14种策略7大模型绝杀排列组合
14种策略7大模型“绝杀”排列组合
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践
证明，掌握模型和解题方法，识别并化归到模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径。
第一部分——组合的常见技巧
策略一：合理分类与准确分步策略
分类相加:每类方法都能独立地完成这件事 ；分步相乘:只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。
【例1】有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是法语译员，另外两名是英、法语均精通，
从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译法语，这两个小组能同时
工作，问这样的8人名单可以开出几张？
【解析】：按只会英语的有4名、3名、2名分类4431422456525524C C C C C C C C ++
【例2】见后面【例19】
【特别提醒】 在解排列组合问题时，一定要以两个原理为核心。按元素的性质分类，按事
情发生的过程分步。综合题通常是整体分类再局部分步。
【类题演练】
1、360的正约数（包括1和360）共有 个。 （答案24）
2、工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，
且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有____种 （答案15）；
3、公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；
另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种 （答案36）；
4、f 是集合{}4,5,6M =到集合{}1,0,1N =-的映射。 （答案①7；②9）
①若(4)(5)f f +(6)f =，则映射共有 个 ； ②若()3xf x +为奇数，则映射共有 个。
5、（2010湖南卷理科7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信
息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相
同的信息个数为（ ） （答案B ）
（A ）10 （B ） 11 （C ）12 （D ）15
6、（2010浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握
力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力”项
目，下午不测“台阶”项目，其余项目上下午都各测试一人，则不同的安排方式共有 种（用数
字作答）。（答案264）
策略二：不同元素可重复的分配求幂法
不同元素重复的分配问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，从不可重复的一类进行分配，“人选一个房间，房间不是住一个人”。
【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）
（A）38（B）83（C）38A（D）38C
【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，因此共有38种不同的结果。所以选A
【类题演练】
1、有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（答案43）
2、有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（答案34）
3、将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？（答案34）
策略三：相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.高☆考♂资♀源€网☆
【例4】五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有
【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4
424
A 种
【类题演练】
1、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____ （答案45
45
A A）；
2、由1，2，3，4，5组成不重复的5位数，1、3之间恰有两个偶数，则有_____ 个。（答案222
222
A A A）
3、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有
多少种？（答案9
9
A）策略四：相离问题（不相邻问题）插空法
元素相离问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例5】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是
52563600A A =种
【例6】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】：先拿出5个椅子排成一排（注意空椅子不排序），在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*
○*（*表示椅子，○表示空）再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 3
4=24种.
【例7】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三
盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：把此问题当作一个排序模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C 种方 法,所以满足条件的关灯方案有10种. （注意亮的灯、不亮的灯均不排序）
【特别提醒】 从这三个例子看得出来，先排的元素和后插的元素都有可能有序，也可能无
序，所以做题时一定要分析清楚。
【类题演练】
1、 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求
两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （答案5256A A ＝3600C ）
2、（1）连续发射8发子弹4发命中，恰有3发连中，有 种命中方式。 （ 答案（1）25A ；）
（2）连续发射8发子弹4发命中，恰有两次2发连中，有 种命中方式。 （ 答案（2）25C ）
策略五：元素优先法（位置优先法） 【分析法】
某个或几个元素要或不要排在指定位置，可先处理这个或几个元素，再排其它的元素（元素优先
法）； 也可针对特殊元素，先把指定位置安排好元素，再排其它的元素（位置优先法）。
【例8】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种
B. 12种
C. 18种
D. 48种
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。2333A 36A =
方法二：元素分析法。分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，
则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.
【特别提醒】 当元素多，但是位置少的时候，“元素分析法”一定要注意特殊元素可能被选
中，也可能不被选中，这时要注意分类。因此这种情况一般选用“位置分析法”。
【类题演练】
1、某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现
有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，
则不同的装饰效果有 种 （答案300）；
2、某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如
2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的
密码共有 种 （答案100）；
3、用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数 个 （答案156）；
4、某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不
同排课方案种数为 （答案6）；
5、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。若恰有两个空盒的放法有 种；
若甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有 种 （答案84；96）；
策略六：多排问题单排法
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
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【例9】把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（ ）
（A ）510515A A （B ）3355510515A A A A （C ）1515A （D ）3355510515A A A A ÷
【解析】本题可看成左、中、右各5人，因此本题可看成15个不同的元素排成一排，共1515A 种♂资♀源€网 ☆
【例10】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排
在后排，有多少种不同排法？
【解析】看成一排，某2个元素在左边四个位置中选排2个，有2
4A 种，某1个元素排在右边的四个位
置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法. 【类题演练】
1、若2n 个学生排成一排的排法数为x ，这2n 个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数为y ，
则x ,y 的大小关系为_____ （答案：相等）；
策略七：环排问题线排法
排成环与排成一排的不同点在于：排成环形没有首尾之分，所以固定一个元素并从此位置把圆形展
成直线。
【例11】 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
【解析】A ——B ——C ——D ——E ——A ，固定A ，其余元素有(51)!4!-=种排法。
策略八：定序问题缩倍法、插空法，空位法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
【例12】五人排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
【解析】：法1（缩倍法）： B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602
A =种； 法2（插空法）：先排好A 、
B ，再把
C 、
D 、
E 逐一插空，即3×4×5=60种
法3（空位法）：5个位置C 、D 、E 先排好，空两个位置AB 来放：3560A =
【类题演练】
1、书架上有3本不同的书，使这些书的顺序不变，再放上2本不同的书，有 种放法 （答案20）；
2、百米决赛有6名运动员，每个运动员速度都不同，则A 比F 先到终点共有_____种情况（答案360）；
3、学号为1，2，3，4的四名学生的成绩{89,90,91,92,93}(1,2,3,4)i x i ∈=且满足1234x x x x <≤<，
则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种 （答案15）；
4、设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8A =，对任意x A ∈，有(1)(2)(3)f f f <<，则映射:f A A →的个数
是_____ （答案3588C ）
； 5、如果一个三位正整数形如“321a a a ”满足2321a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、
363、374等），那么所有凸数个数为_____ （答案240）；
6、离心率等于q p log (其中91,91≤≤≤≤q p 且*
,N q p ∈)的不同形状的的双曲线的个数为_____ （答案26）。
策略九：标号排位问题（不配对问题）分步法
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，
依次即可完成.
【例13】同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b ，则乙无论取a 、c 、d
丙、丁的取法都是唯一的。根据乘法原理，一共有3×3×1×1=9种分配方式。 故选（B ）
【类题演练】
1、五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )
（A ）60种
（B ）44种 （C ）36种 （D ）24种 （答案
B ）
2、编号为1、2、
3、
4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个
的编号与座位号一致的坐法是（ ） （答案B ）
（A ）10种 （B ） 20种 （C ）30种 （D ）60种
3、设有编号为1、2、3、
4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五
个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种 （答案31）
策略十：不同元素的分配问题先分组再排组法（详见模型五）
将不同元素放到某些位置或分给某些人，往往先分成组，再将组排序。但因为各组元素的个数相
等与否，一般分为：平均，不平均，部分平均分配，在用组合数选取元素时，个数平均的组与组之间
已经有序，个数不平均的组与组之间无序，须加序。此外还有定向分配和特殊元素参与的分配。
【例14】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种
【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122
C C C A ??; 第二步将分好的三组分配到3个乡镇，分法有33A 所以满足条件得分配的方案有
211342132236C C C A A ???= 【例15】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有2
4C 种，再排：在四个盒中每次排3个
有34A 种，故共有2344144C A =种. 【类题演练】 （详见模型五）
1、 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不
同的选法种数是（ ） （答案C ）
（A ）1260种 （B ）2025种 （C ）2520种 （D ）5040种
2、某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商
不同的投资方案有（ ）种 （答案D ）
（A ）16种
（B ）36种 （C ）42种 （D ）60种
策略十一：相同元素的分配问题隔板法
对于n 个相同元素分配到m 个位置的问题，可看作是由（m -1）个隔板（或排序，或插空）把n
个相同元素隔成m 段。
【例16】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可在小球的9个空位中插入6
块板，如：○|○○|○|○○|○○|○|。每种插法对应一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C 种.
【例17】 4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有3
4C 种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相
同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、25C 种方法。 3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种
【类题演练】
1、7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问盒子可以空放法有 种 （答案310C ）
2、马路上有9盏路灯，为节约用电，把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两
端的路灯，满足条件的关灯办法有 种。 （答案35C ）
3、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多
分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____ （答案144）
4、把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号
数，则有多少种不同的放法？ （答案1202
16=C 种）
策略十二：“至多”“至少”问题间接法（淘汰法）……正难则反思想
对有限制条件的问题，尤其是“至多”“至少”问题，直接法较难则从总体考虑，再把不符合条件
的所有情况去掉。
【例18】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，至少要甲、乙各一台，则不同的取法有多少种？
【解析】不分条件有39C 种，全是甲34C 种，全是乙35C 种，共有33394570C C C --=种
【类题演练】
1、在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角
形的个数为_____ （答案15）。
策略十三：综合问题先选后排法
有很多排列问题，都是排序前要选元素，按步骤现选后排，比如【例8】、【例14】、【例15】等
【例19】从0-9中选出奇数、偶数各两个，组成不重复的四位数，这样的四位偶数有多少个？
【解析】 法1：第一步：任选两个奇数两个偶数2255C C ； 第二步：排成四位偶数224
554C C A ； 第三步：除去0在首位的偶数2241255445C C A C A - （间接法）
法2：第一类：选0，依然选数再排，注意元素优先123112453425C C A C C A +
第二类：不选0 ，
选数2245C C ，再排数22134523C C C A ，故12311222134534254523C C A C C A C C C A ++ 【类题演练】
1、某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次
品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____ （答案576）。
策略十四：转化与化归法
转化与化归思想是高中四大数学思想之一。很多排列组合问题只按题目表面意思求解，很困难，
如果用化归的思想，换个角度来思考，（一般转化为基本模型问题），往往能收到“山穷水尽疑无路，
柳暗花明又一村”的效果。
【例20 】（2005浙江）设平面坐标内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳
一个单位，经过5次跳动质点落在点(3,0)（允许重复过此点）处，则质点不同的远动方法共有_____
种（用数字作答）．
【解析】不要局限于坐标轴上位置的概念，而应从运动方向上来分析。经过五步后向右运动了3个单位
长度，必定是向右4步向左1步，将4右1左排顺序，如：“右右右左右”。即5种方法．
【例21 】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16
级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】 ：共16级台阶为偶数，故走3级台阶的次数也该为偶数。
第一类：有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
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第二类：有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
法1：看做5个2和2个3排序，如“2232232”，有2721C =。 法2：看做7个相同小球的分配问题，先各放2个小球共14，剩下2个球各选个盒子放，有2721C =。
第三类：有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，方法同上，有2615C =。 故总共有：37种。
【特别提醒】 后面“第二部分-排列组合的常见模型”的练习均可看作是转化与化归策略。
【类题演练】
1、25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,选法有多少种？（答案600）
2、城市街区由12个的矩形组成，其中实线表示马路，则从A 走到B
的最短路径有多少种？ （答案35）
3、欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同
的走法共有( ) （答案C ）
（A ）34种
（B ）55种 （C ）89种 （D ）144种 第二部分——排列组合的常见模型
模型一：排序问题
【例1】（1）7个不同小球排成一排，有多少种排法？ （不同元素排序）
（2）4个相同小球和另外3个不同小球排成一排，有多少排法？（部分相同部分不同元素排序）
A B
（3）4个相同黑球和3个相同白球排成一排，有多少种排法？（多组相同元素排序）
【解析】（1）77A ,但不同元素排序往往有限制（参看模型二、模型三、）；（2）法一：先排不同元素37A ，法二：缩倍法7744A A ； （3）先排一组相同元素37C ，法二：缩倍法774343
A A A 【类题演练】
1、3人坐在一排8个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有 种 （答案：24）；
2、连续发射8发子弹4发命中，有 种命中方式。 （ 答案：48C ）
模型二：站队问题
【例2】 5个男生4个女生站成一排照相，问满足下列要求的排队种数：
（1）任意站成一排 ；（2）平均站成三排； （3）站成一排，甲站中间 ；（4）站成一排，甲不站中间
（5）甲和乙不站两端 ； （6）甲不站头乙不站尾 ； （7）甲和乙站一起 ；（8）甲和乙中间有两人
（9）男生站一起，女生站一起 ； （10）甲和乙不站一起 ； （11）甲乙相邻，乙丙不相邻；
（12）男女相间 ；（13）男生按高矮顺序从左到右站
【解析】（1）全排99A ；（2）多排看成单排99A ；（3）优先法88A ；（4）元素优先法1888C A ；间接法99A -88
A （5）元素(位置)优先法2777A A ;（6）元素优先法88
A （甲站尾）+117
777C C A （甲不站头尾）；（7）相邻问题捆绑法2828A A ;（8）小团体也捆绑法226276A A A ;（9）捆绑452452A A A ；（10）不相邻问题插空法7278A A ；
（11）先捆绑后插空271277A A C ；（12）4545A A ；（13）定序按无序算：缩倍法9595A A ÷或先排有序元素49A 【特别提醒】1、站队的常见限制：“在与不在”；“邻与不邻”；“序与不序”。
2、（5）用间接法时不能只排除甲乙都站在两端的情况，还要除掉有一个站两
端的情况，同样（6）用间接法时也不能只排除甲站头乙站尾的情况。
【类题演练】
1、(2010重庆理科9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，
若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案
共有（ ） （答案C ）
（A ） 504种 （B ） 960种 （C ） 1008种 （D ） 1108种
2、（2010北京卷理科4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）
（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C （答案A ）
3、（2010山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四
位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
（A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种 （答案B ）
4、(2008安徽卷)12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到
前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( ) （答案C ）
（A ）C 82A 32 （B ）C 82A 66 （C ）C 82A 62 （D ）C 82A 52
5、（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且
只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） （答案B ）
（A ） 360 （B ）288 （C ） 216 （D ）96
模型三：排数问题
【例3】 从0、2、3、5、6、7的6个数中选择不重复的数字
（1）能组成多少四位数 ？ （2）能组成多少小于1000的数？ （3）能组成多少四位偶数？
（4）能组成多少被5整除的四位数？被25整除的四位数？ （5）能组成多少被3整除的四位数？
（6）四位数从小到大排列，5307是第几项？ （7）所有四位数的和是多少？
【解析】（1）位置优先1555C A ； （2）6(一位数)+1155C C (两位数)+1255C A (三位数)；
（3）从个位开始35A (选0)+112
244C C A (选2、6)； （4）35A (个位0)+ 1244C A (个位5) ;1133C C (25)+ 24
A (50);（5）要由被3整除、余一、余二的三组数组合214113324223C C A C C A -; （6）从高位开始分析1325C A （千
位）+1224C A （百位）+3（个位）； （7）（2+3+5+6+7）351000A ?+（2+3+5+6+7）1244(100101)C A ?++ 【特别提醒】1、排数问题常用优先法，尤其注意0与首位的特殊关系。
2、如果数字可以重复呢？
【类题演练】
1、（2010四川理）由1、
2、
3、
4、
5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数
是
（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 （答
案C ）
2、(2009浙江卷)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且1和2相邻．这样的六位数的个数是 (用数字作答)． （答案A 22·2A 22·C 51＝40）
模型四：抽取问题
【例4】 5个不同白球和4个不同红球，从中摸3个球
（1）有多少摸法 ？ （2）恰有一个白球的摸法？ （3）至少一个白球的摸法？
（4）至多2个白球的摸法 ？ （5）某白球被抽到，某红球不被抽到的摸法？
【解析】（1）组合39C ； （2）分步1254C C ； （3）直接法：1254C C +2154
C C +35C ；间接法：3394C C - （4）直接法：34C +1254C C +2154
C C ；间接法：3395C C - ； （5）27C 【特别提醒】1、至多、至少问题注意对直接法、间接法合理选择。
2、“至少n 个”问题切忌这样分步：先满足n ,再任意选取。如(3)不能1258C C 。
【类题演练】
1、（2010全国卷I 理科6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若
要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) （答案A ）
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
2、(2009全国卷Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同
的选法共有( ) （答案C ）
(A)6种 (B)12种 (C)30种 (D)36种
模型五：不同元素的分组、分配问题
【例5】 有6本不同的书按下列方式，共有多少种不同的情况？
（1）分成每组都是2本的三个组； （2）分给三人，每个人2本；
（3）分成1本、2本、3本三组； （4）分给三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分成4本、1本、1本三组； （6）分给三人，其中一人4本，其余各一本；
（7）分给4人每人至少1本。 （8）选出5本分给3人，每人至少1本；
（9）分给甲1本，乙2本，丙3本 ； （10）分给甲4本，乙1本，丙1本 ；
（11）平均分给2人，理、化 两本书给了同一人；（12）平均分给2人，理、化 两本书分别给了两人
【解析】：（1）平均分组22264233
C C C A ；（2）平均分配222642C C C ；（3）不平均分组123653C C C ；（4）不平均分配12336533C C C A
；（5）部分平均分组41162122C C C A ；（6）部分平均分配4113621322C C C A A ；（7）3+1+1+1或2+2+1+1 31112211446321642144322322C C C C C C C C A A A A A +;（8）先选后分配31122133632642332222
C C C C C C A A A A +;（9）定向分配123653C C C ;（10）定向分配411621C C C ；（11）特殊元素不平均21322432C C C A ；（12）特殊元素平均1212
2412C C C C
【特别提醒】1、分清组合数乘积是否有序，再由“分配有序，分组无序”加序或消序。
2、处理“至少一本”切忌先各放一本，然后再任意放。如（7）不能做成5165A C 【类题演练】
1、 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不 同的选法种数是（ ） （答案C ）
（A ）1260种 （B ）2025种 （C ）2520种 （D ）5040种
2、将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种 （答案B ）
3、（2010江西卷理科14）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答). （答案1080）
4、 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 （答案D ）
（A ）16种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）60种
排列组合问题的解题策略
排列组合问题的解题策略 排列组合问题的解题策略 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.
四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．3 0 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相
排列组合问题的20种解法
排列组合问题的20种解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 复习巩固分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 44 3
由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆 里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再 与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522 522480A A A =种不同的排法 练习题: 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场 顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5 5A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5 4 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行 排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3
高三复习：排列组合问题的解题方法
排列组合问题的解题方法 一、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑. 例1、在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个． 解1：（元素优先法）根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：① 含0不含5，共有1324C A =48(个)；②含5不含0，共有1334C A =72(个)；③含0也含5，共有112224C C A ＝48(个)；④不合0也不含5，共有4 4 A ＝24(个)．所以，符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个). 解2：（位置优先法）根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步：第一步：排 个位，有14C 种方法；第二步；排首位，有14C 种方法；第三步：排中间两位，有2 4A 种方法．所以符合条件的四位数共有14C 14C 24 A =192(个)． 二、相邻问题“捆绑法”：对于元素相邻的排列问题，可先将相邻元素“捆绑”起来看作一个元素（整体），先与其它元素排列，然后相邻元素之间再进行排列. 例2、6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？ 解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A 55 种，甲、乙二人的排列有A 22 种，共有A 22·A 5 5=240种. 三、不相邻问题“插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可. 例3、用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有 个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”， 共有22232 22234576A A A A A 种. 四、有序问题“无序法”：对于元素顺序一定的排列问题，可先考虑没有顺序元素的排列，然后除以有顺序的几个元素的全排列即可. 例4、3男3女排成一排，若3名男生身高不相等，则按从高到低的一种顺序站的站法有多少种？ 解：6个人的全排列有A 66 种，3名男生不考虑身高的顺序的站法有A 3 3种，而由高到低又可从左到右，或从右到左（这是两种不同的站法），故共有不同站法2A 66÷A 3 3 =240种. 五、分排问题“直排法”：n 个元素分成m （m ＜n ）排，即为n 个元素的全排列. 例5、将6个人排成前后两排，每排3人，有多少种排法. 解：6个人中选3个人排在前排有A C 33 36种，剩下3人排在后排有A 3 3种，故共有
解排列组合问题的17种基本方法(第一课时)
解排列组合问题的17种基本方法(第一课时) 教学目的： 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能使用解题策略解决简单的综合应用题。 提升学生解决问题分析问题的水平 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 教学重点：掌握解决排列组合问题的常用策略;能使用解题策略解决简单的综合应用题。 教学难点：学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 教具：多媒体 教学过程： 一、复习巩固： 1分类、分步计数原理。 2 分类计数原理分步计数原理区别。 3. 解决排列组合综合性问题的一般过程 二、讲练结合： （一）特殊元素和特殊位置优先法. 问题：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？ 练习：7个人排成一排照像，甲不站在中间也不站在两端，问可照多少张不同的照片？ （二）相邻问题捆绑法 问题：7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.？ 练习：停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数（） （三）不相邻问题插空法 问题：7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 练习：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ （四）定序问题倍缩、空位插入法 问题：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 练习：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ （五）多排问题直排法 问题：12个人排成三排，每排4人，问； （1）有多少种不同的排法？ （2）甲只能站在中间一排，乙只能站在最后一排，有多少种不同的排法？ 练习：8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？ （六）重排问题求幂法 问题：把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？ 练习：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法有（）种。 （七）环排问题线排法 问题：5人围桌而坐,共有多少种坐法? 练习：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？ 四、小结： 本节课，我们对相关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就能够选择不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们能够将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。 五、课后作业：作业手册
排列组合解题策略
排列组合解题策略 2.A、36种B、120种C、720种D、1440种 前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C 3.把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为() （A）510515A A （B）3355510515A A A A （C）1515A （D）3355510515A A A A ÷答案：C 4.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法. 5.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？4 9C 解：从0、0、0、1、2、3…100中插入三个隔板即可3103C 。 7.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。 解：在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种 8.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？ 解：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202 16=C 种。 9.(a+b+c+d)15有多少项？
解：当项中只有一个字母时，有种（即 a.b.c.d 而指数只有15故；当项中有2个字母时，有 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即；当项中有3个字母 时指数15分给3个字母分三组即可；当项种4个字母都在时 四者都相加即可．10.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？ 解：1、先从4个盒子中选三个放置小球有3 4C 种方法；2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有23C 、24C 、25C 种方法；3、由分步计数原理可得34C 23C 24C 25C =720种。 11.用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）第11题第12题第13题第14题 12.四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84） 13.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120） 秒杀秘籍：合并单元格解决染色问题 例3.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同 一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。 解：分情况讨论: (ⅰ)当3、4颜色相同且1、5颜色不同时，将3、4合并成一个单元格，此时不同的 着色方法相当于4个元素的全排列数4 4A （ⅱ）当3、4颜色不同且1、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得44A 种着色法． （ⅲ）当3、4与1、5分别同色时，将3、4，1、5分别合并，这样仅有三个单元格,从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有3334A C 种方法．由加法原理知：不同着色方法共有3 334442A C A +=48+24=72（种） 例4.将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端 点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______. 解：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题,如图， 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任 选两种涂A、B、C、D 四点，此时只能A 与C、B 与D 分别同色，故有125460C A =种方法。 (2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B，由于A、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C，而D 与C，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C =种方法。 (3)若恰用五种颜色染色，有55120A =种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论; （3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。54321
超全超全的排列组合的二十种解法
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A 、38 B 、83 C 、38A D 、3 8C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军 看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女 生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1 222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结
教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略 关键词：排列组合,解题策略 ①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答） 解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法, 用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．种B．种
排列组合解题策略大全(十九种模型)
排列组合解题策略大全 一、合理分类与分步 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？ 四位上，则有1 31333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344 =+A A A A （种） 解法二(排除法)：甲在排头：44A ,乙在排尾： 44A ,甲在排头且乙在排尾： 3 3A ,故符合题意的不同的排法为： 5443544378A A A A --+=.注： 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来. 2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有3 8A 方法， 所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有3 83A ④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数4332 88883374088A A A A +++=（种） 二、特殊元素和特殊位置优先法 1、0，1，2，3，4，5能够组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位 先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 3 4A =288 2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440 三、排列组合混合问题先选后排法 1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
排列组合基础知识及解题技巧
排列组合基础知识及习题分析 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 习题 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？ （2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ （3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 3、七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600） （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440） （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120） （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440） （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进 行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入
排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版
1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)! C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+= =-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 知识内容 排列组合问题的常用方法总 结1
排列组合的解题策略 陈莉
排列组合的解题策略陈莉 发表时间：2014-04-01T17:09:56.750Z 来源：《新疆教育》2013年第5期供稿作者：陈莉 [导读] 排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。 重庆市江津区第八中学陈莉 排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。 怎样分析排列组合综合题？使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方式而定，分类来完成这件事时用“分类计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，亦常常需要用不同的方法求解来获得检验。按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。处理排列、组合综合性问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题基本方法和原理，通过解题训要注意积累分类和分步的基本技能。在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：第一，占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5 的5 个小球放进编号为1、2、3、4、5 的5 个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？①仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。②转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5 的学生坐到编号为1、2、3、4、5 的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？ ③解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5 位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2 种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。 这样原题也就得到了解决。④学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）⑤老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。 第二，分组问题例2：从1、3、5、7、9 和2、4、6、8 两组数中分别选出3 个和2 个数组成五位数，问这样的五位数有几个？（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P ）①仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。②转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A 将题目转换如下：从班级的第一组（12 人）和第二组（10 人）中分别选3 位和2 位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？③解决问题：接着我就让同学A 来提出选人的方案同学A 说：先从第一组的12 个人中选出3 人参加其中的3 科竞赛，有P×P 种选法；再从第二组的10 人中选出2 人参加其中2 科竞赛有P×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P×P）×（P×P）（种）。（这时同学B 表示反对）同学B 说：如果第一组的3个人先选了3 门科目，那么第二组的2 人就没有选择的余地。所以第二步应该是 P×P（. 同学们都表示同意，但是同学 C 说太蘩）同学 C说：可以先分别从两组中把5 个人选出来，然后将这5 个人在5 门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P（种）。④老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。 以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。