幂级数测试题
第十四章幂级数
单选题：1设幂级数的收敛半径为R ，
则下列断语中正确的是
（A）在上一致收敛。
（B）在内某些点处非绝对收敛。
（C）的收敛半径大于。
（D）对任意的，在上一致收敛。
．2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数
(A)在处发散；(B)在处收敛；
(C)收敛区间为; (D)当时发散。
3．幂级数级数的收敛域是
(A) (B)
(C) (D)
4．若幂级数的收敛半径为R,那么
(A), (B) ,
(C), (D)不一定存在 .
5．如果能展开成的幂级数，那么该幂级数
(A) 是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；
(C)不是的麦克劳林级数；(D) 是在点处的泰勒级数。
6. 如果,则幂级数
(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；
(C) 当时,发散；(D) 当时,发散
7..设级数在处是收敛的，则此级数在处
(A)发散；(B)绝对收敛；
(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
8幂级数在其收敛区间的两个端点处
A 全是发散的. B. 全是收敛的
C. 左端点发散, 右端点收敛. D 左端点收敛, 右端点发散
9. 函数展开成的幂级数的方法是
.
10. 幂级数的收敛域为
答案: 1—10 DDBDA ADDDA
填空题：1. 若幂级数在内收敛, 则应满足__________.
2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间
为__________.
3.级数的和函数为_________.
4. 设是一等差数列, 则幂级数收敛
域是__________.
5. 与有相同的___________.
6. 的幂级数展开式_________________.
7. 幂级数只有在___________区间内才有和函数.
8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.
9. 的幂级数表达式____________.
10. 级数在区间_________收敛.
答案： 1. .
4. ( -1, 1)
5. 收敛区间.
. 6.
7. 收敛. 8. 收敛半径. 9.
计算题
1.求幂级数的收敛域及和函数.
2. 求幂级数的收敛域及和函数.
3. 求幂级数的收敛半径与收敛域
( 1)
4. 将函数展开为的幂级数, 并指出收敛域.
5. 求函数在x=1处泰勒展开式.
6. 设幂级数当时有且求该幂级数的函数.
7. 将展成x的幂级数.
8. 求幂级数的和函数.
9. 试求幂级数的收敛区域及和函数
10. 设，确定的连续区间，并求积分的值
答案: 1. 解因且当时级数都发散, 故该级数的收敛域
为( -1, 1 ), 令, 则
,
.
2. 解: 收敛半径, 当时, 原级数发散, 故原级数的收敛域为( -1, 1 ). 设其和函数为,
3. ( 1 ) 解记, 由于
, 故收敛半径R=1, 收敛区间为( -1, 1 )
当时, 由于, 故级数发散, 所以该级数的收敛域为( -1, 1 ) .
( 2 ) 解记因为
所以收敛半径R=1, 收敛域为[ -1, 1 ].
4. 解
而
而级数与的收敛域都是[ -1, 1 ], 故当时
5. 解因
.
6. 设和函数则
即.
解上述关于的二阶微分方程, 得.
7. 解易看出, 而
两边求导, 得.
8.级数的和函数为
9. 由于级数在上收敛，
所以当时，有
10. 因为幂级数的收敛域是，所以
在上的连续，
且可逐项积分。
.
证明题： 1. 设在内收敛, 若也收敛, 则
.
2. 设f为幂级数在( -R, R ) 上的和函数, 若f为奇函
数, 则原级数仅出现奇次幂的项, 若 f 为偶函数, 则原级数仅出现偶次幂的
项.
3. 设函数定义在[ 0, 1]上, 证明它在(0, 1 ) 满足下述方程:
4. 设证明当时, 级数收敛.
5.设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数
绝对收敛。
6. 设，求证：
其中
7. 设，，。证明：当时，满足方程。
8. 若幂级数的收敛半径为R(>0), 且在(或时收敛, 则级数在[ 0, R]
( 或[-R, 0 ] )上一致收敛.
9. 设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M, 对一切, 有, 证
明: 对内任一点与有
.
10. 证明: 满足方程.
答案: 1. 证明: 因为当收敛, 有
又当时, 收敛, 从而可知在左连续,于是.
2. , ,
当为奇函数时, 有, 从而
,
这时必有.
当为偶函数时, 有
此式当且仅当.
3.证明: 设则
.
所以
故. 0 4. 因为 所以, , 取极限得到, 从而级数的收敛半径 故时, 级数收敛. 5. 对于任意，由于， 所以，绝对收敛。 又 所以绝对收敛。 6. 时, ， ， 故 从而 7. 由于，幂级数的收敛半径是1， 所以当时，可微， 且 故 即满足方程。 8. 证明: 设级数在时收敛, 对于有 = 已知级数收敛, 函数列在上递减且一致有界, 即 由阿贝耳判别法知, 级数在上一致收敛. 9. 证: 对由于 , 所以. 10.证: 因幂级数的收敛区间为, 它可以在内逐项微分任意次, 从而, , 将代入有 . 幂的运算 1．填空： （1）-23的底数是，指数是，幂是. （2） a5·a3·a2= 10·102·104= （3）x4·x2n-1= x m·x·x n-2= （4）(-2) ·(-2)2·(-2)3= （-x)·x3·(-x)2·x5= (x-y)·(y-x)2·(x-y)3= （5）若b m·b n·x=b m+n+1 (b≠0且b≠1)，则x= . （6） -x·( )=x4 x m-3· ( )=x m+n 『检测』 1．下列运算错误的是（） A. (-a)(-a)2=-a3 B. –2x2(-3x) = -6x4 C. (-a)3 (-a)2=-a5 D. (-a)3·(-a)3 =a6 2．下列运算错误的是（） A. 3a5-a5=2a5 B. 2m·3n=6m+n C. (a-b)3 (b-a)4=(a-b) D. –a3·(-a)5=a8 3．a14不可以写成（） A.a7+a7 B. a2·a3·a4·a5 C.(-a)(-a)2·(-a)3·(-a)3 D. a5·a9 4．计算： （1）3x3·x9+x2·x10-2x·x3·x8（2）32×3×27-3×81×3 同底数幂的乘法 『基础过关』 1．3n·(-9)·3n+2的计算结果是（） A．-32n-2 B.-3n+4 C.-32n+4 D.-3n+6 2．计算(x+y-z)3n·(z-x-y)2n·(x-z+y)5n (n为自然数)的结果是（） A.(x+y-z)10n B.-(x+y-z)10n C. ±(x+y-z)10n D.以上均不正确 『能力训练』 3．计算： （1） (-1)2m·(-1)2m+1 （2）b n+2·b·b2-b n·b2·b3 （3）b·(-b)2+(-b)·(-b)2（4）1000×10m×10m-3 （5）2x5·x5+(-x)2·x·(-x)7 （6）(n-m)3·(m-n)2 -(m-n)5 （7）(a-b)·(a-b)4·(b-a) （8）(-x)4+x·(-x)3+2x·(-x)4-(-x)·x4 《幂的运算》练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m（3）a2m=（-a2）m（4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a及b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n及b n B、a2n及b2n C、a2n+1及b2n+1 D、a2n﹣1及﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20；④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 6、若ａ2n+1·ａx=ａ3那么x等于( ) A.n+2 B.2n+2 C.4-n D.4-2n 二、填空题 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n= _________ ． 8、(ｘ-ｙ)2n+1·(ｘ-ｙ)2n+1=(ｙ-ｘ)2·(ｘ-ｙ)( )= (ｘ-ｙ)n+4·(ｘ-ｙ)( )。 9、ａ·ａ30+(-ａ)32= ａ( )+ (-ａ)·(-ａ)31=(1+ａ)·( ) 31。 10、已知10a=3，10β=5，10γ=7，试把105写成底数是10的幂的形式_________ ． 三、解答题 11、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值． 12、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 13、已知25m?2?10n=57?24，求m、n． 14、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 15、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 16、比较下列一组数的大小．8131，2741，961 17、若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值． 幂的运算测试题 一、选择题 1、下列计算正确的是（ ） A 、x 3+ x 3=x 6 B 、x 3÷x 4=x 1 C 、(m 5)5=m 10 D 、x 2y 3=(xy)5 2、81×27可以记为（ ） A 、93 B 、36 C 、37 D 、312 3、a 5可以等于（ ） A 、（-a ）2·(-a)3 B 、(-a)·(-a)4 C 、(-a 2)·a 3 D 、(-a 3)·(-a 2) 4、若a m =6，a n =10，则a m-n 值为（ ） A 、-4 B 、4 C 、 5 3 D 、35 5、计算- b 2·（-b 3）2的结果是（ ） A 、-b 8 B 、-b 11 C 、b 8 D 、b 11 6、下列运算正确的是（ ） A 、x 3+2x 3=3x 6 B 、(x 3)3=x 6 C 、x 3·x 9=x 27 D 、x ÷x 3=x -2 7、在等式a 2·a 3·( )=a 10中，括号内的代数式应当是（ ） A 、a 4 B 、a 5 C 、a 6 D 、a 7 8、 (a 2)3÷(-a 2)2=( ) A 、- a 2 B 、a 2 C 、-a D 、a 9、若n 是正整数，当a=-1时，-(-a 2n )2n+1等于（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、1或-1 10.计算 3112)(n n x x x +-??的结果为( ) A.33+n x B.36+n x C.n x 12 D.66+n x 二、填空题 1、（2 1）-1= ，（-3）-3= ，（π-3）0 ，(-21)100×2101= 。 2、x 2·( )=x 6, x 2·x 3-x 6÷x= (m 2)3÷(m 3)2= 。 3、32÷8n-1=2n ，则n= 4、如果x+4y-3=0，那么2x ·16y = 5、一个长方体的长、宽、高分别为a 2，a ，a 3，则这个长方体的体积 是 。 6、（-43）-2= ，8 1=（ ）-3。 7、[(a 4)3]2= a 6=( )3,-(2ab 2)3= 。 第8章 幂的运算 单元综合卷(B) 一、选择题。(每题3分，共21分) 1．31m a +可以写成 ( ) A ．31()m a + B ． 3()1m a + C ．a ·a 3m D ．(m a )21m + 2．下列是一名同学做的6道练习题：①0(3)1-=；②336a a a +=；③5()a -÷3()a -= 2a -；④4m 2-=214m ；⑤2336()xy x y =；⑥225222+=其中做对的题有 ( ) A ．1道 B ．2道 C ．3道 D ．4道 3．2013年，我国发现“H 7N 9”禽流感，“H 7N 9”是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0．00000012 m ，这一直径用科学记数法表示为 ( ) A ．1．2×109- m B ．1．2×10 8-m C ．12 X 108-m D ．1．2×107- m 4．若x 、y 为正整数，且2x ·2y =25；，则x 、y 的值有 ( ) A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对 5．若x <一1。则012x x x --、、之间的大小关系是 ( ) A ．0x > 2x -> 1x - B ．2x ->1x ->0x C ．0x >1x ->2x - D ．．1x ->2x ->0x 6．当x =一6，y =16 时，20132014x y 的值为 ( ) A ．16 B ．16 - C ．6 D ．一6 7．如果(m a ·n b ·b )3=915a b ，那么m 、n 的值分别为 ( ) A ．m =9，n =一4 B ．m =3，n =4 C ．m =4，n =3 D ．m =9，n =6 二、填空题。(每空2分，共16分) 用幂级数展开式求极限 极限理论是微积分理论的基础，极限是一个非常重要的概念，它是深入研究一些实际问题的重要工具．求函数极限的方法很多，幂级数法是其中之一． 例1 求极限21 lim[ln(1)]x x x x →∞-+． 解 因为 212111111 ln(1)(1)()23n n x x x x n x ---+=-?+???+-??+???， 所以 22111111 ln(1)(1)()23n n x x x x n x --+=-?+???+-??+???， 因此 21 lim[ln(1)]x x x x →∞-+ 211111 lim[(1)()]23n n x x n x -→∞=-?++-??+ 2 1=． 例2 利用幂级数展开式，求极限30sin lim tan x x x x →-． 解 由于x sin 在0=x 处的幂级数展开式为 3521sin (1)3!5!(21)! n n x x x x x n +=-+-???+-+???+，x -∞<<+∞ 又当0→x 时，tan ~x x ，因此 35 33 00()sin 1 3!5!lim lim 6 tan x x x x x x x x x x →→--+- -== ． 例3 求极限2242lim()333 n n n →∞++???+． 解 设 2242333 n n n S = ++???+， 作幂级数1 23n n n n x ∞ =∑ ，设其和函数为()S x ，即 12()3 n n n n S x x ∞ ==∑ ， 由 12 1 1 (1) n n nx x ∞ -== -∑，1x < 得 11 1)3(3232)(-∞=∞ =∑∑==n n n n n x n x x n x S 221 3(1)3 x x =-，13x < 由此可得 23 )3 11(1323 2)1(2 1=-==∑ ∞ =n n n S ， 因此 22423 lim()33 32 n n n →∞+++ =． 幂的运算综合练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2； （4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C、错误！未找到引用源。 D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20；④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算：x2?x3= _________ ；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________ ． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n= _________ ． 三、解答题 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。 9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 11、已知25m?2?10n=57?24，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 1 幂的运算培优测试卷 (时间：90分钟总分：100分) 一、填空题(每空2分，共22分) 1．计算：a2·a3＝_______；2x5·x－2＝_______；－(－3a)2＝_______．2．(ab)4÷(ab)3＝_______． 3．a n－1·(a n＋1)2＝_______． 4．(－3－2)8×(－27)6＝_______． 5．2(x3)2·x3－(3x3)3＋(5x)2·x7＝_______． 6．若3x＋2＝n，则用含n的代数式表示3x为_______． 7．(1)20÷(－1 )－2＝_______． 3 (2)(－2)101＋2×(－2)100＝_______． 8．过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少10%的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳3 120 000 t，把3 120 000用科学记数法表示为_______． 二、选择题(每题2分，共22分) 9．计算(a3)2的结果是( ) A．a6B．a9 C．a5D．a8 10．下列运算正确的是( ) A．a·a2＝a2 B．(ab)3＝ab3 C．(a2)3＝a6 D．a10÷a2＝a5 11．计算4m ·8n 的结果是 ( ) A ．32m ＋n B ．32m －n C ．4m ＋2n D ．22m ＋3n 12．计算(125)－4×513的结果为 ( ) A ．2 B ．125 C ．5 D ． 125 13．下列各式中，正确的是 ( ) A ．(－x 3)3＝－x 27 B ．[(x 2)2]2＝x 6 C ．－(－x 2)6＝x 12 D ．(－x 2)7＝－x 14 14．等式－a n ＝(－a)n (a ≠0)成立的条件是( ) A ．n 是偶数 B ．n 是奇数 C ．n 是正整数 D ．n 是整数 15．a 、b 互为相反数且都不为0，n 为正整数，则下列各组中的两个数一定互为相反数的一组是( ) A ．a n －1与b n －1 B ．a 2n 与b 2n C ．a 2n ＋1与b 2n ＋1 D ．a 2n －1与－b 2n －1 16．已知a ≠0，b ≠0，有以下五个算式： ①a m ．a －m ÷b n ＝b －n ；②a m ÷b m ＝m a b ?? ???；③(a 2b 3)m ＝(a m )2·(bm)3；④(a ＋b)m ＋1－a ·(a ＋b)m ＝b ·(a ＋b)m ；⑤(a m ＋b n )2＝a 2m ＋b 2n ，其中正确的有 ( ) A ．2个 B ．3个 幂的运算测试 一、选择题(30分) 1．下列各式运算正确的是( ) A ．2a 2＋3a 2＝5a 4 B ．(2ab 2)2＝4a 2b 4 C ．2a 6÷a 3＝2a 2 D ．(a 2)3＝a 5 2．若a m ＝2，a n ＝3，则a m +n 的值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 3．在等式a 3·a 2·( )＝a 11中，括号里填入的代数式应当是( ) A ．a 7 B ．a 8 C ．a 6 D ．a 3 4．计算25m ÷5m 的结果为 ( ) A ．5 B ．20 C ．20m D ．5m 5．下列算式：①(－a )4．(－a 3c 2)＝－a 7c 2；②(－a 3)2＝－a 6；③(－a 3)3÷a 4＝a 2； ④(－a )6÷(－a )3＝－a 3．其中，正确的有 ( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6.下列运算正确的是（ ） A ．xy y x 532=+ B ．36329)3(y x y x -=- C ．442232)2 1(4y x xy y x -=-? D ．333)(y x y x -=- 7.下列等式中正确的个数是（ ） ①5510a a a += ②6310()()a a a -?-= ③4520()a a a -?-= ④556222+= A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8.计算(ａ-ｂ)n ·(ｂ-ａ)n-1等于( ) A.(ａ-ｂ)2n-1 B.(ｂ-ａ)2n-1 C.＋(ａ-ｂ)2n-1 D.非以上答案 9.下列各式中计算错误的是（ ） A ．3422(231)462x x x x x x -+-=+- B ． 232(1)b b b b b b -+=-+ C ．x x x +-=-22)22（x 21- D ．342232(31)232 3x x x x x x -+=-+ 10．如图14－2是L 形钢条截面，它的面积为（ ） A ．ac+bc B ．ac+(b-c)c C ．(a-c)c+(b-c)c D ．a+b+2c+(a-c)+(b-c) 《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C 、D、（x﹣y）3=x3 ﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6（﹣a）3a=a10；③﹣a4（﹣a）5=a20； ④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 二、填空题 6、计算：x2x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=_________． 三、解答题8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。 9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x32y的值． 11、已知25m210n=5724，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-=0n n n a z c z f ，其中系数 ()()()()!211n a f d a f i c n n n =-=?Γ+ζζζπ.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()()∑∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数()() ζζζπd a f i c n n ?Γ+-= 1 21 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π = z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 ()()!0n z f c n n = 求n c ：;14 tan 0==π c ()2,24 sec |tan 124 ==='=c z z π π； 1 幂的运算检测题 1.下列计算错误的是（ ） A ．743x x x =? B ．853)()(m m m =-?- C ．2×25=26 D ．10552a a a =? 2.下列计算正确的个数为 ( ) ①5552a a a =?；②1055b b b =+；③2555x x x =?；④10 552y y y =?； ⑤33c c c =?；⑥43m m m =?；⑦32)()(x x x -=-?-；⑧742y y y y =?? A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列计算正确的是（ ） A ．1243a a a =? B ．448x x x += C ．642)()()(y x x y y x -=-?- D. 743)()()(y x x y y x --=-?- 4．计算23(3)a -的结果是（ ） A ． 59a - B ．69a C ．627a - D ．527a 5.下列计算正确的是（ ） A ．224()ab ab = 4 B ．333(3)9xy x y = C ．224(2)4a a -=- D ．232426(3)9a bc a b c -= 6.在①[]325)(a a -?-；②34)(a a -?；③2 332)()(a a ?-；④34)(a -中，计算结果为12a -的有( ) A.①和③ B.①和② C.②和③ D.③和④ 7.)24)(24(n n ??的计算结果是（ ） A ．2n 24? B ．n 28? C ．2n 44? D ．42n 2+ 8.计算 )21()12()122x x x m m ---（等于( ) A.13) 12(+-m x B. 1-3)12(m x - C. 13)12(-+-m x D. 1-3)12(-m x - 一、选择题(30分) 1．下列各式运算正确的是( ) A ．2a 2＋3a 2＝5a 4 B ．(2ab 2)2＝4a 2b 4 C ．2a 6÷a 3＝2a 2 D ．(a 2)3＝a 5 2．若a m ＝2，a n ＝3，则a m +n 的值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 3．在等式a 3·a 2·( )＝a 11中，括号里填入的代数式应当是( ) A ．a 7 B ．a 8 C ．a 6 D ．a 3 4．计算25m ÷5m 的结果为 ( ) A ．5 B ．20 C ．20m D ．5m 5．下列算式：①(－a )4．(－a 3c 2)＝－a 7c 2；②(－a 3)2＝－a 6；③(－a 3)3÷a 4＝a 2； ④(－a )6÷(－a )3＝－a 3．其中，正确的有 ( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6.下列运算正确的是（ ） A ．xy y x 532=+ B ．36329)3(y x y x -=- C ．442232)2 1(4y x xy y x -=-? D ．333)(y x y x -=- 7.下列等式中正确的个数是（ ） ①5510a a a += ②6310()()a a a -?-= ③4520()a a a -?-= ④556222+= A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8.计算(ａ-ｂ)n ·(ｂ-ａ)n-1等于( ) A.(ａ-ｂ)2n-1 B.(ｂ-ａ)2n-1 C.＋(ａ-ｂ)2n-1 D.非以上答案 9.下列各式中计算错误的是（ ） A ．3422(231)462x x x x x x -+-=+- B ． 232(1)b b b b b b -+=-+ C ．x x x +-=-22)22（x 21- D ．342232(31)232 3x x x x x x -+=-+ 10．如图14－2是L 形钢条截面，它的面积为（ ） A ．ac+bc B ．ac+(b-c)c C ．(a-c)c+(b-c)c D ．a+b+2c+(a-c)+(b-c) 二、填空题(24分) 幂の运算性质 1、下列各式计算过程正确の是（ ） （A ）x 3＋x 3＝x 3＋3＝x 6 （B ）x 3·x 3＝2x 3＝x 6 （C ）x ·x 3·x 5＝x 0＋3＋5＝x 8 （D ）x 2·（－x ）3＝－x 2＋3＝－x 5 2、化简（－x ）3·（－x ）2，结果正确の是（ ） （A ）－x 6 （B ）x 6 （C ）x 5 （D ）－x 5 3、下列计算：①（x 5）2＝x 25；②（x 5）2＝x 7；③（x 2）5＝x 10；④x 5·y 2＝（xy ）7； ⑤x 5·y 2＝（xy ）10；⑥x 5y 5＝（xy ）5；其中错误．． の有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、下列运算正确の是（ ） （A ）a 4＋a 5＝a 9 （B ）a 3·a 3·a 3＝3a 3 （C ）2a 4×3a 5＝6a 9 （D ）（－a 3）4＝a 7 5、下列计算正确の是（ ） （A ）（－1）0＝－1 （B ）（－1）－1＝＋1 （C ）2a －3＝321a （D ）（－a 3）÷（－a ）7＝41a 6、下列计算中，运算错误の式子有（ ） ⑴5a 3－a 3＝4a 3；⑵x m ＋x m ＝x 2m ；⑶2m ·3n ＝6m ＋n ；⑷a m ＋1·a ＝a m ＋2； （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 7、计算（a －b ）2（b －a ）3の结果是（ ） （A ）（a －b ）5 （B ）－（a －b ）5 （C ）（a －b ）6 （D ）－（a －b ）6 8．计算9910022） （）（-+-所得の结果是（ ） A ．－2 B 2 C ．－992 D ．992 9．当n 是正整数时，下列等式成立の有（ ） （1）22)(m m a a = （2）m m a a )(22= （3）22)(m m a a -= （4）m m a a )(22-= Ａ．4个 Ｂ．3个 Ｃ．2个 Ｄ．1个 10．若52=m ，62=n ，则n m 22+＝ ． 11、(2m －n)3·(n－2m)2＝ ; 12、要使(x －1)0－(x ＋1)-2有意义，x の取值应满足什么条件？ 13、如果等式()1122=-+a a ，则a の值为 14、232324)3()(9n m n m -+ 15、422432)(3)3(a ab b a ?-? 16、已知: ()1242=--x x ,求x の值. 17、（－2a 2b ）3＋8（a 2）2·（－a ）2·（－b ）3； 18、（－3a 2）3·a 3＋（－4a ）2·a 7－（5a 3）3； 幂的运算练习题（每日一页） 【基础能力训练】 一、同底数幂相乘 1．下列语句正确的是（ ） A ．同底数的幂相加，底数不变，指数相乘； B ．同底数的幂相乘，底数合并，指数相加； C ．同底数的幂相乘，指数不变，底数相加； D ．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加 2． a 4 ·a m ·a n =（ ） A ．a 4m B ． a 4(m+n) C ． a m+n+4 D ．a m+n+4 3．（－ x ）·（－ x ）8·（－ x ） 3=（ ） A ．（－ x ）11 B ．（－ x ）24 C ．x 12 D ．－ x 12 4．下列运算正确的是（ ） 2· a 3 6 ．336 C ． 3 2 6 D ． 8－a 4 4 A ．a =a B a +a =2a a a =a a=a 5． a ·a 3x 可以写成（ ） A ．（ a 3 ）x+1 B ．（a x ） 3+1 C ．a 3x+1 D ．（ a x ）2x+1 6．计算： 100×100m － 1×100m+1 7．计算： a 5 ·（－ a ） 2·（－ a ） 3 8．计算：（x －y ）2 ·（ x －y ）3－（ x －y ）4·（y － x ） 二、幂的乘方 9．填空：（1）（a8）7=________；（2）（105）m=_______；（3）（ a m）3=_______； （4）（b2m）5=_________；（5）（ a4）2·（a3）3=________． 10．下列结论正确的是（） A．幂的乘方，指数不变，底数相乘； B．幂的乘方，底数不变，指数相加； C．a 的 m 次幂的 n 次方等于 a 的 m+n 次幂； D．a 的 m 次幂的 n 次方等于 a 的 mn 次幂 11．下列等式成立的是（） A．（ 102）3=105B．（a2）2=a4C．（ a m）2=a m+2D．（ x n）2=x2n 12．下列计算正确的是（） A．（ a2）3·（ a3）2=a6·a6=2a6 B．（－ a3）4·a7=a7·a2=a9 C．（－ a2）3·（－ a3）2=（－ a6）·（－ a6） =a12 D．－（－ a3）3·（－ a2）2=－（－ a9）· a4=a13 13．计算：若 642×83=2x，求 x 的值． 三、积的乘方 14．判断正误： （1）积的乘方，等于把其中一个因式乘方，把幂相乘（） （2）（xy）n=x· y n（） （3）（3xy）n=3（xy ）n（） （4）（ab）nm =a m b n（） （5）（－ abc）n =（－ 1）n a n b n c n（） 15．（ab3）4=（） A．ab12B． a4 b7C．a5b7D． a4b12 教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力， 3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数： （*).,(0r x O (1) x ∈(-∞, +∞)。 (2) =+0 !)12(n n )!12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x ) = cos x = ∑∞ =-02! )2()1(n n n x n )! 2()1(!4!21242n x x x n n -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。 北京市三帆中学实验班课时检测题 幂的运算2012.2 姓名：_________________ 得分：___________________________ (1-6每题2分，7-23题每题5分，24题8分) 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a=a10；③﹣a4?（﹣a）5=a20；④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 6、计算：x2?x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2=_________． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=_________． 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值． 9、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值． 10、已知2x+5y=3，求4x?32y的值． 11、已知25m?2?10n=57?24，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 幂的运算性质 1、下列各式计算过程正确的是（ ） （A ）x 3＋x 3＝x 3＋3＝x 6 （B ）x 3·x 3＝2x 3＝x 6 （C ）x ·x 3·x 5＝x 0＋3＋5＝x 8 （D ）x 2·（－x ）3＝－x 2＋ 3＝－x 5 2、化简（－x ）3·（－x ）2，结果正确的是（ ） （A ）－x 6 （B ）x 6 （C ）x 5 （D ）－x 5 3、下列计算：①（x 5）2＝x 25；②（x 5）2＝x 7；③（x 2）5＝x 10；④x 5·y 2＝（xy ）7； ⑤x 5·y 2＝（xy ）10；⑥x 5y 5＝（xy ）5；其中错误．．的有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 4、下列运算正确的是（ ） （A ）a 4＋a 5＝a 9 （B ）a 3·a 3·a 3＝3a 3 （C ）2a 4×3a 5＝6a 9 （D ）（－a 3）4＝a 7 5、下列计算正确的是（ ） （A ）（－1）0＝－1 （B ）（－1）－1＝＋1 （C ）2a －3＝ 321a （D ）（－a 3）÷（－a ）7＝4 1a 6、下列计算中，运算错误的式子有（ ） ⑴5a 3－a 3＝4a 3；⑵x m ＋x m ＝x 2m ；⑶2m ·3n ＝6m ＋n ；⑷a m ＋1·a ＝a m ＋2； （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 7、计算（a －b ）2（b －a ）3的结果是（ ） （A ）（a －b ）5 （B ）－（a －b ）5 （C ）（a －b ）6 （D ）－（a －b ）6 8．计算9910022）（）（-+-所得的结果是（ ） A ．－2 B 2 C ．－992 D ．992 9．当n 是正整数时，下列等式成立的有（ ） （1）22)(m m a a = （2）m m a a )(22= （3）22)(m m a a -= （4）m m a a )(22-= Ａ．4个 Ｂ．3个 Ｃ．2个 Ｄ．1个 10．若52=m ，62=n ，则n m 22+＝ ． 11、(2m －n)3·(n－2m)2 ＝ ; 12、要使(x －1)0－(x ＋1)-2有意义，x 的取值应满足什么条件？ 13、如果等式()1122=-+a a ，则a 的值为 14、232324)3()(9n m n m -+ 15、422432)(3)3(a ab b a ?-? 16、已知: ()1242=--x x ,求x 的值. 17、（－2a 2b ）3＋8（a 2）2·（－a ）2·（－b ）3； 18、（－3a 2）3·a 3＋（－4a ）2·a 7－（5a 3）3； 逆向思维 19、×4100＝ ；（－）2002×（－2）2003＝ ；22006×32006的个位数字是 ； 20、若a ＝999111，b ＝111222，则a 、b 的大小关系是 ； 21、已知：10a ＝5，10b ＝6，求102a ＋3b 的值． 练： 若3m ＝6，9n ＝2，求32m －4n ＋1的值； 22、若n 为正整数，且x 2n ＝4，求（x 3n ）2－2（x 2）n 的值． 23、若n 为正整数，且x 2n ＝3，求（3x 3n ）2－8（x 2）2n 的值． 幂的运算测试题 一、选择题 1、下列计算正确的是（ ） A 、x 3+ x 3=x 6 B 、x 3÷x 4=x 1 C 、(m 5)5=m 10 D 、x 2y 3=(xy)5 2、81×27可以记为（ ） A 、93 B 、36 C 、37 D 、312 3、a 5可以等于（ ） A 、（-a ）2·(-a)3 B 、(-a)·(-a)4 C 、(-a 2)·a 3 D 、(-a 3)·(-a 2) 4、若a m =6，a n =10，则a m-n 值为（ ） A 、-4 B 、4 C 、 5 3 D 、35 5、计算- b 2·（-b 3）2的结果是（ ） A 、-b 8 B 、-b 11 C 、b 8 D 、b 11 6、下列运算正确的是（ ） A 、x 3+2x 3=3x 6 B 、(x 3)3=x 6 C 、x 3·x 9=x 27 D 、x ÷x 3=x -2 7、在等式a 2·a 3·( )=a 10中，括号内的代数式应当是（ ） A 、a 4 B 、a 5 C 、a 6 D 、a 7 8、 (a 2)3÷(-a 2)2=( ) A 、- a 2 B 、a 2 C 、-a D 、a 9、若n 是正整数，当a=-1时，-(-a 2n )2n+1等于（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、1或-1 10.计算 3112)(n n x x x +-??的结果为( ) A.33+n x B.36+n x C.n x 12 D.66+n x 二、填空题 1、（2 1）-1= ，（-3）-3= ，（π-3）0 ，(-21)100×2101= 。 2、x 2·( )=x 6, x 2·x 3-x 6÷x= (m 2)3÷(m 3)2= 。 3、32÷8n-1=2n ，则n= 4、如果x+4y-3=0，那么2x ·16y = 5、一个长方体的长、宽、高分别为a 2，a ，a 3，则这个长方体的体积是 。 6、（-43）-2= ，8 1=（ ）-3。 7、[(a 4)3]2= a 6=( )3,-(2ab 2)3= 。 8、(-y)5×(-y)4×(-y)3= , x 10÷(x 4÷x 2)= 。 9、已知4x =2x+3，则x= 。 10、已知a m =2,a n =3,则a m+n = ，a m-n = 。 11、三个数（-31）-2，（-2 1）-3，（-1）0中最大的是 ，最小的是 。 12. 200820074)25.0(?-=______ 三、解答题 1、计算 幂的运算单元测试卷 班级__________姓名___________得分____________ 一、选择题 1、下列计算正确的是（ ） A 、x 3+ x 3=x 6 B 、x 3÷x 4=x 1 C 、(m 5)5=m 10 D 、x 2y 3=(xy)5 2、81×27可以记为（ ） A 、93 B 、36 C 、37 D 、312 3、a 5可以等于（ ） A 、（-a ）2·(-a)3· B 、(-a)·(-a)4 C 、(-a 2)·a 3 D 、(-a 3)·(-a 2) 4、若a m =6，a n =10，则a m-n 值为（ ） A 、-4 B 、4 C 、 5 3 D 、35 5、计算- b 2·（-b 3）2的结果是（ ） A 、-b 8 B 、-b 11 C 、b 8 D 、b 11 6、连结边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下 角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，……重复 这样的操作，则2004次操作后右下角的小正方形面积是（ ） A 、 20041 B 、（2 1）2004 C 、（41）2004 D 、1-（41）2004 7、下列运算正确的是（ ） A 、x 3+2x 3=3x 6 B 、(x 3)3=x 6 C 、x 3·x 9=x 27 D 、x ÷x 3=x -2 8、在等式a 2·a 3·( )=a 10中，括号内的代数式应当是（ ） A 、a 4 B 、a 5 C 、a 6 D 、a 7 9、 (a 2)3÷(-a 2)2=( ) A 、- a 2 B 、a 2 C 、-a D 、a 10、0.000000108这个数，用科学记数法表示，正确的是（ ） A 、1.08×10-9 B 、1.08×10-8 C 、1.08×10-7 D 、1.08×10-6 11、若n 是正整数，当a=-1时，-(-a 2n )2n+1等于（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、1或-1 12、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2 表 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x 目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量2练习：幂的运算(经典——含单元测试题)
《幂的运算》练习题
幂的运算测试题
幂的运算综合测试卷(含答案)
用幂级数展开式求极限Word版
《幂的运算》综合提高练习题
幂的运算培优测试卷含答案(供参考)
八年级数学幂的运算测试题
幂的运算习题精选及答案
幂级数展开的多种方法
幂的运算测试题
八年级数学幂的运算测试题
幂的运算测试题(经典题型
幂的运算练习题.doc
函数的幂级数展开
幂的运算(提高练习题)
幂的运算测试题题型
幂的运算测试题
幂的运算单元测试卷
常用函数的幂级数展开式