矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
一、内容提要
一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念
设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是
λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法
（1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0；
（2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质
（1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）；
（2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关；
（4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中
()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则
1
λ
是1A -的特征值；
A
λ
是*A 的特征值，
a 仍为相应的特征向量；
（6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()1
1
n
n
i ii i i a tr A λ====∑∑（迹）；
1
n
i
i A λ
==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零；
（7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的
特征向量彼此正交。
二、相似矩阵
1、定义
设,A B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使1P AP B -=,称A 与B 相似，记为A ～B ；
２、A ～B 的性质
T T A B ,,,M M kA kB A B ～～～
()(),P A P B ～其中P 为任一多项式；()(),,,r A r B A B E A E B λλ==-=-
?特征值相同，()()tr A tr B =；若A 可逆，则B 也可逆，且11A B --～。 三、矩阵对角化的条件及方法
１、若矩阵A 与对角阵相似，则称A 可对角化，
（１）n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量； （２）若A 的特征值两两不同，则必可对角化。
２、实对称阵A 必可对角化，且存在正交阵P ，使1P AP -=Λ
实对称矩阵正交对角化具体计算步骤如下： （１）求出实对称矩阵A 的全部特征值；
（２）若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；
若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；
（３）将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P
二、典型例题
题型１：求数字矩阵的特征值与特征向量
例１（８７，６分）求矩阵312014101A --?? ?
=- ? ?-??
的实特征值及对应的特征向量。
解
()()232
+3
1-23
10
+1
4201221451
1
1
01
E A c c λλλλλλλλλλλ+-=-++-=-++--， ()()2145E A λλλλ-=-++ 所以实特征值为 1λ=，
4121001 100000E A -???? ? ?-=-→- ? ? ? ?????，基础解系021a ??
?
= ? ???
，
故属于特征值1λ=的所有特征向量为()0,2,1T
k ，k 为任意非零常数。 例２ 设向量()()1212,,...,,,,...,T
T
n n a a a b b b αβ==都是非零向量，且满足条件
T =0αβ，记矩阵T A=αβ，
求：（１）2A （２）矩阵A 的特征值和特征向量。（９８，９分）
解 （１）()()()()2,T T T T
T
T A αβαβαβαβ
βαα
β===因为T =0,αβ所以T 2=0,A =O;βα?
（２）设A ,0,x x x λ=≠则22A x Ax x λλ==，而2A O =，故20,x λ=而0x ≠，故0λ=，
解齐次线性方程组()00E A x -= 不妨设
1111
121122122
21
2
0,0,.........00...0...00...0n n n n n n n a b a b a b a b b b b a b a b a b A a b a b a b ≠≠---????
? ?--- ?
?-=→ ? ?
? ?
---??
?? ，可得基础解系 32121111,1,0,...,0010,...,,0,0, (1)
T
T
n n b b b b b b ξξξ-??????=-=-=- ? ? ???????，，，，...，于是
A 的属于特征值0λ=的全部特征向量为112211...n n c c c ξξξ--+++，其中
121,,...,n c c c -是不全为零的任意常数。
例３（０９，４）设()()1,1,1,1,0,,T T k αβ==若矩阵T αβ相似于300000000??
?
? ???
，
则k ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
解 T αβ＝111?? ? ? ???()101,0,10,10k k k k ??
?
= ? ???由题意，()1300,T t r k αβ=+=++即
2k =。
例４设122212,221A -?? ?
=-- ? ?--??
（１）求A 的特征值；（２）求-1+A E 的特征值。
解 ()()2
21+1
2
2
122
E-A =2
+12+r 110150-22+1221
r λλλλλλλλλλ--+-----=-+=-+， 所以A 的特征值为１，１，－５；由特征值性质可知，1A -的特征值为１，
１，1
5
-，
设(0),Aa a a λ=≠则()P A 的特征值为()P λ，其中()P x 为任一多项式，而α仍为相应的特征向量。于是1+A E -的特征值为２，２，4
5
。
题型２ 特征值、特征向量的逆问题
例１（９７，６分，数一）已知111ξ?? ?
= ? ?
-??
是矩阵2-12A=5312a b ??
? ? ?--??的一个特征
向量，
（１）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； （２）问A 能否相似于对角阵？说明理由。
解（１）00000212112125311531,3,0121112a a a b b b λλλλλ
---=????????
??? ?=?+-=?=-=-=? ??? ?? ??? ?-----++=-???????
（２）212A 533102-??
?=- ? ?--??
，
1λ=-是三重特征根，
312101523011,101000E A --???? ? ?
--=--→ ? ? ? ?????
秩为２，所以只有一个线性无关的特征向
量，故A 不可对角化。
例２ 设矩阵1A=5
310a
c b c a -?? ?
? ?--??
，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为()1,1,1T
α=--求,,a b c 和0λ的值。 解 由题设，***000,,,,AA A E E A a a AA a Aa a Aa λλλ==-==-=即有
011153111011a
c b c a λ--?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?---??????()()()000
11(1)21(2)11(3)a c b c a λλλ-++=??
?--=??--=-? （１）－（３）得0λ＝１，代入（２）得3b =-，代入（１）得a c =，再代
入1A =-
1
11A 5335335
2
331101101
a
a
a a
a a a
a a a ---=-=-==-=----，所以2a c ==。
类题（＋０８，１０分）设矩阵15301b
c A a c b -????=??
??+??
，其行列式1A =-，又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为()1,1,1T
a =--，求
,,a b c 和0λ的值。
答案 3,4,a b c ===-0λ＝１.
题型３：相似矩阵的判定及其逆问题
例１（９２，７分）设矩阵A ～B ，其中20010022,02031100A x B y --???? ? ?
== ? ? ? ?????
（１）求x 与y 的值；（２）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=。 解 因为A ～B ，所以E A E B λλ-=-，即
()()()()()()2
21212,x x y λλλλλλ??+-++-=+--??
令λ=0，得()222x y -=，令λ=1，得2,y =-所以0x =。
（2）200100202,020311002A B --???? ? ?
== ? ? ? ?-????
，对应于A 和B 的共同特征值-1，2，
-2的特征向量分别为()()()1230,2,1,0,1,1,1,0,1T T T
ξξξ=-==-，得可逆矩阵
001210111P ?? ?
= ? ?--??
，满足1P AP B -=。
例2 （+05，7分）已知矩阵28220006x A ??
??=??
????
相似于对角阵Λ，试求常数x ，并求可逆阵P ,使1P AP -=Λ。
解 ()()2
2
82
2
06200
6
x
E A λλλλλλ----=--=-+=-得A 得特征值 12362λλλ===-，，
4-81206E-A=24000000000x x --????????-→-????
????????
因为A 相似于对角阵Λ，所以()61r E A -=，即x =0，基础解系
12020,1,10ξξ???? ? ?== ? ? ? ?????34801202,2240001,008000E A λ--????????=---=--→????????-????
基础解系3210ξ-?? ?= ? ???
，取022600011060100002P -????
????=Λ=????????-????，，使1P AP -=Λ。
题型4：可对角化的判定及其逆问题
例1（94，8分）设0011100A x y ?? ?
= ? ???
有三个线性无关的特征向量，求x 和y 应满
足的条件。
解
()()2
011
111010E A x y λ
λλλλλ
--=---=-+=-，得A 的特征值为
1231,1λλ==-、，只要对应121λ=、有两个线性无关的特征向量即可，即矩阵
1E A ?-的秩等于1，10110
11 101000E A x y y x --???? ? ?
-=--→-- ? ? ? ?-????，只要满足
0x y +=即可。
5、正定二次型与正定矩阵
若对0X ?≠,有()0T f X X AX =>，称()f X 为正定二次型，A 正定的充分必要条
件；
（1）A 的正惯性指数等于n ；
（2）A 与E 合同，即存在可逆阵D ，使T A D D =；
（3）A 的特征值全正；
（4）A 的顺序主子式全正；
A 正定的必要条件：0,1,2,...;0ii a i n A >=>；
若A 是正定矩阵，则1*,,,,()T m A A A A P A -均为正定阵，其中P()x 为系数全正的多项式；若,A B 均为正定阵，则(,0)kA lB k l +>也是正定阵；但AB 正定?A B B A
=；其他类似还有负定、半正定、半负定等。
典型例题
题型1：二次型的矩阵、秩和正负惯性指数
例1（04，4分）二次型()()()2
2
2
123122331(,,)f x x x x x x x x x =++-++的秩为 解 ()()()2
2
2123122331(,,)f x x x x x x x x x =++-++
222
123121323222222x x x x x x x x x =++++-，
于是二次型的矩阵为 211112112121033033112033000A --??????
? ? ?
=-→-→- ? ? ? ? ? ?--??????
()2r A =，即原二次型的秩为2.
题型2：化二次型为标准型
例1 求一正交变换化二次型
222
12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-为标准形。
解 二次型的矩阵为1-22A=-24-42-44?? ?
? ???
，
()2321,231
22E-A 2
4
4
9,
2
4
4
0,9,
c c λλλλλλλλ--=-+---==
对1,20λ=，求得线性无关的特征向量()()122,1,0,2,0,1T
T
αα==-
再正交化得()T
112245βαβ==-，，
，，对39λ=，求得线性无关的特征向量()T
3121α=-，，
再单位化得
))()T T T
123
12102451223γγγ=
=-=-，，，，，，，，
2/2/1/3P=1/4/2/305/2/3??
-
?
- ? ? ??
?
作正交变换x Py = 标准形2
39f y =
类题（95，10分）已知二次型22
12323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+
（１）写出二次型f 的矩阵表达式
（２）用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
答案112312323022(,,)(,,)244243x f x x x x x x x x -????
???
= ??? ???--????
2221231230
(,,)66P f x x x y y y ?? ? ? ==-- ? ??
?
，
题型3：化二次型为标准形的逆问题
例1（93，9分）设二次型222
123123122313(,,)222f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++
经正交变换x Py =化成22
23
2f y y =+，试求常数,αβ。 【分析】经正交变换（注意不是非退化线性变换）化二次型为标准形，前后二次型所对应的矩阵必相似，从而有相同的特征多项式，由此可确定参数。
解 变换前后二次型的矩阵分别为
110001
,01011002A B ααββ????
? ?
== ? ? ? ??
???
,
T P AP B =,因为P 为正交矩阵，故有1P AP B -=，因此E A E B λλ-=-，
即1100
101011002
λαλαλβλβλλ------=-----，
解法一：()
()2
3222
32
3232,λλαβλαβλλλ-+--+-=-+比较系数得
0αβ==
解法二：令1λ=，得20αβ-=；令2λ=，得()2
0αβ-+=，解的0αβ==
例2（09，11分）设二次型222
1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
（１）求二次型f 的矩阵的所有特征值；
（２）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值。
解 二次型f 的矩阵0
101111a A a
a ?? ?
=- ? ?--??
()()()01
1211
1
1
a
E A a
a a a a λλλλλλλ---=
-=--+----+ 得A 得特征值1232,,1a a a λλλ=-==+
（１）由f 得规范形为22
12y y +，知A 友2个特征值为正，1个为零，所以
120,a λ=-=即2a =。
题型4：合同变换与合同矩阵
例1（07，4分）设矩阵211100121,010,112000A B --???? ? ?
=--= ? ? ? ?--????
则A 与B
（A ）合同，且相似 （B ）合同，但不相似
（C ）不合同，但相似 （D ）既不合同，又不相似
解 由E-A 0λ=得A 得特征值为0，3，3，而B 得特征值为0，1，1，从而
A 与
B 不相似；又()()2r A r B ==，且B A 、有相同的正惯性指数，因此A 与B
合同。 【答案】应选（B ）
注：（1）若A 与B 相似，则()()()();;;A B r A r B tr A tr B ===A 与B 有相
同的特征值；
（２）若A 、B 为实对称矩阵，则A 与B 合同的充分必要条件是()()r A r B =，
且A 、B 有相同的正惯性指数。
例2 设A ，B 是同阶实对称阵，已知A~B,证明A 与B 合同。举例说明反之不成立。 证 因为A ，B 均为实对称阵，故均可对角化，且存在正交阵P,Q ，使
-1-1
12P AP=,Q BQ=ΛΛ,因为A~B ，所以A ，B 得特征值相同，适当排列P 的列，可
使12Λ=Λ，于是-1-1P AP=Q BQ -1-1-1QP APQ =W AW=B ?，其中-1
W=PQ ，因为P,Q 均为正交阵，故W 也有正交阵，所以-1
T
W AW=W AW=B ,即A 与B 合同，反之，
A 与
B 合同，不能推出A~B 。
例如：11,41A B ????==
? ?????，存在可逆阵11/2C ??
= ???
,使得
11111/241/21T C A C B ???
??
???
=== ?
? ? ????
??
???
故A 与B 合同，但A 与B 不相
似，因为它们的特征值不同
注：相似的实对称阵必合同，注意条件实对称阵是重要的，对一般矩阵并不成立。
例3（08，4分）设12A=,21??
???
则在实数域上与A 合同的矩阵为
（A ）2112-??
?-?? （B ）2112-?? ?-?? （C ）2112?? ?
??
（D ）1221-?? ?-??
解
()()-1
-2
E-A =
=+130-2-1
λλλλλ-=，得矩阵A 的特征值为121
3λλ=-=，，同理计算四个选项的特征值，发现选项（D ）的特征值与A 一致，即它们有相同的秩和正惯性指数，且它们都是对称矩阵，所以他们合同， 【答案】应选（D ）。 注：（1）若A 、B 为实对称矩阵，则A 与B 相似?A 与B 有相同的特征值；
（１） 若A 、B 为实对称矩阵，则A 与B 相似?A 与B 合同，但反之不一定成立。
题型5：正定二次型与正交矩阵
例1（99，7分）设A 为m n ?实矩阵，已知B=E+T A A λ,求证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵（+08，7分）
证 用定义证 ()T
T T T B E A A E A A B λλ=+=+=故B 为实对称阵；对任意
实向量0x ≠，有()(),T
T T T T T T T x Bx x E A A x x x x A Ax x x Ax
Ax
λλλ=+=+=+
当0x ≠时，()0,0T
T x x Ax Ax λ>≥，因此，当0λ>时，对任意实向量0x ≠，有0T x Bx >，即矩阵B 为正定矩阵。
例2（91，6分）考虑二次型222
12312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+，问λ
取何值时，f 为正定二次型？
解 用顺序主子式讨论。 1142124A λλ-??
?
= ? ?-??
()()2122
11,4>04
11
A 0424210,023
A A λ
λλλλλλλλ
==
=--=-+=-+->+， 解不等式组(
)()24021210λλλλ?->?
?-<
-+->??
例3 设矩阵()2101020,101A B kE A ??
?
==+ ? ???
,求对角阵Λ，使B 与Λ相似，并
求k 为何值时，B 为正定矩阵。
解 先求A 的特征值，
()2
12,31
01
2
0200,21
1
E A λλλλλλλλ---=-=-=?==-- 于是B 的特征值为()2
'2'
12,3
,2k k λλ==+，即()
()22
2~22k B k k ?? ?
+
? ? ?+?
?
，显然B 为对称阵，当0k ≠且2k ≠-时，B 的特征值全为正，此时B 正定。
例4 设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明：A E +的行列阵大于1. 证 设A 的特征值为()1,...,i i n λ=则A E +的特征值为()11,...,i i n λ+=因为
A 是正定阵，所以()01,...,i i n λ>=所以A E +的特征值()111,...,i i n λ+>=，于是 ()111n
i i A E λ=+=∏+>
例4 设A 是m 阶实对称阵且正定，B 为m n ?实矩阵，试证：T B AB 为正定阵的
充分必要条件是()r B n =，
证 必要性 设T B AB 为正定阵，则对任意实n 维向量0x ≠，有0T T x B ABx >，即()()0T
Bx A Bx >，可见0Bx ≠，这就是说，齐次线性方程组0Bx =只有零解；因此B 列满秩，即()r B n =；
充分性：因为()T
T T T T B AB B A B B AB ==,可见T B AB 为实对称阵。
将上述过程逆推，即可得证。
关于特征值及特征向量的求解方法及技巧
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=?? ??????称为Jordan 块， 12r k k k n +++=L 并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量， 称为A的特征多项式，记?(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ 的n次多项式，E是单位矩阵。 ?(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。特征方程?(λ)=| λE-A|=0的根(如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域有且仅有n 个根，而在实数域不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。 以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得： [λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根是特征多项式|λ0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。
当特征根λi (I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4 对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组(-2E-A)x=θ 得同解方程组x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
矩阵的特征值与特征向量专题讲解
矩阵的特征值与特征向量专题讲解 一、内容提要 一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是 λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法 （1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0； （2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质 （1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）； （2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关； （4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中 ()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则 1 λ 是1A -的特征值； A λ 是*A 的特征值， a 仍为相应的特征向量； （6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()1 1 n n i ii i i a tr A λ====∑∑（迹）； 1 n i i A λ ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零； （7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的 特征向量彼此正交。 二、相似矩阵
矩阵的特征值和特征向量
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
特征值和特征向量的物理意义
特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。 特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一 个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换 的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不 改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量 是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的 方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的 东西! 比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇. 其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像 对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。 综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。 Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是： T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+... 从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？ 我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。 关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，
特征值与特征向量定义与计算
. 特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量， 称为A的特征多项式，记?(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ 的n次多项式，E是单位矩阵。 ?(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。特征方程?(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。 以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。
. 一.特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得： [λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。
当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi 均会使 |λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量， (λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4 对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组 (-2E-A)x=θ 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)
特征值和特征向量习题集
《 特征值与特征向量》习题2 1．求矩阵M ＝???? ?? －1 0 5 6的特征值和特征向量． 2. 已知矩阵M ＝?? ?? ?? 1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量． 3. 已知矩阵M ＝?????? 1 －2－1 －3，向量α＝?????? 3－5，β＝???? ?? 24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝?????? 12是矩阵M 的特征向量吗为什么 4. 已知矩阵A ＝?? ???? 1 2－1 4，设向量β＝???? ??74，试计算A 5 β的值． 5. 已知矩阵A ＝???? ?? 1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0， －3) (1)求实数a 的值； (2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝?? ???? 3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝???? ?? 11，属于特征值1的一个特征向量α2＝???? ?? 3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°. (1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝?? ?? ??3 32 4，求M 的特征值和特征向量； (3)若α＝???? ??81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50 β.(结果用指数式表示) 8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝???? ?? 11，并且矩 阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ； (2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．
特征值和特征向量的物理意义
ABSTRACT: 特征向量：它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已。 特征值：一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power）。 内积：内积可以简单的理解为两个函数的相似程度,内积值越大表示两个函数相似程度越大,内积为零表示完全不相似。两个函数内积为零则两个函数正交,在三维空间中它们的夹角为90度,在三维以上不是这样的。 CONTENT 矩阵(既然讨论特征向量的问题。当然是方阵。这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此。矩阵乘法对应了一个变换。把一个向量变成同维数的另一个向量。那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系。比如可以取适当的二维方阵。使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。这时我们可以问一个问题。有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下。除了零向量。没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的。所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量)。所以一个变换的特征向量是这样一种向量。它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx。你就恍然大悟了。看到了吗?cx是方阵A 对向量x进行变换后的结果。但显然cx和x的方向相同)。而且x是特征向量的话。ax也是特征向量(a是标量且不为零)。所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族。另外。特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言。特征向量指明的方向才是很重要的。特征值不是那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值。但特征向量才是更本质的东西! 比如平面上的一个变换。把一个向量关于横轴做镜像对称变换。即保持一个向量的横坐标不变。但纵坐标取相反数。把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]。其中分号表示换行。显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a –b]'。其中上标' 表示取转置。这正是我们想要的效果。那么现在可以猜一下了。这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变。显然,横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换。那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)。所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'(a不为0)。还有其他的吗?有。那就是纵轴上的向量。这时经过变换后。其方向反向。但仍在同一条轴上。所以也被认为是方向没有变化。 当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换A（用矩阵乘法表示）可表示为它的所
矩阵的特征值与特征向量习题
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x
9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100
特征值和特征向量的性质与求法
特征值和特征向量的性质与求法 方磊 （陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中 723000）” 指导老师：周亚兰 [摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量
1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE-A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。 （ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法
第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得
特征值与特征向量优秀教学设计
特征值与特征向量 【教学目标】 1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。 3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学重难点】 重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。 难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学过程】 一、新课引入 教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。 二、讲授新课 教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？ 学生：伸缩变换，反射变换等等。 教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。 例1：对于相关x 轴的反射变换σ：1001x x y y '???? ??= ? ? ?'-? ?????，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射 变换σ只把形如10k α??= ???和20k β?? = ??? 的向量（其中1k ，2k 是任意常数），分别变成与自身共线的 向量。可以发现，反射变换σ分别把向量10k α??= ???，20k β??= ???变成10k α??= ???，20k β?? -= ?-??。特别的，反射变换σ把向量110ξ??= ???变成110ξ??= ???，把向量201ξ??= ???变成01?? ?-?? 。用矩形的形式可表示为
矩阵特征值和特征向量解法的研究
矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关.
（4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. （7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根； （2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.
第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数
习题 1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1; (2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2 2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1 （2） 2222 2 ,,()0,001 A A A X A X AX X X X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或 2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明 1,1 T T T A A A E A A A A A λλλλ -=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值， 1 故设的特征值是，有=，即 3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解 A 设是数量阵，则 000000000000a a A aE a a a E A a λλλλ?? ? ?== ? ??? ---= -L L L L L L L L L L L L 所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0)
4．求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）113012002-?? ? ? ??? （2）324202423?? ? ? ??? （3）??? ?? ??---122212 221 （4）212533102-?? ?- ? ?--?? ()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ?? ???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? L M M M 其中，且 解（1） 11 3 0120,1,2,00 2A E AX λλλ λλλλ ---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0) 解（2）
矩阵特征值与特征向量在图像处理中的应用
特征值与特征向量在图像处理中的应用 姓名：张x 学号：20092430 班级：2009121 摘要：正所谓学以致用，在长期以来的学习过程中，我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少，我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心，却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来，虽然知道很多问题的求法，就如矩阵特征值和特征向量，它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了，我们需要去知道它们的用途，下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。 关键字： 特征值、特征向量、图像、 正文： 生活中的我们，每天清晨醒来，随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像，我们确实也很难想象，在我们的生活中，图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系？首相我们先来了解下，何为特征值、特征向量。 定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得 称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。 例如对，有及向量，使得，这说明 是的特征值，是对应于的特征向量。 特征值和特征向量的求法： 1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即 （称之为的特征方程） 由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。
2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。 特征值和特征向量的性质： 1 ．， 2 ．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。 3 ．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。 4 ．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若 各不相同，则线性无关。 我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后，你们很难想象，为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话，我自己也不是很清楚，我也是看了别人的理论讲解，才略微理解了一二。让我们一起去了解下。 根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。 这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。
第九章矩阵特征值与特征向量计算方法
第九章 矩阵特征值与特征向量计算方法 教学目的 1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法；2. 掌握求矩阵特征值的QR 方法。 教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法求矩阵特征值的QR 方法；难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR 方法。 教学时数 12学时 教学过程 §2 幂法及反幂法 2．1幂法 在一些工程、物理力学部标题中，需要我们求矩阵的按模最大的特征值（称为A 的主特征值）和对应的特征向量。 幂法是一种计算矩阵A n n R ?∈的主特征值的一种迭代法，它最大优点是方法简单，适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值。 设n n R aij A ?∈=)(，其特征值为i λ，对应特征向量为),,,1(n i x i =即 i i i x Ax λ= ),,1(n i = 且},{,n i x x 线性无关。设A 特征值满足：（即1λ为强占优） ||||||21n λλλ≥≥> （2.1） 幂法的基本思想，是任取一个非零初始向量n R v ∈0，由矩阵A 的乘幂构造一向量序列 ?????=====++0 110 2 1201v A Av v v A Av v Av v k k k (2.2) 称}{k v 为迭代向量。 下面来分折关系与及}{11k v x λ。 由设},,{1n x x 为n R 中一个基本，于是，00≠v 有展开式 ∑=n i i i x a v 1 （且设01≠?） 且有 i k i n i i K k k x v A Av v λα ∑=-= ==1 01 ))( )( (1 2221111 n k n n k k k x x x v λλαλ λααλ+++= )(111k k x a ελ+≡ (2.3)
第二十二讲特征值和特征向量典型题
特征值与特征向量典型题 1、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A 【分析】解本题的关键是注意A 为实对称矩阵，在已知A 的三个特征值和三个线性无关特征向量123,,ξξξ后，由公式 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=;可解出1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 【详解】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=，根据A 为实对称矩阵的假设知10T ξξ=，即230x x +=，解得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==- 于是由123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ= 有 1 1122331231 (,,)(,,)01 001 010010110 1001101101010A λξλξλξξξξ--=????????????=-=-??? ?????????----?????? 2．（98，填4题，3分）设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值2()1A λ + 【分析】本题从特征值、特征向量的定义,0Ax x x λ=≠进行推导即可 【详解】设(0)Ax x x λ=≠，则 111 ,(0)A A x x A A x x x λ λ --=?= ≠ 即*A A x x λ = 从而*22()( )A A x x λ = *22[()][( )1],0A A E x x x λ +=+≠ 可见*2()A E +必有特征值2( )1A λ + 3．（99，填4题，3分）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是1 ,0,,0n n -
3矩阵特征值与特征向量的计算
第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。 3.1 特征值的估计 较粗估计ρ(A ) ≤ ||A || 欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。 3.1.1 盖氏图 定义3.1-1 设A = [a ij ]n ?n ，称由不等式∑≠=≤-n i j j ij ii a a z 1 所确定的复区域为A 的第i 个盖氏图， 记为G i ，i = 1，2，…，n 。 >≤-=<∑≠=}:{1n i j j ij ii i a a z z G 定理3.1-1 若λ为A 的特征值，则 n i i G 1 =∈ λ 证明：设Ax = λx (x ≠ 0)，若k 使得∞ ≤≤==x x x i n i k 1max 因为 k n j j kj x x a λ=∑=1 ?∑≠= -n k j j kj k kk x a x a )(λ ?∑∑∑ ≠=≠=≠≤≤= -n k j j kj n k j j k j kj n k j k j kj kk a x x a x x a a 11λ ? n i i k G G 1 =? ∈λ 例1 估计方阵????? ?? ?? ???----=41 .03.02.05.013.012.01 .035.03.02.01.01A 特征值的范围 解：
G 1 = {z ：|z – 1|≤ 0.6}；G 2 = {z ：|z – 3|≤ 0.8}； G 3 = {z ：|z + 1|≤ 1.8}；G 4 = {z ：|z + 4|≤ 0.6}。 注：定理称A 的n 个特征值全落在n 个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。 3.1.2 盖氏圆的连通部分 称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。 孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。 定理3.1-2 若由A 的k 个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A 的k 个特征值。 证明: 令D = diag(a 11，a 12，…，a nn )，M = A – D ，记 )10(00 0)(2 1 22111222 11≤≤?? ?? ? ? ? ??+??????? ? ?=+=εεεε n n n n nn a a a a a a a a a M D A 则显然有A (1) = A ，A (0) = D ，易知A (ε)的特征多项式的系数是ε的多项式，从而A (ε)的特征 值λ1(ε)，λ2(ε)，…，λn (ε)为ε的连续函数。 A (ε)的盖氏圆为：)10(,}||||:{)(11≤≤?=≤ -=∑∑≠=≠=εεεεi n i j j ij n i j j ij ii i G a a a z z G 因为A (0) = D 的n 个特征值a 11，a 12，…，a nn ，恰为A 的盖氏圆圆心，当ε由0增大到1时，λi (ε)画出一条以λi (0) = a ii 为始点，λi (1) = λi 为终点的连续曲线，且始终不会越过G i ； 不失一般性，设A 开头的k 个圆盘是连通的，其并集为S ，它与后n – k 个圆盘严格分离，显然，A (ε)的前k 个盖氏圆盘与后n – k 个圆盘严格分离。 当ε = 0时，A (0) = D 的前k 个特征值刚好落在前k 个圆盘G 1，…，G k 中，而另n – k 个特征值则在区域S 之外，ε从0变到1时， k i i G 1 )(=ε与 n k i i G 1 )(+=ε始终分离（严格） 。连续曲线始终在S 中，所以S 中有且仅有A 的k 个特征值。 注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。 2) 例1中G 2，G 4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G 1，G 3构成的连通部分应含有两个特征值。 3) 因为例1中A 为实方阵，所以若λ为A 的特征值，则λ也是A 的特征值，所以G 2，G 4