.1)() a b - - ?? ? ???? a>0，b>0)＝________. （3）．若 11 22 x x- +＝3，则 33 22 22 3 2 x x x x - - +- +- ＝________. 思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二指数函数的图象、性质及应用 例2(1)定义运算a⊕b＝ ?? ? ??a，a≤b， b，a>b， 则函数f (x)＝1⊕2x的图象是() ！ 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x . （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 2 1- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21 ）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） ) 指数与指数函数图像及性质 【知识要点】 1．根式 （1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且* ∈N n 。 （2）如果a x n =，当n 为奇数时，n a x = ；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且* ∈N n 。 (3)() () *∈>==N n n a a n n n ,1, 00。 (4) ,||,a n a n ?=? ?为奇数 为偶数 其中1>n ，且*∈N n 。 2. 分数指数幂 (1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: n m n m a a 1=- () 1,,,0>∈>* n N n m a (3) 要注意四点： ①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ①根式与分数指数幂可以进行互化； ①0的正分数指数幂等于0； ①0的负分数指数幂无意义。 (4)有理数指数幂的运算性质: ①s r s r a a a +=?()Q s r a ∈>,,0； ① () rs s r a a =()Q s r a ∈>,,0； ①()r r r b a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0. 3.无理数指数幂 (1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 4．指数函数的概念： 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域 是R 。 5．指数函数的图像与性质 题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算 【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ??? 指数和指数函数专题 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 12．若函数y=3+2x-1 的图像经过定点P 点，则P 点坐标是（ ） 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞） 10．已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ） 《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》 专题14指数函数（讲） 知识点课前预习与精讲精析 1．指数函数的定义 一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量.[知识点拨]指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质如下表所示： a ＞1 0＜a ＜1 图象 性质 定义域R 值域 (0，＋∞) 过定点过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数 在R 上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 [知识点拨](1)a >1是“一撇”，0 4．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域 形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域． 求形如y ＝a f (x )的函数的值域，应先求出u ＝f (x )的值域，再由单调性求出y ＝a u 的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如y ＝f (a x )的函数的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域．(2)判断复合函数的单调性 令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，那么复合后的函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性 一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f (x )与f (－x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性． 1．若指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()3,8，则()142f f ???= ??? ______. 【答案】【解析】 由题知()3 38f a ==，解得2a =，()2x f x ∴=，因此，()1 4 214222f f ???=?= ??? . 故答案为. 2．若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在[]1,2上最大值是最小值的2倍，则a =______. 【答案】2或12 【解析】 当01a <<时，函数()x f x a =为R 上的减函数，故()()122f f =，即22a a =，解得12 a = .当1a >时，函数()x f x a =为R 上的增函数，故()()221f f =，即22a a =，解得2a =. 故a 的值为2或12 .故填：2或 12 . 指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一．指数幂与根式的互化： 题组一：根式化为分数指数幂 （1）化简=________．(2) 计算=________． (3)若a＜0，则=________． (4)的值为（） 题组二：运用分数指数幂进行化简： （1）下列各式中错误的是（） 1. A. B. C. D. 2.化简（）×（-）÷（）的结果（） A. 6a B. C. D. 3.（1）计算：（2）化简：． (3)（×）6+（）-4（）-×80.25-（-2009）0． 题组三：指数式的条件求值问题： 1.已知，求下列各式的值(写出过程)： （1） (2) (3)= 2.（1）已知，求的值．（2）已知2x+2-x=3，则 4x+4-x= ______ ． 题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： ；； 2.已知，则a，b，c三者的大小关系是 A. B. C. D. 3.已知，b=，c=，则（） A. B. C. D. 题组五：指数函数过定点问题; 1．函数f（x）=2-a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（） A. B. C. D. 2.函数y=a x-3+1（a＞0且a≠1）图象一定过点______ ． 3.函数y(a＞0，a≠1）的图象经过定点为______ 4.题组六：指数函数解方程（或不等式）; 1.设集合A={x|-1＜x＜2}，{x|＜（）x＜1}，则A∩B=（） A. B. C. D. 2.（1）不等式的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______ (3)求不等式a2x-7＞a4x-1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围 3.方程4x-6×2x+8=0的解是______ ． 题组七：指数函数有关图像问题; 1.函数其中且的图象一定不经过( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（） A. , B. , C. , D. , 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． 5 ?己知函数 f(x) = a x +a'\a> 0 且 a 1 )1/(1) = 3 则/(2)=( ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 丄 5 i 6 ?已知R = 2 \P = (-)\Q = (-)\则P 、Q 、/?的大小关系是 2 2 A. P 高中数学练习：指数与指数函数 基础巩固(时间：30分钟) 1.函数y=a x-(a>0，且a≠1)的图象可能是( D ) 解析：若a>1时，y=a x-是增函数; 当x=0时，y=1-∈(0，1)，A，B不满足; 若0 指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 2021 年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》 指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 m n a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条 件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂 的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 m n a－＝ 1 m n a (a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正 分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 y＝a x a>10 2．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当01的解集为{x |x <0}． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n a )n ＝a (n ∈N *)．( × ) (2)分数指数幂m n a 可以理解为m n 个a 相乘．( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若a m 0，且a ≠1)，则m 指数与指数函数检测题 1.3·332 ·6 12的化简结果为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选B 原式＝312 ·????321 3·121 6 ＝312 ·313 ·21-3 ·41 6·316 ＝3 111 +-236·2 -11 +33 ＝3·20＝3. 2．已知函数f (x )＝a x － 1＋4(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4) D ．(4,0) 解析：选A 令x －1＝0?x ＝1，又f (1)＝5，故图象恒过定点P (1,5)． 3．已知a ＝(2)4 3，b ＝225，c ＝913 ，则( ) A ．b 2 5 ， 得a >b ，所以c >a >b .故选A. 4．已知函数f (x )＝? ???? 1－2－ x ，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( ) A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C ．奇函数，且单调递增 D ．奇函数，且单调递减 解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－ x ，－f (x )＝2－ x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－ x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2 －(－x ) ＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C. 5．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为54，则函数y ＝3·a 2x － 1在[0,1]上的最大值为 ( ) A ．16 B ．15 高一指数与指数函数基础练习试题 （一）指数 1、化简［3 2 )5(-］4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将322-化为分数指数幂的形式为（ ） A ．212- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52- 3、化简 4 2 16 13 2 33 2)b (a b b a ab ??(a, b 为正数)的结果是（ ） A ． a b B ．ab C ． b a D ．a 2b 4、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、1 132 12 -- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 5、13256)7 1 (027 .0143 23 1+-+-----=__________． 6、 32 113 2132)(---- ÷a b b a b a b a =__________． 7、48373)27102(1.0)972(032 221 +-++--π=__________。 8、)3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 9 、416 0.250 3 21648200549 -+---）（）（） =__________。 10、已知),0(),(21>>+= b a a b b a x 求1 22--x x ab 的值。 11、若32 12 1=+-x x ，求 2 3 222 32 3-+-+-- x x x x 的值。 （二）指数函数 一、指数函数的定义问题 1、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ） A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n a b - D 、(1%)n a b - 2、若21(5)2x f x -=-，则(125)f = 。 3、若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、 15 B 、15- C 、150 D 、1625 4、某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比 较，变化的情况是（ ） A 、减少7.84% B 、增加7.84% C 、减少9.5% D 、不增不减 5、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f 【 指数与指数函数练习题 一、选择题： 1. 计算(1 2 2 - ?????? 的结果是 （ ） A B 、 C 、 2 D 、2 - 2.函数()()()10 2 52f x x x =-+-的定义域是（ ） A 、{}|5,2x x R x x ∈≠≠且 B 、{}|2,x x x R >∈ C 、{}|5,x x x R >∈ D 、{}|255x x x <<>或 3.化简46 3 9436 9)()( a a ?的结果为 （ ） ~ A ．a 16 B ．a 8 C ．a 4 D ．a 2 4.设函数的取值范围是则若0021,1)(,. 0,,0,12)(x x f x x x x f x >??? ??>≤-=- （ ） A ．(－1，1) B ．(－1，＋∞) C ．),0()2,(+∞?--∞ D ．),1()1,(+∞?--∞ 5.设5.1344.029 .01)2 1 (,8,4-===y y y ，则 （ ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＞y 3＞y 2 6.当x ∈［－2，2)时，y =3－x －1的值域是 （ ） A ．［－ 9 8 ，8］ B ．［－ 9 8 ，8］ C ．( 9 1 ，9) D ．［ 9 1 ，9］ ~ 7.在下列图象中，二次函数y =ax 2 ＋bx ＋c 与函数y =( a b )x 的图象可能是 （ ） 8.若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P= （ ） A ．}1|{>y y B ．}1|{≥y y C ．}0|{>y y D 9.函数21 21 x x y -= +是 （ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数 10.已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 ^ 11.函数1 21 x y = -的值域是 （ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞ 12.函数| x |a )x (f -=(a>1且a 是常数)是 ( ) A ．奇函数且在[0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在[0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在[0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在[0，＋∞]上是减函数 13.满足a a 1a a 1 > 的实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，1 B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(0，1)∪(1，＋∞) 3．函数x 2)x (f =，使f(x)>f(2x)成立的x 的值的集合是 ( ) ） A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞) D ．(0，1) 14.函数x 33y -=的值域是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(27，＋∞) D ．(0，27)2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案
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