著名机构初中数学培优讲义角、角平分线.第03讲(A级).教师版

内容

基本要求

略高要求

较高要求

角、角分线

会识别角并会表示；认识角、分、秒，并会进行简单换算；

会度量角的大小并进行简单计算；会比较两个角的大小；了解角平分线的概念并会表示

会尺规作图：作一个角等于已知角，做已知角的角平分线；会用角平分线的性质解决简单问题；会结合图形认识角与角之间的数量关系

一、角的定义

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．

定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始

边，终止位置的那条射线叫做角的终边.

(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：

（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点；

（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.

（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法

① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．

例题精讲

中考要求

角、角平分线

∠AOB

图1.1

注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．

∠A

图1.2

A

注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且

只有一个．

③ 用数字来表示角，如图2.1．

∠1

图2.1

1

③ 用希腊字母来表示角，如图2.2．

∠α

图2.2

α

三、单位换算

1度＝60分(160?=') 1分=60秒(160'=")

四、角的度量

（1）度量角的工具常用量角器

用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角

的另一边所在线的度数）

（2）角的度量单位及其换算

角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系

1周角=360? 1平角＝180? 1直角＝90? 1周角＝2平角 1平角＝2直角

角的分类：

锐角α（090α<

五、两角的和、差、倍、分

（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.

（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法

在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？

六、用尺规做已知角的平分线方法

作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点；

（2）分别以A 、B 两点为圆心，以大于1

2

AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC 。 所以，射线OC 就是所求作的。

O

C

B

A

七、余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.

八、 方位角

方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东??度”、“北偏西??度”、“南偏东??度”、“南偏西??度”，方位角α的取值范围0

900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.

九、 钟表角度问题

时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。 秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示

【例1】角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由

一条射线 ．

【解析】略

【答案】公共端点 公共端点 绕端点旋转而得到的图形

【例2】下列语句正确的是（ ）

①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。 ④两条射线组成的图形叫做角

A ①、②

B ①、③

C ①、④

D ②、③ 【解析】略

【答案】A

【例3】如图，角的顶点是 ，边是 ，

用三种方法表示该角分别为 ．

αB

A

O

【解析】略

【答案】O ；OA ，OB ；AOB ∠，α∠，O ∠．

【巩固】 在右图中，角的表示方法正确的是（ ）

A ．A ∠

B ．B ∠

C ．C ∠

D ．D ∠

A

B

C D

E

O

【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角，本题选B ．

【答案】B

【巩固】 如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?

D C

E

B

A

【解析】略

【答案】以B 为顶点的角有3个：ABE ∠，ABC ∠，EBC ∠

以D 为顶点的角有4个：ADE ∠，ADB ∠，BDC ∠，CDE ∠

【例4】下图中，以A 为顶点的角是_________。有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个。

H

G

F

E

D

C

B A

【解析】按照约定，我们讨论的角都是小于平角的角。 【答案】以A 为顶点的角有：BAE BAD EAD ∠∠∠，，；

一边与射线FD 在同一条直线上的角有10个

【例5】判断

（ ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角． （ ）用2倍的放大镜看30?的角，这个角就变成了60?． （ ）由两条射线组成的图形叫做角． （ ）延长一个角的两边．

（ ）平角就是一条直线；周角就是一条射线． 【解析】略

【答案】×；×；×；×；×．

二、角的分类

【例6】下列语句正确的是（ ）

A 、平角就是一条直线

B 、周角就是一条射线

C 、小于平角的角是钝角

D 、一周角等于四个直角 【解析】答题时首先理解角的概念，然后对各选项进行判断． 【答案】平角是一个点和两条射线组成，故A 错误，

角度和射线不是同一个概念，故B 错误， 小于平角的角不一定是钝角，故C 错误， 一周角等于360°，一直角等于90°，故D 正确， 故选D ．

【点评】本题主要考查角的概念，不是很难．

【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（ ）

A 、4个

B 、5个

C 、6个

D 、7个

【解析】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答．

【答案】图中角除∠BDC 为平角外，∠B 、∠C 、∠BAD 、∠BAC 、∠DAC 、∠BDA 、∠CDA 均为小于

180°的角．共七个．故选D．

【点评】先利用三角形的性质，确定三角形的每个内角都小于180°，再根据角的定义数出角的个数即可．但要注意顶点为A的角有3个．

【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）

A、4个

B、7个

C、9个

D、10个

【解析】当AO为角的一边时，有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有小于平角的角．

【答案】小于平角的角为：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9个，故选C．

【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．

【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）

A、10个

B、15个

C、20个

D、25个

【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示．

【答案】在该题中，以A、B、C、D、E为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用一个大写字母表示；以F、G、H、M、N为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示．故选C．

【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所有角，做到不漏数、不多数．

【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．

A、4，3

B、3，2

C、6，3

D、4，2

【解析】根据直角、锐角、钝角的概念来解．∠CAE=90°，通过角的运算，得出结果． 【答案】∵∠CAE=90°，∴∠FAB+∠BAC=90°，∠CAD+∠DAE=90°，

∴∠FAB ＜90°，∠BAC ＜90°，∠CAD ＜90°，∠DAE ＜90°，锐角有四个， ∴∠FAD ＞90°，∠BAE ＞90°，故钝角至少有两个，∠BAD 不能确定．故选D ．

【点评】本题关键是要做到不重复不遗漏的数出角的数量，同时一定要注意∠BAD 不能确定，故不能计算

在内．

三、角度的换算及运算

【例11】（1）32.43__________'''?=?

（2）654312_____'''?=?

【解析】（1）首先在第一个空上填上32，然后计算(32.4332)0.43?-?=?，0.430.436025.8''?=?=，

25.8250.8'''-=，0.86048''''?=32.43322548'''?=?

（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，12600.2'''÷=，430.243.2'''+=，

43.2600.72'÷=?，65431265.72'''?=?．

【答案】（1）322548'''?；（2）65.72?

【巩固】 （1）51492421________''?+?=；（2）39412445__________''?-?=；

（3）2313423_________'''??=；（4）12134________'?÷=．

【解析】（1）5149242175707610''''?+?=?=?；（2）394124453810124451456'''''?-?=?-?=?；

（3）231342369416''''''??=?； （4）121343315''''?÷=? 【答案】（1）7610'?；（2）1456'?；（3）69416'''?；（4）3315'''?

【例12】（1）2020'4______??=。（2）4437'3______?÷= 【解析】（1）原式8080'8120'=?=?

（2）先将度、分、秒的量数都化成3的倍数：

4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''?=?+?=?++=?++=?

【答案】（1）8120'?；（2）1452'20''?

【巩固】 （1）77423445______''?+?=； （2）108185623_______''?-?=；

（3） 180(34542133)_______''?-?+?=；（4）23295837______'''?+?=；

（5）513932532______''''?-?=； （6） 135********______''??+?÷= （7）57.32_________'''?=?； （8） 122342_______'''?=? 【解析】（1）7742344511227'''?+?=?； （2）1081856235155'''?-?=?；

（3）180(34542133)12333'''?-?+?=?；（4）23295837812937''''''?+?=?；

（5）513932532193328'''''''?-?=?； （6）13533157435731136'''''??+?÷=?； （7） 57.3257 19 12'''?=?； （8）12234212.395'''?=? 【答案】（1）11227'?；（2）5155'?；（3）12333'?；（4）812937'''?；

（5）193328'''?；（6）731136'''?；（7）57 19 12'''?（8）12.395?

【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个

A ．4个

B ．7个

C ．11个

D ．16个

【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515?-?=?，而其它角都是15?的倍数．所以在小

于平角的范围内，能画出确定度数的角有153045607590105120135150165???????????，，，，，，，，，，共11个，故选C ．

【答案】C

【例14】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．

1

23A

B

C D O

【解析】设1x ∠=，23x ∠=，32x ∠=，根据题意有32180x x x ++=?，30x =?，120DOB ∠=?． 【答案】120?

四、余角和补角

【例15】如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互

补的角有_________对；

F

E

D

C

B A

O

【解析】3；2

由题意可知90AOF FOE ∠+∠=?，所以与AOF ∠互余的角必与FOE ∠相等。 由题中条件可知FOE ∠=BOD BOC ∠=∠，所以余角有3个；

AOF ∠的补角为,EOB ∠所以与AOF ∠互补的角必与EOB ∠相等。

【答案】3；2

【巩固】 如图，O 是直线AB 上的一点，120AOD ∠=?，90AOC ∠=?，OE 平分BOD ∠，则图中彼此互补

的角共有______对．

A

B

C D

E

O

【解析】根据题意可得：30BOE EOD DOC ∠=∠=∠=?，60BOD EOC ∠=∠=?等，

互补的角只满足和为180?这个数量关系即可，与位置无关． 所以共有6对：

AOE ∠与BOE ∠，AOE ∠与EOD ∠，AOE ∠与DOC ∠，

AOD ∠与BOD ∠，AOD ∠与EOC ∠，AOC ∠与BOC ∠．

【答案】6

【例16】如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）

A ．12BOC AOC ∠-∠

B ．13

22BOC AOC ∠-∠

C ．1()2BOC AOC ∠-∠

D ．1

()3

BOC AOC ∠+∠

A C

O

【解析】选C ．111

90()()222

AOC AOB AOC AOC BOC AOC BOC AOC ?-∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠-∠

【答案】C

【例17】一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是

【解析】设这个角为α，则根据题意可知有5

904

αα=?-，

解得50α=?， 所以它的补角为18050130?-?=?。 【答案】130?

【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．

【解析】设这个锐角为x 度，根据题意可列方程：1

(90)(180)1802

x x x +?-+?-=?，得60x =?．

【答案】60?

【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60?，求这个角的余角度数． 【解析】设这个角为x ，则它的补角和余角分别为180x ?-和90x ?-，

(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ?-+?--?--?-=?，所以60x =?，

所以这个角的余角的度数为30?

【答案】30?

【巩固】 一个角a 与50?角之和的

1

7

等于65?角的余角，求a ． 【解析】1

(50)90657

a +?=?-?，125a =?．

【答案】125?

【巩固】 已知α的余角是β的补角的13

，并且3

2βα=，试求αβ+的度数．

【解析】根据题意可得：190(180)3αβ-=?-，1303αβ-=，且3

2

βα=，60,90,150αβαβ==+=（度）．

【答案】150?

【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半。 【解析】略

【答案】设两角分别为()αβαβ<，

，则180αβ+=?． ∴较小角的余角()()111

90180222

αααβαβα?-=??-=+-=-

∴原结论成立。

五、角平分线

【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线． （填“正确”或“错误”） 【解析】根据角平分线的定义可知，此话是错误的．

【答案】根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线。

答案为错误．

【点评】主要考查了角平分线的定义．定义：从一个角的顶点出发，把它分成相等两个角的射线叫做这个

角的平分线．

【例22】如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠COB ，若∠EOB=55°，则∠BOD 的度数是（ ）

A 、35°

B 、55°

C 、70°

D 、110°

【解析】利用角平分线的定义和补角的定义求解．

【答案】OE 平分∠COB ，若∠EOB=55°，∴∠BOC=55+55=110°，∴∠BOD=180﹣110=70°．故选C ． 【点评】本题考查了角平分线和补角的定义．

【例23】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠BOC=80°，则∠AOE 的度数是（ ）

A 、40°

B 、50°

C 、80°

D 、100°

【解析】根据角平分线的定义计算．

【答案】∵∠BOC=80°，∴∠AOD=∠BOC=80度．∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠AOD=°×80°=40度．故填A．

【点评】角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查．

【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE 的平分线，则∠CBD=（）

A、80°

B、90°

C、100°

D、70°

【解析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．

【答案】因为将顶点A折叠落在A′处，所以∠ABC=∠A′BC，又因为BD为∠ABE的平分线，所以∠ABD=∠DBE，因为∠ABC+∠A′BC+∠ABD+∠DBE=180°，所以∠CBD=90°．故选B．

【点评】本题是角平分线性质及平角的性质的应用．

【例25】如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC的度数为（）

A、68°

B、112°

C、121°

D、136°

【解析】BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，且∠A=44°，根据三角形内角和定理结合角平分线定义，即可得出∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB），在△BDC中，根据三角形内角和定理即可得出∠BDC．

【答案】根据题意，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=44°，

所以有∠CAD+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）=68°，在△BCD中，即有∠CAD+∠DCA=68°，所以∠BDC=180°﹣68°=112°．故选B．

【点评】本题主要考查的是三角形的内角和定理和三角形的角平分线定理．

【例26】下列说法正确的是（）

A、两点之间直线最短

B、用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大

C、将一个角分成两个角的射线叫角的平分线

D、直线l经过点A，那么点A在直线l上

【解析】分别判断每个选项的正确性，注意直线是没有长度的．

【答案】（1）对于A选项，直线没长度，故A错误．

（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误．

（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误．

（4）直线过A点，则A一定在直线上．

综上可得只有D 正确．故选D ．

【点评】本题考查线段和直线的知识，属于基础题，关键在于掌握直线和线段的定义．

六、方位角

【例27】下面图形中，表示北偏东60?的是（ ）

60?

A

东

西

北南

B

西

北

南

60?

C

东

西

北南

60?

D

东

西

北

南

【解析】略

【答案】C

【巩固】 下列说法不正确的是（ ）

A ．OA 方向是北偏东30?

B ．OB 方向是北偏西15?

C ．OC 方向是南偏西25?

D ．OD 方向是东南方向

东

【解析】略

【答案】A ．

【例28】如图，平面内有两点A B ，

（1）分别画出点A 处北偏东70?的方向和点B 处北偏西40?的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1?）

B

A

【解析】略

【答案】（1）如图，射线AC 表示点A 处北偏东70?的方向，射线BD 表示点B 处北偏西40?方向。

（2）如图，连接AB ，测得34α∠≈?，所以点A 位于点B 南偏西45?方向．

【例29】如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．

为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CO DE 相交于O ，90COD ∠=?，请按要求完成下列问题：

①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=?，则可知场馆B 的位置是北偏西36?，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36?）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；

③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．

东

西北

【解析】略

【答案】①20mm ，北偏东54?；②90?；③AOE ∠，BOC ∠．

七、共定点角的相关计算

【例30】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，

射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．

A

B

C D

E

O 图2

F E B

【解析】略

【答案】COE ∠和BOE ∠互余，所以90AOC BOC ∠=∠=?

111

222

DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠

AOF BOD AOC EOF BOD ∠+∠=∠+∠+∠3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠

【巩固】 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=?，求

EOF ∠．

A B

C

D

E F

O

【解析】28AOC DOE BOD ∠=∠=∠=?，

(1802828)262EOF ∠=?-?-?÷=?．

【答案】62?

【例31】如图所示，80AOB ∠=?，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，

试求DOE ∠的度数．

E

D

C B

A

O

【解析】因为OD 是BOC ∠的平分线，所以1

2

DOC BOC ∠=∠，

同理可得1

2

COE COA ∠=∠

所以DOE DOC COE ∠=∠+∠11

22

BOC COA =∠+∠

11()22BOC COA AOB =∠+∠=∠1

80402

=??=?． 【答案】040

【例32】如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠

GCB FCG =∠-∠10=?，求GCB ∠的度数．

G

A B C D

E 图2F

【解析】设ACD x ∠=，则有：10DCE x ∠=+?，20ECF x ∠=+?，30FCG x ∠=+?，40GCB x ∠=+?．

所以5100180x +?=?，16x =?，56GCB ∠=?

【答案】56?

【例33】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．

①若100AOC ∠=?，40BOC ∠=?， 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=?，求EOF ∠的度数并说明理由．

O

C F

E B

A

【解析】略

【答案】①∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠（已知）

∴12EOC AOC ∠=∠， 1

2

FOC BOC ∠=∠（角平分线定义）

∵100AOC ∠=?，40BOC ∠=?（已知）

∴1100502EOC ∠=??=?， 1

40202

FOC ∠=??=?（等量代换）

∵502030EOF EOC FOC ∠=∠-∠=?-??＝（等量代换）

②∵OE 平分AOC ∠（已知） ∴AOE EOC ∠=∠（角平分线定义） ∵EOC EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠

∴AOE EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠（等量代换） ∵OF 平分BOC ∠（已知） ∴BOF FOC ∠=∠（角平分线定义） ∵AOB AOE EOB ∠=∠+∠

∴2AOB EOB BOF EOB ∠=∠+∠+∠ 2AOB BOF EOB ∠=∠+∠（）

（等量代换） ∵EOB BOF EOF ∠+∠=∠，AOB n ∠=?（已知）

∴11

22EOF AOB n ∠=∠=?（等量代换）

即：1

2

EOF n ∠=?

【例34】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠．

（1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数； （2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；

（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明

理由．

（4）从前三问的结果你发现了什么规律？

C N

B M

A

O

【解析】略

【答案】（1）900602

MON ∠==°+3?

°；

（2）302MON α+∠=o ； （3）902MON β+∠=o

；（4）2

AOB BOC

MON ∠+∠∠=.

【例35】已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=?，4136'BOC ∠=?，求AOC ∠.

【解析】注意分情况讨论，容易的到答案：4324'?或12636'?.

【答案】4324'?或12636'?

【巩固】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=?，20BOC ∠=?，求AOC

∠的度数. 【解析】 注意分类讨论，为80?或40?. 【答案】80?或40?

【例36】已知αβ，都是钝角，计算

()1

6

αβ+，正确的结果只可能是（ ） A ．26? B ．40? C ．72? D ．90?

【解析】根据题意9018090180αβ?<

∴()1

30606

αβ?<+

【答案】B

【巩固】α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1

()15

αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23?、24?、25?这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．

【解析】00909090180αβγ++<++<++ 1

6()2415αβγ<++<

所以23?答案正确．

【答案】23?

【例37】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5?，

10AOD ∠=?，求AOC ∠的度数. 【解析】因为AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5?，所以AOC ∠小于AOB ∠；

（1）射线OC 在AOB ∠的外部，如图（1），设 ,AOC x AOB y ∠=∠=，根据题意有 3251

()102

x y x y x -=??

?+-=??， 解得：45

65x y =??=?

，即45AOC ∠=?

（2）射线OC 在AOB ∠的内部，如图（2），设AOC x AOB y ∠=∠=，，根据题意有 325

1

()102

x y x y x -=??

?++=??，解得：911x y =??=?，即9AOC ∠=?

图（1）

D C

B

A

O

图（2）

D

C

B

A

O

【答案】45?或9?

【例38】以AOB

∠的顶点O为端点引射线OC，使得:5:4

AOC BOC

∠∠=，且AOC

∠，BOC

∠均小于180?，若30

AOB

∠=?，求AOC

∠的度数.

【解析】如图（1），52

30(16)1640'

93

AOC

∠=??=?=?；

如图（2），530150

AOC

∠=??=?

如图（3），

51

(36030)(183)18320'180

93

AOC

∠=??-?=?=?>?，舍去

图（1）

C

B

A

O

图（2）

C

B

A

O

图（3）

C B

A

O

【答案】1640'

?或150?

八、钟表角度问题

【例39】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）

A、30

B、60°

C、90°

D、120°

【解析】时针1小时走1大格，1大格为30°．

【答案】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（6﹣3）×30°=90°，故选C．

【点评】解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数．

【例40】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（）

A、90°

B、105°

C、120°

D、135°

【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30度．

【答案】∵1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°，∴3.5个小时的角度为30°×3.5=105°．故选B．

【点评】本题主要考查角度的基本概念．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动

1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．

【例41】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 【解析】出图形，利用钟表表盘的特征解答． 【答案】点15分，分针指在数字3上，分针水平，

当2点30分时，分针指在数字6上，分针垂直于水平时的分针，故分针转的角度是90°； 解法2：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°， 从2点15分到2点30分分针转过了三份，转过的角度为3×30°=90°．故选D ．

【点评】所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动

（

）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．

【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60?的角？分别是几点几分？ 【解析】共有4次时针与分针夹成60?的角.

（1）第一次正好为2点整.

（2）第二次设为2点x 分时，则101012x x =+

+，解得92111x =. （3）第三次设为3点y 分时，则101512y y +=+，解得5

511y =.

（4）第四次设为3点z 分时，则151012z z =++，解得3

2711z =

【答案】4次成60?角，分别是：2点整；2点92111分；3点5511

分；3点3

2711分．

【例43】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值

是多少?

【解析】因为秒针，分针，时针的速度分别是360度/分，6度/分，0.5度/分，显然x 的值大于1而小于2，

则有6360(1)360(1)0.5,x x x x --=--解得:1440.1427x =故x 的值是

1440

1427

分钟. 【答案】1440

1427

1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的

11

12

，求这个角． 课后作业

【解析】设这个角为x ，则11

(180)3(90)36012

x x ?-+?-=??

解得30x =?， 即这个角为30?．

【答案】30?

2.下列图形中，表示南偏西60?的是（ ）

60?

A

东

西

北

南

60?

B

东

西

北

南

60?

C

东西

北南 60?D

东

西

北

南

【解析】略 【答案】D

3.下列说法中，正确的是（ ）

A 、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线

B 、两个锐角的和为钝角

C 、相等的角互为余角

D 、钝角的补角一定是锐角

【解析】根据锐角、钝角、角平线的概念，分析各选项后判断，排除错误答案．

【答案】A 、应为分成两个相等的角，故错误；

B 、反例：10°+20°=30°＜90°，故错误；

C 、两个角之和为90°时才互余，故错误；

D 、钝角的补角一定是锐角，故正确． 故选D ．

【点评】正确理解锐角，钝角的概念才能正确作出判断．

4.一个角的余角的2倍和它的补角的

1

2

互为补角，求这个角的度数． 【解析】设这个角的度数为x ，则它的余角为90x ?-，补角为180x ?-，由题意，得：

1

2(90)(180)1802

x x ?-+?-=?，解得：36x =?．

【答案】36?

5.已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？

【解析】设这个锐角为x 度，根据题意可列方程：(180)6(90)x x -=?-，72x =． 【答案】72?

6.如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=?，10BOC ∠=?，求AOD ∠的小．

N

M

A

B C D

O

A

D E

图1

F

【解析】22501090AOD MON BOC ∠=∠-∠=??-?=?； 【答案】90?