数值分析实验

《数值分析》实验

一、 实验报告要求

实验报告主要包括以下内容：

1． 实验题目 2． 实验目的

3． 简述实验的原理与方法 4． 主要算法

5． 实验结果与分析

从以下实验题目中选择2个实验，按以上要求完成实验报告提交实验报告的电子文档和打印稿。

二、 实验题目

1、 数值积分与数值微分

问题1 对下面你知道答案的几个例子，比较三种方法的精度。在每种情况下，分别计算近似值与误差=近似值-真值。

?20

cos .π

xdx

a ?+10

)12(.dx x b ?-2

2

)4(.dx x c ?-+-3

1

23)3.065(.dx x x x d

取同样的2n m =比较每种方法误差的大小，并观察每种方法随n 增加一倍时对误差大小的影响。

提示：通过对各种方法计算比值()/(2)Error n Error n 跟踪近似值的改进。

问题2 计算1

?

－，你能否得到

2

π

的近似值？如果每次加倍m 值，对每

种方法你需要多大的m 值可以得到精确到第2、3、4等小数位的π值？也可试试

10,100,1000m =。

思考：为什么被积函数需要带上绝对值？ 问题3 数值积分应用于求解积分方程。 （１）32

12

14525

()(

)()18(1)

x x x y x x y t dt t

x +-+=

-+

++?

，其精确解2

1()(1)

y x x =

+

（２）22

120

11()()()24x

e e y x t x y t dt e

x ??-+=

-++-

???

?

，其精确解2()x y x e = 分别用梯形公式、Simpson 公式和三点Gauss 求积公式去离散积分方程中的

积分项，并求解以上积分方程，得到其解函数的近似表达式，分析比较结果。 问题4 学会用数值微分方法求解偏微分方程。在单位正方形上有偏微分方程。

2

2

22

22

()u u xy x y x

y

??+

=+??，

定解条件是：

(0,)(,0)0u y u x ==； 3

3

(1,)6;(,1)6u y y

u x x

==

分别取5,10,15N =把单位正方形划分成N N ?个小格子，并把格子线的交点编号

(,)i j ，记,(,)i j i j u x y u =。用数值微分公式建立关于,i j

u 的线性代数方程组，并求

解。该方程的精确解是3(,)()/6u x y xy =。将精确解和近似解画在同一张三维图上，分析比较你的计算结果。

2、 线性方程组的数值解法

问题1（高斯消去法的数值稳定性实验）观察和理解高斯消元过程中出现小主元

即()k kk a 很小时，引起方程组解的数值不稳定性。设方程组A x b =，其中，

（1）15

10.31059.14315.291

6.1301211.2952121

1A -???

?--

?

= ?

? ??? ， 159.1746.7812b ?? ?

?= ? ?

?? （2）2107

013

2.09999999999999

6251510

1

2A -?? ?-

?= ?-- ??? ，2

85.900000000000015

1b ??

? ?= ? ???

分别对以上两个方程组

（1） 计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的？ （2） 用高斯选列主元消去法，求得L 和U 及解向量412,x x R ∈；

（3） 用不选主元的高斯选列主元消去法求得,L

U 和解向量412,x x R ∈ ； （4） 观察小主元并分析对计算结果的影响。

问题2（病态线性方程组的特点）给定三个n 阶线性方程组A x b =，其中A 的元素(,1,,)ij a i j n = 与阶数n 分别为， （1）()2

1ij a i j =+- ，3,4,,9n = ； （2）()2

ij a i j =+ ， 3,4,5n =； （3）11

ij a i j =

+-， 3,4,5,6n =。

b

的元素()1

1,,n

i ij

j b a i n ==

=∑ ，及其准确解为()

1,1,,1T

x = ，用选列主元法分别

求解上列方程组，并输入各步主元，解释计算结果出现的异常现象。 问题3 以Hilbert 矩阵为例，研究处理病态问题可能遇到的困难。 Hilbert 矩阵的定义是，

111

123111123411

111345211111

2

21n n n H n n

n n n ?? ?

? ?

?+ ?= ? ?+ ?

? ?

?++-??

，

它是一个对称正定矩阵，而且()n cond H 随着n 的增加迅速增加。其逆矩阵

1

,()n i j H a -=，这里

()()()()()()()(),2

11!1!

11!1!!!

i j

i j n i n j a i j i j n j n j +-+-+

-=

+

-----????

(1) 画出l n (())~n c o n d H n 之间的曲线（可以用任何一种范数）。你能猜出 ln(())~n cond H n 之间有何关系吗？提出你的猜测并设法验证。

(2) 设D 是n H 的对角线元素开方构成的矩阵。11?n n H D H D --=，不难看出?n H 仍然是对称矩阵，而且对角线元素都是1。把n H 变成?n

H 的技术称为预处理。画出?ln(()/())~n n

cond H cond H n 之间的曲线（可用任何一种范数）。你能对于预处理得出什么印象？

(3)对于412n ≤≤，给定不同的右端项b ，分别用111112

???,,n n x H b x H D b x D x ----=== 求解n H x b =，比较计算结果。

(4) 取不同的n 并以n H 的第一列为右端项向量b ，用G —S 迭代法求解n H x b =，观察其收敛性。最后你能对于有关Hilbert 矩阵的计算得出哪些结论？ 问题4 探索高斯选主元消去法增长因子的规律。设n n A R ?∈，而且,,m ax 1i j i j

a =。

利用高斯选主元消去法对其完成消去过程，令()(),,,,max ,k

i j i j k

A n a ρ=这里(),k

i j a 是消去

过程中()k A 的第(),i j 个元素。首先固定()510n n ≤≤，选择()30k >个随机矩阵，计算每个(),A n ρ，然后选出其中最大的一个，记之为()n ρ，它被成为近似的增长因子。画出()~n n ρ之间的关系曲线，能不能提出你对它们之间关系的猜测？ 问题 5 （迭代法收敛速度实验）用迭代法求解方程组A x b =，其2020A R ?∈，它的每条对角元素是常数，为

1132

4111322

4111342

2

1411134

221134

2

A ??-

- ? ? ?--

- ?

? ?--- ?=

? -? ? ?--- ? ? ?-- ??

?

(1) 选取不同的初始向量()0

x 和不同的方程组右端项向量b ，给定迭代误差要求，用Jacobi 迭代法和G －S 迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；

(2) 取定右端项向量b 和初始向量()0

x ，将A 的主对角线元素成倍增长若干次，

非主对角线元素不变，每次用Jacobi 迭代法计算，要求迭代误差满足

()

()

15

10k k x

x

+-∞

-<，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。

问题6 （Jacobi 迭代法与G －S 迭代法的收敛性）研究用Jacobi 迭代法和G －S 迭代法解下列方程组A x b =的收敛性，验证分析是否正确，并观察右端项对迭代收敛是否有影响。

（1） 6211

42314A -??

?=- ? ?-?? ，1324b -?? ?

= ?

??? ，2100200345b ??

?=- ? ???； （2） 10.80.80.8

10.80.80.8

1A ??

?= ? ??

? ，1321b ?? ?= ? ???，250

10b ??

?= ? ?-??

（3） 1371A ??=

?-??，46b ??

= ?-??

3、 插值法

问题 1 在平面上给出三个点，它们的坐标是111x ??= ???

，232 1.5,03x x ??

??

== ?

???

??

，每

个点对应一个函数值1 1.8y =，232.6, 3.1y y ==。找出一个平面通过这三个点。 注：这是一个二元拉格朗日插值问题。

解 假设所求的平面方程是z a bx cy =++把给定的坐标和相应的函数值代进去

得到方程 1.8

2 2.61 1.5

3 3.1a b c a b b c ++=??

+=??++=?

，解出待定系数0.28, 1.16,0.36a b c ===就得到所要

的方程。也可以像一元情形那样求一组插值基函数(,)1,(,)0,

i

j j i l x y i j l x y i j

==??≠?，所

要求的平面可写成3

1

(,)i i i z y l x y ==

∑

。在我们这个具体情况下有，

12(,) 2.4 1.20.2,(,)0.60.80.2l x y x y l x y x y

=--=-+-，3(,)0.80.40.4l x y x y =-++

问题2 (反插值)给出函数y shx =的函数表（表1），试利用此数表求使5y =的x 值。

表1

x 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 y 4.457 5.466 6.695 8.198 10.018

问题3 插值法的稳定性。

已知cos y x =，对区间[]0,1作等距划分，节点为(0,1,,)

i i x i n n

=

= ，试对下

面两种情况分别按制定方案求cos x 在0.73333点的近似值（10,40,160n =）。 （1） 以给定节点为插值节点；

（2） 仍以给定节点为插值节点，但在cos0.5上人为增加一个误差0.05。

方案I 拉格朗日插值；方案Ⅱ 分段线性插值；方案Ⅲ I 型三次样条插值。

试比较同一方案对不同的n 、不同方案对相同的n 的精度情况，分析人为增加的误差对不同方案计算结果的影响。

问题4 （观察拉格朗日插值的龙格（Runge ）现象）对于函数2

2

5()f x a x

=

+进行

拉格朗日插值。取不同的节点数n ，在区间[5,5]-上取等距间隔的节点为插值点。

把()f x 和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。 问题5 如果直接利用拉格朗日插值多项式的定义，即

2

012()n

i i i n i i y x a a x a x a x y =++++=

出发确定系数，就必须求解方程

0000111111.

1n

n n n n n

n a y x x a y x x a y x x ??????

?

? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?????

?

?

该方程的系数矩阵为范德蒙(Vandermonde)矩阵，它是严重病态的，因此这

种方法不能使用。本实验的目的是观察这种病态性。

取不同的n ，并在[]0,1区间上取n 个等分点。计算上述系数矩阵A 的条件数，画出ln ()~cond A n 之间的曲线。

问题6 观察对于非光滑函数进行多项式插值的可能性。

在[]0,1上取()sin f x k x π=，选择不同的k 和n 用等距节点作n 次拉格朗日多项式插值多项式，观察误差大小和收敛情况。

4、 最小二乘拟合

问题1 观察最小二乘多项式的数值不稳定性现象。

在[1,1]-区间上取20n =个等距点，计算出以相应结点上x e 的值作为数据样

本，以21,,,l

x x x 为基函数作为3,5,7,9l =次的最小二乘多项式。画出

l n (())~c o n d A n 之间的曲线，其中A 是确定最小二乘多项式系数的矩阵。计算出

不同阶最小二乘多项式给出的最小偏差2

1

()(())n

i

i

i l y x y σ==

-∑。

问题2 探索改善最小二乘多项式的数值不稳定性的可能。

在[1,1]-区间上取20n =个等距点，计算出以相应结点上x e 的值做为数据样本，以121,(),(),()l P x P x P x 为基数作出3,5,7,9l =次的最小二乘多项式，其中，

()i P x 是勒让德多项式。画出ln(())~cond A n 之间的曲线，其中A

是确定最小二乘

多项式系数的矩阵。计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小偏差

2

1

()(())n

i

i

i l y x y σ==

-∑

把结果和问题1比较