高等数学模拟试题及答案
武汉大学网络教育入学考试 专升本 高等数学 模拟试题
一、单项选择题
1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b )
A.x y e =
B.1sin y x =+
C.ln y x =
D.tan y x =
2、函数2
3
()32
x f x x x -=
-+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点
3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b )
A. 一定可导
B. 必不可导
C. 可能可导
D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x
-
C.
sin x x D. 1sin x
x
+ 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )
A.1
B.1-
C.0
D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a
a
f a x x -=?
( a )
A.0
()d a
f x x -
?
B.0
()d a
f x x ? C.0
2()d a
f x x ? D.0
2()d a
f x x -?
7、曲线2
3x x
y e
--=
的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在
8、设()f x 为可导函数，且()()
000lim
22h f x h f x h
→+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d )
A. 4x
y e = B. 4x
y e -= C. 4x
y Ce = D. 412x y C C e =+
10、级数
1
(1)34
n
n n
n ∞
=--∑的收敛性结论是（ a ）
A. 发散
B. 条件收敛
C. 绝对收敛
D. 无法判定 11
、函数
()f x =的定义域是( d )
A. [1,)+∞
B.(,0]-∞
C. (,0][1,)-∞?+∞
D.[0,1]
12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d )
A.极限不一定存在
B.不一定连续
C.可微
D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin n
n e n →∞
-=
( c)
A.0
B.1
C.不存在
D. ∞
14、下列变量中，当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是（ ）
A.sin x
B.sin 2x
C.2sin x
D. 2
sin x
15、设函数()f x 可导，则0(2)()lim h f x h f x h →+-=( c ) A.'()f x - B.1
'()
2f x C.2'()f x D.0
16、函数3
2ln 3
x y x +=-的水平渐近线方程是( c )
A.2y =
B.1y =
C.3y =-
D.0y =
17、定积分
sin d x x π
=
?( c )
A.0
B.1
C.π
D.2
18、已知x y sin =，则高阶导数(100)
y 在0x =处的值为( a )
A. 0
B. 1
C. 1-
D. 100． 19、设()y f x =为连续的偶函数，则定积分
()d a
a
f x x
-?
等于( c )
A. )(2x af
B.
?
a
dx
x f 0
)(2
C.0
D. )()(a f a f --
20、微分方程d 1sin d y
x x =+满足初始条件(0)2y =的特解是( c )
A. cos 1y x x =++
B. cos 2y x x =++
C. cos 2y x x =-+
D. cos 3y x x =-+ 21、当x →∞时，下列函数中有极限的是( C )
A.sin x
B.1x e
C.2
11x x +- D.arctan x
22、设函数
2
()45f x x kx =++，若(1)()83f x f x x --=+，则常数k 等于 ( a ) A.1 B.1- C.2 D.2- 23、若0
lim ()x x f x →=∞
，
lim ()x x g x →=∞
，则下列极限成立的是( b )
A. lim[()()]o
x x f x g x →+=∞
B.
lim[()()]0
x x f x g x →-=
C.
1
lim
()()x x f x g x →=∞+ D. 0
lim ()()x x f x g x →=∞
24、当x →∞时，若
2
1sin x 与1
k x 是等价无穷小，则k =（ b ）
A.2
B.1
2 C.1 D.
3 25
、函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理的ξ是( a ) A.0 B.3 C. 3
2 D.2 26、设函数()y f x =-, 则'y =( c )
A. '()f x
B.'()f x -
C. '()f x -
D.'()f x --
27、定积分
()d b
a
f x x
?
是( a )
A.一个常数
B.()f x 的一个原函数
C.一个函数族
D.一个非负常数
28、已知n ax y x e =+，则高阶导数()
n y =( c ) A. n ax a e B. !n C. !ax n e + D. !n ax
n a e +
29、若()()f x dx F x c =+?，则sin (cos )d xf x x
?等于( b )
A. (sin )F x c +
B. (sin )F x c -+
C. (cos )F x c +
D. (cos )F x c -+ 30、微分方程'3xy y +=的通解是( b )
A. 3c y x =
- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+
31、函数
2
1,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )
A. 1,[1,)y x =
∈+∞
B. 1,[0,)y x =∈+∞
C. [1,)y =∈+∞
D. [1,)y =∈+∞ 32、当0x →时，下列函数中为x 的高阶无穷小的是( a )
A. 1cos x -
B. 2
x x + C. sin x
D.
33、若函数()f x 在点0x 处可导，则|()|f x 在点0x
处( c )
A. 可导
B. 不可导
C. 连续但未必可导
D. 不连续 34、当
0x x →时, α和(0)β≠都是无穷小. 当0x x →时下列可能不是无穷小的是（ d ）
A. αβ+
B. αβ-
C. αβ?
D. α
β
35、下列函数中不具有极值点的是( c ) A.
y x
= B. 2
y x = C. 3
y x = D. 23
y x =
36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则
(3)(3)
lim
2h f h f h →--=
( b )
A.3
2
B.3
2-
C.1
D.1-
37、设()f x 是可导函数，则
(())f x dx '
?为( d )
A.()f x
B. ()f x c +
C.()f x '
D.()f x c '+
38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等，则这两个函数在该区间内( d ) A.()()f x g x x -= B.相等 C.仅相差一个常数 D.均为常数
二、填空题
1、极限20
cos d lim
x
x t t x
→? =
2、已知 102lim(
)2
a
x x x e -→-=，则常数 =a . 3、不定积分2d x
x e x -?= .
4、设()y f x =的一个原函数为x ，则微分d(()cos )f x x = .
5、设
2
()d f x x x C x
=+?，则()f x = . 6、导数
12
d cos d d x
t t x -=? . 7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .
8、由曲线2y x =,24y x =及直线1y =所围成的图形的面积是 .
9、已知曲线()y f x =上任一点切线的斜率为2x , 并且曲线经过点(1,2)-, 则此曲线的方程为 .
10、已知2
2
(,)f xy x y x y xy +=++，则
f f x y
??+=?? . 11、设(1)cos f x x x +=+，则(1)f = .
12、已知 11
2
lim(1)x x a e x --→∞-=，则常数 =a .
13、不定积分
2ln d x x x =?
.
14、设()y f x =的一个原函数为sin 2x ，则微分d y = .
15、极限
2
2arcsin d lim
x
x t t x →? =
.
16、导数2
d sin d d x a t t x =? .
17、设0
d x t
e t e
=?
，则x = .
18、在区间[0,]2π上, 由曲线cos y x =与直线
2x π
=
,1y =所围成的图形的面是 .
19、曲线sin y x =在点
23x π
=处的切线方程为 . 20、已知22
(,)f x y x y x y -+=-，则f f
x y ??-=?? .
21、极限
1
lim ln(1)sin
x x x →+? =
22、已知
2
1lim(
)1ax
x x e x -→∞
-=+，则常数 =a .
23
、不定积分
x =
? .
24、设()y f x =的一个原函数为tan x ，则微分d y = . 25、若()f x 在[,]a b 上连续，且
()d 0
b
a
f x x =?
, 则
[()1]d b
a
f x x +=? .
26、导数2d sin d d x
x
t t x =? .
27、函数
2
2
4(1)24x y x x +=++的水平渐近线方程是 . 28、由曲线
1
y x =
与直线y x =2x =所围成的图形的面积是 .
29、已知(31)x
f x e '-=，则()f x = .
30、已知两向量
(),2,3a λ→
=,
()
2,4,b μ→
=平行，则数量积a b ?=
.
31、极限2
lim(1sin )x
x x →-=
32、已知973250(1)(1)lim 8(1)x x ax x →∞++=+，则常数=a .
33、不定积分
sin d x x x =? .
34
、设函数y =则微分d y = .
35、设函数()f x 在实数域内连续, 则
()d ()d x
f x x f t t -=
?? .
36、导数2d d d x t
a
te t x =? .
37、曲线
22345
(3)x x y x -+=
+的铅直渐近线的方程为 . 38、曲线2y x =与2
2y x =-所围成的图形的面积是 .
三、计算题
1
、求极限：lim x →+∞.
解：lim x →+∞
=lim x →+∞
/2x=
2、计算不定积分：2sin 2d 1sin x
x x +?
解：
3、计算二重积分sin d d D
x x y x ??, D 是由直线y x =及抛物线2
y x =围成的区域. 解：
4、设2
ln z u v =, 而x
u y
=, 32v x y =-. 求z x ??, z y ??.
解：
5、求由方程2
2
1x y xy +-=确定的隐函数的导数d d y
x
. 解：
6、计算定积分:
2
|sin| d
x x
π
?.
解：
7、求极限：
x
x
x
e
x
2
)
(
lim+
→.
解：
8
、计算不定积分：
x
.
解：
9、计算二重积分
22
()
D
x y dσ
+
??
,其中D是由y x
=,y x a
=+,y a
=,3
y a
=(0
a>)
所围成的区域.解：
10、设
2
u v
z e-
=, 其中3
sin,
u x v x
==，求
dz
d t.
解：
11、求由方程
ln
y x y
=+所确定的隐函数的导数
d
d
y
x.
解：，
12、设
2,01,
()
,1 2.
x x
f x
x x
?≤≤
=?
<≤
?. 求0
()()d
x
x f t t
?=?
在[0, 2]上的表达式.
解：
13
、求极限：
2 x→
解：
14、计算不定积分：
d
ln ln ln
x
x x x
??
?
.
解：
15、计算二重积分
(4)d
D
x yσ
--
??
,D是圆域
222
x y y
+≤.
解：
16、设
2
x y
z
x y
-
=
+，其中23
y x
=-，求
dz
d t.
解：
17、求由方程
1y
y xe
=+所确定的隐函数的导数
d
d
y
x.
解：
18、设
1sin,0,
2
()
0,
x x
f x
π
?≤≤
?
=?
??其它.
求0
()()d
x
x f t t
?=?
在
()
,
-∞+∞
内的表达式.
解：
19
、求极限：x→解：
20
、计算不定积分：
1
d 1
x
x +
解：
21、计算二重积分
2
D
xy dσ
??
,D是由抛物线
22
y px
=和直线2
p
x=
(
p>)围成的区域.
解：
22、设
y
z
x
=
,而t
x e
=,2
1t
y e
=-,求
dz
d t.
解：
四、综合题与证明题
1、函数
2
1
sin,0,
()
0,0
x x
f x x
x
?
≠
?
=?
?=
?
在点0
x=处是否连续？是否可导？
2
、求函数(
y x
=-.
解：
3、证明：当0x >时, 221)1ln(1x x x x +>+++.
证明：
4、要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？ 解：
5
、设
ln(1),
10,()01x x f x x +-<≤??=<<, 讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性. 解：
，
6、求函数
3
2(1)x y x =
-的极值. 解：
7、证明: 当
20π
<
8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2
, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？ 解：
9、讨论2
1, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤??+<≤?=?+<≤??>?在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性.
解：
10
、确定函数
y =其中0a >)的单调区间.
解： ；
11、证明：当20π
<
31 tan x x x +>. 证明： 12、一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？ 解： 13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ?+≤<=? -≤?在点x =1处是否可导？为什么？ 解： 14、确定函数 x x x y 69410 23+-= 的单调区间. 解： 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 数学在医学中的应用众所周知，数学是一门以高度的抽象性、严谨性为特点的学科，但同时数学在其他各门学科也有广泛的应用性，而且随着大型计算机的飞速发展，数学也越来越多的渗透到各个领域中。数学建模可以说是用数学方法解决实际问题的一个重要手段。简单的说，用数学语言来描述实际问题，将它变成一个数学问题，然后用数学工具加以解决，这个过程就称为数学建模。人们通过对所要解决的问题建立数学模型，使许多实际问题得到了完满的解决。如大型水坝的应力计算、中长期天气预报等。建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD(Computer Aided Design)技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。那么数学在医学领域有哪些应用呢？现代的医学为什么要借助数学呢？本研究主要叙述这两个问题。 1现代医学应用数学的必要性 现代医学的大趋势是从定性研究走向定量研究，即要能够有效地探索医学科学领域中物质的量与量关系的规律性，推动医学科学突破狭隘经验的束缚，向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，并由此逐渐派生出生物医学工程学、数量遗传学、药代动力学、计量诊断学、计量治疗学、定量生理学等边缘学科，同时预防医学、基础医学和临床医学等传统学科也都在试图建立数学模式和运用数学理论方法来探索出其数量规律。而这些都要用到数学知识。数学模型有助生物学家将某些变量隔离出来、预测未来实验的结果，或推论无法 测量的种种关系，因为在实验中很难将研究的事物抽离出来单独观察。尽管这些数学模型无法极其精确地模仿生命系统的运作机制，却有助于预测将来实验的结果。可以利用数学分析实验数据资料。当实验数据非常多时，传统的方法就不再适用了，只能转而使用数值计算的相关理论，以发现数据中存在的关联和规则。特别地随着当前国际生命科学领域内最重要的基因组计划的发展，产生了前所未有的巨量生物医学数据。为分析利用这些巨量数据而发展起来的生物信息学广泛应用了各种数学工具，从而使得数学方法在现代生物医学研究中的作用日益重要。 2医学上的一些例子 医学统计学（Medical Statistics）临床上可用来解释疾病发生与流行的程度和规律；评价新药或新技术的治疗效果；揭示生命指标的正常范围，相互的内在联系或发展规律；运用统计的原理和方法，结合医学的工作实际,研究医学的实验设计和数据处理。医学统计学是基于概率论和数理统计的基本原理和方法，研究医学领域中数据的收集、整理和分析的一门学科。如在疾病的防治工作中，经常要探讨各种现象数量间的联系，寻找与某病关系最密切的因素；要进行多种检查结果的综合评定、探讨疾病的分型分类：计量诊断，选择治疗方案；要对某些疾病进行预测预报、流行病学监督，对药品制造、临床化验工作等作质量控制，以及医学人口学研究等。医学统计学，特别是其中的多变量分析，为解决这些问题提供了必要的方法和手段。以传染病模型为例，了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各 大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 浅谈高等数学在现代医学中的作用一、高等数学在医学领域的应用 数学是一门语言, 它是表达量变和质变最完美的工具; 数学又是一种感觉, 它是科学迅速超越时空的触角。恩格斯曾对数学做过如下定义: 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的 科学。数学是基础教育中最受重视的学科之一, 并贯穿于整个基础教育阶段。高等数学教育则几乎覆盖了大学本科阶段所有自然学科领域和部分人文社会学科领域。 随着计算机科学技术的不断发展, 数学的社会化程度也日 益提高, 数学的思想、观点、方法已广泛地渗透到自然科学和社会科学的各个领域。数学在传统领域的应用, 以及在新领域取得的许多重要进程, 使得数学在医学领域中的作用也不断突出。数学与医学, 特别是生物医学的结合越来越紧密。例如, 可以为生物医学工程学、细胞分子生物学、肿瘤生长动力学、药物动力学等现代生物医学做出定性描述向定量描述的趋变; 常微分方程 可以运用到临床医学的定量分析和群体医学的动态分析; 生物 统计学、概率论可以为药物使用、人口统计与流行病、公共卫生管理等作出决策; 数学可为医学基础、临床医学、预防医学建立医学数学模型,经过数学处理得到可供人们作出分析、判断、预测和决策的定量结果; 临床治疗和医学科研所使用到的各种高、精、尖端医学仪器都离不开数学和计算机科学的支持, 等等。 马克思曾说过:“一门科学只有成功地应用数学时, 才算达 到了完善的地步。”因此可以看出, 数学与现代医学结合程度将决定现代医学的发展程度。中科院在《21 世纪初科学发展趋势》的研究报告中指出, 生命科学“可能发展成为科学革命的中心”, 数学科学则“一直是整个科学技术发展的带动因素”, 加快数学在医学领域的应用和发展是当今医学发展的必然趋势。 二、高等数学教育在医学教育中的作用及意义 数学的思维方式、计量分析技术有力地推动了现代医学的 迅速发展。强调用数学、统计学研究并解决医学问题的思路和方法, 增强对医学问题进行定量分析与处理的能力, 提高医学科研 水平, 促进临床工作进一步精确化、科学化早已成为各国高等医学教育所关注的重要内容。目前国内绝大多数的医学院校都在 大学一年级开设了《医用高等数学》。笔者认为, 开设这门课程除了可以扩大学生知识面以外, 还有着如下五个方面的作用及意义: 1. 高数教育可以加强医学生的道德教育 抽象性是数学的基本特征之一, 具体表现为推理的严谨性、 表达的准确性、类别的归纳性、计算的规定性、定义的唯一性等等。学生在学习高数的同时, 也能受到其特性的影响: 教育过程 中数学史的讲解可以激发学生的爱国主义热情; 逻辑性的推理 可以培养学生严谨的思维模式; 公理、定义、计算规则的唯一性要求可以使学生形成对法律法规、社会公德的内在自我约束; 对问题的归类、分析可以培养学生灵活思考问题、周密总结分析的 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 3 6. arctan x 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 第一章 、判断题题解 正确。设 h (x )=f (x )+f ( x ), 错。 错。错。错。函数、极限与连续习题题解(P27) y =2ln x 的定义域(0,+ ..1 lim , x 0 x 则 h ( x )= f ( x )+ f (x )= h (x )。故为偶函数。 ),y =ln x 2的定义域(,0)U (0,+ )。定义域不同。 O 故无界。 在x 0点极限存在不一定连续。 1 …, -0逐渐增大。 x lim x 正确。 设limf(x) A,当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域，有 A f(x) A 。 x 为 正确。 处也连续, 8.正确。 反证法：设 F (x )=f (x )+g (x )在 x 。处连续，则 g (x ) = F (x ) f (x ),在 x 。处 F (x ), f (x )均连续，从而 g (x )在 x =x 。 与已知条件矛盾。 是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1. f(x) x 2, (x) 2x ,f[ (x)] 2x 22x (D) 2. 3. 4. y =x (C ) 1 lim xsin — xsin lim ------- - x 0 cosx 5. 帅 f (x) 6. 9 x 2 0 7. 8. (A ) (B ) 唧伽 1) 2, lim f (x) (D ) 画出图形后知：最大值是 一- 4 设 f(x) x x 1,则 f(1) 1,f(2) 帅 (3 10。 13, x) 2, lim f(x) 2 f ⑴(B ) x 1 (A ) f (x)连续，由介质定理可 知。 (D ) 三、填空题题解 0 1. 2. 3、 arctan(x )是奇函数, 关于原点对称。 3. 4. ,y ，可以写 成 5. 设 x t 6 , x 1,t 1, l t m t 2 t 3 —有界, 1 lim x x 故极限为 0 。 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。). xx 级本科医用高等数学半期考试A 卷 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（2’*10,共20’） 1. 设=≤<≤<--=→)(10,0 1,1{)(lim 0 x f x x x x x f x 则 （ ） A .–1 B. 1 C. 0 D 不存在 2. 0)('=x f 是可导函数)(x f 在0x 点处有极值的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分为非必要条件若函数 3. )(x f 为可微函数，则dy （ ） A. 与x ?无关 B.为x ?的线性函数 C. 当0→?x 时为x ?的高阶无穷小 C.为x ?的等价无穷小 4. 若?==)()()('x dF x f x F ，则（ ） A. )(x f B )(x F C. C x f +)( D.C x F +)( 5. a x x a y =，求y '=( ) A. )(ln x a a x a a x + B. )1(x a x a a x + C. )(ln a a x a a x + D. a x a a x ln 1 1 -+ 6.下列各组函数中（ ）为同一函数的原函数 A.F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(3+x) B. F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(x -1) C.F 1（x ）=lnx F 2(x)=3lnx D. F 1（x ）=lnx F 2(x)=ln(3x) 7. =?dx x x 2ln （ ） A. C x x x ++1 ln 1 B. C x x x ++- 1 ln 1 C. C x x x +-1 ln 1 D. C x x x +--1 ln 1 8. =? →3 20 sin lim x dt t x x （ ） A. 0 B. 1 C. 3 1 D ∞ 9. 下列积分中，值为零的是（ ） A ? -1 1 2dx x B.?-2 13dx x C.?-1 1 dx D.?-11 2sin xdx x 10. 下无结论正确的是（ ） A 初等函数必存在原函数 B. 每个不定积分都可以表示为初等函数 C. 初等函数的原数必定是初等数 D. A,B,C 都不正确 二．填空题（2’*10,共20’） 1.若函数)(x f 在0x 点及其附近有二阶导数，且0)(,0)(0''0'<=x f x f ，则)(x f 在0x 处有极 值。 2. )1)(2(-+=x x y 的定义域 。 3.x e e im l x x x sin 0-→-＝ 。 4.若A x f x =∞ →)(lim ，则其几何意义： 。 5.== )('',)('x f dx dy x f 则 。 6.函数)(x f 在0x 点可导的充分必要条件是： 。 7.)ln (2x x d = 。 8.??xdx x tan sec ＝ 。 9. )'(arccos x ＝ 。 10.??=++=dx b ax f c x F dx x f )(,)()(则 。 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++Q 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 高等数学知识在生物化学工程中的应用举例 高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。 例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用 化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。 流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。 定态流动时液体的机械能衡量式为 ∑?-=+?+ ?f e p p h W v d p u z g 212 2 （1） 该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，（1）式中?2 p p vdp 项应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可压缩液体，其比容v 或者密度ρ为常数，故ρ ρ ρp p p dp vdp p p p p ?= -= = ??2 12 2 1 ，代入（1）式有： ∑-=?+?+?f e h W p u z g ρ 22 或 ∑+++=+++f e h p u gz W p u gz ρ ρ22 22121122 （2） （2）式称为柏努利方程式。 需要注明的是，22u 为动能，gz 为位能，ρ p 为静态能，e W 为有效能，∑f h 为能量损耗，z ?为高度差。 例2 混合气体粘度的计算 常温下混合气体的计算式为 ∑∑=== n i i i n i i i i m M y M y 1 211 21μμ （3） 其中m μ为常温下混合气体的粘合度（Pa.s ）；i y 为纯组分i 的摩尔分率；i μ为混合气体的温度下，纯组分i 的粘度（Pa.s ）；i M 为组分i 的分子量（Kg/kmol ）。 例如：空气组分约为01.0,78.0,21.022Ar N O （均为体积积分率），试利用 Ar N O ,,22的粘度数量，计算常温下C 020时空气的粘度？ 解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率， Ar N O ,,22的分子量分别为32，28及39.9，经查表知道常温下C 020时各组分的粘度为 s Pa Ar s Pa N s Pa O ??????---55252 1009.2107.11003.2 代入（3）式计算空气的粘度，即 s Pa M y M y n i i i n i i i i m ??=?+?+????+???+???= = ----==∑∑52 12 12 12 15 2 152 151 211 21 1078.19 .3901.02878.03221.09 .391009.201.028107.178.0321003.221.0μμ 例3. 在细胞生长计算中的应用 随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。 如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为A ，其浓度为a ， 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分微积分课后题答案第九章习题详解
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