2019年中考数学二次函数的应用专题(解析版)

2019年中考数学二次函数的应用专题

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时间：45分钟 满分：100分

一、单选题（共7题，每题4分；共28分）

1．（2017?包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2

＋2，在实数范围内，对于x 的同

一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2

B ．y 1≥y 2

C ．y 1＜y 2

D ．y 1≤y 2

【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．

【解答】解：由2

422

y x y x =??=+?消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ．

2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －

21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝2

1

x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米

D ．斜坡的坡度为1∶2

【分析】根据二次函数图象和性质可解答

【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x －

21x 2得y ＝－2

1

（x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －

12

x 2

与y ＝21x 解得???==00y x ，或?????==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y ＝21x 中系数2

1

的意义判断

坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ．

3．（2017?泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）

A ．19cm 2

B ．16 cm 2

C ．15 cm 2

D ．12 cm 2

【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=

（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2

﹣6t+24，利用二

次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．

【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22BC AB =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ， ∴S 四边形PABQ=S △ABC ﹣S △CPQ=

21AC?BC ﹣21PC?CQ=21×6×8﹣2

1

（6﹣t ）×2t=t2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故答案：C ．

4．（2017?宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )

A ．20cm

B ．18cm

C ．cm

D ．cm

【分析】根据已知条件得到CP ＝6－t ，得到PQ ＝

＝＝

，可得到结论．

【解答】解：∵AP ＝CQ ＝t ，∴CP ＝6－t ，∴PQ ＝

＝＝

，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴线段PQ 的最小值是， 故答案：C ．

5．（2017?临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t=

9

2

；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m ，其中正确结论的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．

【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．

∴正确的有②③，

故答案：B．

6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )

A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1

C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3

【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解

【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A

故答案：A．

7．（2016?衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：

则该函数图象的对称轴是（）

A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0

【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．

【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故答案：B．

二、填空题（共3题，每题4分；共12分）

8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF

分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝______m 时，矩形ABCD 的面积最大． E

A

C

D

B

F

【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．

【解答】解：设AB ＝x m ，因此AB ＋EF ＋CD ＝3x ，所以AD ＝BC ＝90032

x

-，矩形ABCD 的面积设为y (平方米)，所以y ＝x·

90032x -＝2

34502

x x -+，由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，当x ＝2b a -＝34502()2?

?-÷?-???

?＝150时，函数y 取得最大值．

．

故答案：150

9．（2017?阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．

【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD ，PP′的长，求出面积即可．

【解答】解：连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP=A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=222222=+，∠AOP=45°

，

又∵AD ⊥OP ，∴△ADO

是等腰直角三角形，∴PP′=24222=?，

∴AD=DO=sin45°?OA=

2

23332=?，∴抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)

的面积为：2

2

324?

=12．

故答案：12．

10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t (单位：s )的函数解析式是y ＝60t －

32

t 2

，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是___________m . 【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题 【解答】解： y ＝60t －

32t 2＝－3

2

(t －20)2＋600，即当t ＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m ，当t ＝16时，y ＝576m ，故最后4s 滑行的距离是600－576＝24m . 故答案：24．

三、解答题（共6题，每题10分；共60分）

11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n x x ?-????

≤＜，为正整数，

≤≤，为正整数，且第12

天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．

（1）m ＝______，n ＝______；

（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？

（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y＝32；x＝26时，y＝25，将它们代入y关于x的函数解析式中即可求出m，n的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W ≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．

【解答】解：（1）m＝－1

2

，n＝25．

（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．

当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－1

2

x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．

∴当x＝18时，W最大值＝968．

当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．

∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．

∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．

即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．

（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，

∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．

∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．

当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27

1

14

．∴27

1

14

≤x≤30．

∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．

综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．

12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售

量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．

(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？

【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．

【解答】解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得 4426k b k b =+??

=+?，解得1

8

k b =-??=?．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得 11112618k b k b =+??

=+?，解得11125

k b ?=-

???=?，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．

当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-． 当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ??

=--+- ???

，即2217232W x x =-+-．

(2)当4≤x ≤6时，

()2

21123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．

当6≤x ≤8时，()2

221137237222

W x x x =-+-=--+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5．

∴10202

61.533

==，即第7个月可以还清全部贷款．

13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax －3a(a ＜0)与x 轴相交于A ，

B 两点，与y 轴相交于点

C ，顶点为

D ，直线DC 与x 轴相交于点

E ．

（1）当a＝－1时，抛物线顶点D的坐标为________，OE＝________；

（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；

（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；

（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．

【解答】解：（1）(－1，4)，3；

（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．

（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a ＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．

（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM ≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m －1(m＜1)．

14（2018河南)如图，抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．

①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．

【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B ，C 两点的坐标，再代入y ＝ax 2

＋6x ＋c 中即

可求得抛物线的解析式；

（2） ①当A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P 在直线BC 上方”和“点P 在直线BC 下方”两种情况进行讨论求解；

②提示：作AC 的垂直平分线，交BC 于点1M ，连接1AM ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将1ANM ?沿AN 翻折，得到2ANM ?，点1M 、2M 的坐标即为所求．

【解答】解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)．

图②

Q

图①

∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++??

-=?，∴1

5

a c =-??=-?，

∴抛物线的解析式为：2

65y x x =-+-．

（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线2

65y x x =-+-交x 轴于A ，

B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥B

C ，∴AM ＝，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，

若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝，

过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD PQ ＝4． 设P(m ，2

65m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下： (ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，

PD ＝()2

2

65554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m =

(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，

PD ＝()

2256554m m m m m ---+-=-=，∴1m =

，2m =．

综上，点P 的横坐标为4． ②M(

136，176-)或(236，7

6

-)． 15（2018?日照）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；

（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；

（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC＋S△PDB列方程求解；

（3）由∠BQC＝∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标．

【解答】解：（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2＋bx＋c，得

0 930

1

a b c

a b c

c

-+=

?

?

++=

?

?=

?

，

解得

1

3

2

3

1

a

a

c

?

=-

?

?

?

=

?

?

=

?

?

?

，所以抛物线的解析式为y＝－

1

3

x2＋

2

3

x＋1．

（2）∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝－1

3

x＋1．过点P作PE⊥x轴

于点E，交BC于D．设P(x，－1

3

x2＋

2

3

x＋1)，则D(x，－

1

3

x＋1)．∴PD＝－

1

3

x2＋

2

3

x

＋1－(－1

3

x＋1)＝－

1

3

x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝

1

2

PD(x B－x C)＝

1

2

(－

1

3

x2＋x)(3

－0)＝－1

2

x2＋

3

2

x．又∵S△PBC＝1，∴－

1

2

x2＋

3

2

x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2

＝2．∴P1（1，4

3

），P2（2，1）．

（3）答：存在．理由：如图，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC

＝90°，又∵MQ＝MB＝R

y Q＝－（1

1

Q在直线x＝1上，

∴x Q ＝1，∴Q （1，－1．

16．. (2018福建)已知抛物线2

y ax bx c =++过点A （0,2），且抛物线上任意不同两点

11(,)M x y ,22(,)N x y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，

且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式；

（2）若MN 与直线y ＝-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以上问题：

①求证：BC 平分∠MBN ；

②求△MBC 外心的纵坐标的取值范围．

【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．此时b ＝0，c ＝2，即可得到抛物线的解析式；

（2）①先根据点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，求出直线MN 的解

析式，然后分别构造Rt △BEM 与Rt △BFN ，求出tan ∠MBE 与tan ∠NBF 的值，从而得到∠MBE ＝∠MBE 即可．②先确定△MBC 外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．

【解答】解：（1）∵抛物线过点A （0,2），∴c ＝2，当120x x <<时，120x x -<，由

1212()()0x x y y -->得120y y -<，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；同理可得，当x

＞0时，y 随x 的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y 轴且开口向下，则b ＝0．∵O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵△ABC 有一个内

角为60°，故△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝2．

设线段BC 与y 轴的交点为D ，则BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°，所以BD ＝OB·cos30°

，OD ＝OB·sin30°＝1，∵点B 在点C 的左侧，所以点B

坐标为(1)-．∵点B 在抛物线

2y ax bx c =++上，且c ＝2,b ＝0,所以3a+2＝－1,解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式

为2

2y x =-+．

（2）①由（1）知，点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，∵MN 与直线

y

＝-平行，设直线MN 的解析式为y

＝m -+，则212x -+

＝1m -+，即

m

＝2112x -++，∴直线MN 的解析式

为2112y x =-++，

将2112y x =-++代入22y x =-+得，

2211x x -=-+

化为221((x x +=，解得1x x =-

，或1x x =-，

∴21x x =-，则2y

＝2

1(2x --+

＝2

1110x -+-，作ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，∵点M ，N 位于直线BC 的两侧，且12y y >，则2112y y <-<≤

，且

12x x <<，∴ME ＝1y －（－1）＝213x -+，BE

＝1(x -

＝1x +，

NF ＝（－1）－2y

＝2

119x -+，BF

＝21(x x -=-，

在Rt △BEM 中，tan ∠MBE ＝ME EB

＝211133x x x -+=-+,

在Rt △BFN 中，

tan ∠NBF ＝NF

BF

1x ===, ∵tan ∠MBE ＝ tan ∠NBF ，∴∠MBE ＝ ∠NBF ， 即BC 平分∠MBN ．

②∵y 轴为BC 的垂直平分线，∴可设△MBC 的外心为P （0，0y ），则PB ＝PM ，即

22PB PM =

．由勾股定理可得22220101(1)()y x y y ++=+-因为2112x y =-，∴

2

20010124(2)()y y y y y ++=-+-，即1

012

y y =

-．由①知，112y -<≤，∴

0302y -

<≤，即△MBC 的外心的纵坐标的取值范围为03

02

y -<≤．